全系列路线
按教材顺序学习数学基础、分析、代数、几何、概率统计与数值方法。
希望系统完成 One Forth 数学教材，并以每册复习章检查掌握程度的学习者。
命题与量词、集合与映射、关系、数学归纳法和证明方法。
数列与函数极限、导数与微分、积分与无穷级数。
多变量函数、局部线性化、多重积分和向量场积分定理。
向量空间、矩阵运算、线性方程组、线性映射与特征结构。
抽样分布、参数估计、置信区间、假设检验与线性模型推断。
计数、递推、图、匹配、着色、偏序与布尔代数。
正交展开、傅里叶变换，以及热、波动和 Laplace 方程。
浮点误差、线性求解、插值、数值积分与微分方程离散。
实数完备性、函数列收敛、测度、Lebesgue 积分与 Lp 空间。
群、环、域、模，以及同态、商结构与 Galois 理论。
拓扑空间、连续映射、光滑流形、微分形式、度量与曲率。
完成《数学语言、集合与证明》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《代数、函数与解析几何》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《单变量微积分》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《多变量微积分与向量分析》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《线性代数》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《概率论》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《数理统计》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《离散数学、组合与图论》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《常微分方程与动力系统》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《傅里叶分析与偏微分方程》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《数值分析与科学计算》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《最优化与信息论》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《实分析与测度论》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《复分析》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《抽象代数》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《拓扑与微分几何》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《泛函分析与算子理论》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
难度 3/5
把“每个实数都有更大的实数”和“存在一个实数大于所有实数”分别写成量词式，写出否定并判断真假；对真命题给出见证，对假命题给出满足原论域的反例。
交换全称量词与存在量词会改变见证能否依赖先出现的变量；否定时两个量词都要翻转。
第一句是 ∀x∈R，∃y∈R 使 y>x，取 y=x+1 即证其为真；否定为 ∃x∈R，∀y∈R 都有 y≤x。第二句是 ∃y∈R，∀x∈R 都有 y>x；任给候选 y，取 x=y 即使严格不等式失败，所以为假；其否定为 ∀y∈R，∃x∈R 使 x≥y。
结果核验：把 x=7 代入第一句的见证得 y=8>7；把任意候选 y 代入第二句的反例 x=y，得到 y>y 为假。
难度 3/5
求直线 y=2x+3 与抛物线 y=x² 的全部交点，并由差函数的符号判断两交点之间哪条曲线在上方。
令两个 y 表达式相等并因式分解；再在两个根之间选 x=0 检查 x²-(2x+3) 的符号。
交点横坐标满足 x²=2x+3，即 x²-2x-3=(x-3)(x+1)=0，所以 x=-1 或 3。相应交点为 (-1,1) 与 (3,9)。差函数 x²-2x-3 在两根之间为负，因此 -1<x<3 时抛物线低于直线。
结果核验：代回可得 2(-1)+3=(-1)²=1、2·3+3=3²=9；取 x=0 时直线值 3 大于抛物线值 0。
难度 4/5
对 f(x)=x³-3x，求闭区间 [-2,2] 上的最大值、最小值，并计算 ∫[-1,1]f(x)dx；说明导数检验和积分对称性各用了什么条件。
先解 f'(x)=0 并连同两个端点比较；积分区间关于原点对称，检查 f 是否为奇函数。
f'(x)=3x²-3，在区间内临界点为 x=±1。比较 f(-2)=-2、f(-1)=2、f(1)=-2、f(2)=2，最大值为 2，最小值为 -2。又因 f(-x)=-f(x)，所以在对称区间 [-1,1] 上积分为 0。
结果核验：四个候选点覆盖闭区间端点和全部驻点；直接积分 [x⁴/4-3x²/2] 从 -1 到 1 也得到 0。
难度 4/5
令 F(x,y,z)=(x,y,z)，计算它穿过半径 2、外法向定向球面的通量，并分别用球面上的点积和 Gauss 定理核验。
球面上 F=2n；另一条路线计算 div F=3，再乘球体体积。
在半径 2 的球面上，外单位法向 n=(x,y,z)/2，因此 F·n=2。球面积为 4π·2²=16π，直接积分通量为 32π。另一方面 div F=1+1+1=3，球体积为 4π·2³/3=32π/3，体积分同样为 3·32π/3=32π。
结果核验：两种独立计算都给出 32π；若把法向改为内向，点积与通量应同时变为 -32π。
难度 4/5
对矩阵 A=[[2,1],[1,2]] 求特征值与一组正交特征向量，并计算 A⁵(1,1)ᵀ。
(1,1) 与 (1,-1) 分别是不变方向；先求一次 A 的作用即可读出对应特征值。
A(1,1)ᵀ=3(1,1)ᵀ，A(1,-1)ᵀ=(1,-1)ᵀ，所以特征值为 3、1；归一化特征向量为 (1,1)ᵀ/√2 与 (1,-1)ᵀ/√2。输入 (1,1)ᵀ 完全位于特征值 3 的方向上，因此 A⁵(1,1)ᵀ=3⁵(1,1)ᵀ=(243,243)ᵀ。
结果核验：矩阵迹 4 等于 3+1，行列式 3 等于 3·1；把 (243,243) 连续逆除以 3 五次可回到 (1,1)。
难度 4/5
等概率选择盒 A 或 B；A 有 2 个红球、1 个蓝球，B 有 1 个红球、2 个蓝球。抽到红球后，求来自 A 的后验概率，并写出红球指示变量的期望。
先用全概率公式算 P(红)，再用 Bayes 公式；指示变量期望就是事件概率。
P(红)=P(A)P(红|A)+P(B)P(红|B)=1/2·2/3+1/2·1/3=1/2。于是 P(A|红)=(1/2·2/3)/(1/2)=2/3。令 I 表示抽到红球，则 E[I]=1·P(红)+0·P(蓝)=1/2。
结果核验：联合概率 P(A且红)=1/3，除以 P(红)=1/2 得 2/3；四种后验分支中 P(A|红)+P(B|红)=1。
难度 4/5
某独立样本 n=25，均值 10.0、样本标准差 2.0。用 1.96 的正态近似临界值构造均值的 95% 区间，并检验 H0:μ=9 对 H1:μ≠9。
标准误为 s/√n；区间用均值±1.96倍标准误，检验统计量用 (均值-9)/标准误。
标准误为 2/√25=0.4。近似 95% 区间为 10±1.96·0.4=10±0.784，即 [9.216,10.784]。检验统计量 z=(10-9)/0.4=2.5，绝对值大于 1.96，所以在这项近似检验下拒绝 H0。
结果核验：原假设值 9 不在所算区间内，与双侧检验的拒绝结论一致；区间中心 (9.216+10.784)/2=10。
难度 4/5
对六边形环图 C6，给出一种二着色、一组最大匹配和一棵生成树，并说明为什么匹配不可能含 4 条边。
沿环交替着色；匹配中的每条边占用两个互不重复的顶点；删去环上一条边即可得到生成树。
把顶点依次记为 1,…,6，可将奇数顶点着红、偶数顶点着蓝，得到合法二着色。边集 {(1,2),(3,4),(5,6)} 是含 3 条边的匹配。任何匹配每条边占两个不同顶点，C6 只有 6 个顶点，所以至多 3 条，故该匹配最大。删去边 (6,1) 后余下五条连续边连通且无环，是生成树。
结果核验：逐边检查 C6 的每条边都连接一奇一偶；匹配覆盖 6 个顶点且无重复端点；生成树边数为 6-1=5。
难度 4/5
求初值问题 y'=y(1-y)、y(0)=1/2 的解，并用线性化判断平衡点 0 与 1 的稳定性。
分离变量得到 ln(y/(1-y))=t+C；对向量场 f(y)=y(1-y) 计算 f'(y)。
积分得 ln(y/(1-y))=t+C。由 y(0)=1/2 得 C=0，因此 y(t)=1/(1+e^{-t})。平衡点为 0、1，且 f'(y)=1-2y；f'(0)=1>0，所以 0 不稳定，f'(1)=-1<0，所以 1 局部渐近稳定。
结果核验：对 y(t) 求导得 e^{-t}/(1+e^{-t})²，恰等于 y(1-y)；代 t=0 得 1/2。
难度 5/5
在 0<x<1 上求热方程 u_t=u_xx 的解，边界为 u(0,t)=u(1,t)=0，初值为 sin(πx)+(1/2)sin(2πx)。
零边界的正弦模态彼此正交；第 n 个模态按 exp(-n²π²t) 衰减。
初值已经是两个正弦特征模态之和，因此 u(x,t)=e^{-π²t}sin(πx)+(1/2)e^{-4π²t}sin(2πx)。两个正弦项在 x=0、1 都为零，且 t=0 时恢复给定初值。
结果核验：逐项计算 u_t 与 u_xx：第一项都乘 -π²，第二项都乘 -4π²，所以方程、边界和初值三项条件同时成立。
难度 4/5
用显式 Euler 法、步长 h=0.25，从 y(0)=1 计算 y'=-2y 到 t=1；再把步长减半，比较两次结果与精确值 e^{-2}≈0.1353。
Euler 递推为 y_{n+1}=(1-2h)y_n；两种步长分别需要 4 步和 8 步。
h=0.25 时放大因子为 0.5，四步得到 y4=0.5⁴=0.0625，绝对误差约 0.0728。h=0.125 时放大因子为 0.75，八步得到 0.75⁸≈0.1001，绝对误差约 0.0352。网格减半后误差约减半，符合一阶方法趋势。
结果核验：两个放大因子绝对值均小于 1，离散解不会爆炸；0.1001 比 0.0625 更接近 0.1353。
难度 4/5
从 x0=0 出发，用步长 1/4 的梯度下降最小化 f(x)=(x-3)²，写出前三次迭代并证明误差按固定比例收缩。
f'(x)=2(x-3)，把更新式整理成 x_{k+1}-3 与 x_k-3 的关系。
更新为 x_{k+1}=x_k-(1/4)·2(x_k-3)=x_k/2+3/2。因此 x1=1.5，x2=2.25，x3=2.625。减去最优点 3 得 x_{k+1}-3=(x_k-3)/2，所以每步误差绝对值减半并收敛到唯一极小点 x*=3。
结果核验：三步误差依次为 -1.5、-0.75、-0.375，确为前一步的一半；f(3)=0 是平方函数可达到的全局下界。
难度 5/5
在 [0,1] 上研究 f_n(x)=x^n：求点态极限与积分极限，判断是否一致收敛，并说明可用哪个支配函数交换极限与积分。
分别看 x<1 与 x=1；比较 sup|f_n-f|，并注意 0≤x^n≤1。
点态极限 f 在 [0,1) 上为 0，在 x=1 为 1。积分 ∫0¹x^n dx=1/(n+1)→0，而 ∫0¹f dx=0，因为单点不改变积分。收敛不一致：在任意 n 下，x<1 且趋近 1 时 |x^n-f(x)| 可任意接近 1。函数 1 可积且支配全部 f_n，因此支配收敛定理允许交换极限与积分。
结果核验：积分公式由原函数 x^{n+1}/(n+1) 直接得到；取 x_n=2^{-1/n}<1，有 f_n(x_n)=1/2，已经排除一致收敛到 f。
难度 5/5
按正向圆周 |z|=2 计算积分 ∮ z²/((z-1)(z-3)) dz，并说明哪些奇点贡献留数。
圆内只有 z=1；它是单极点，留数可用去掉 z-1 后代入。
被积函数在 z=1、3 有单极点，圆 |z|=2 只包含 z=1。该点留数为 1²/(1-3)=-1/2。由留数定理，积分等于 2πi·(-1/2)=-πi；圆外的 z=3 不贡献。
结果核验：把围道缩成只包围 z=1 的小圆，积分不变；结果除以 2πi 恰为 -1/2，与直接留数计算一致。
难度 5/5
定义 φ:Z/12Z→Z/6Z，φ([n]12)=[n]6。证明它良定义，求核与像，并写出第一同构定理给出的商群同构。
若 n≡m (mod 12)，则 12 整除 n-m；核由 6 整除 n 的模 12 类组成。
12|(n-m) 蕴含 6|(n-m)，所以代表元改变不影响 φ，映射良定义。核为 {[0]12,[6]12}，像包含全部六个模 6 类，因此 φ 满射。第一同构定理给出 (Z/12Z)/{[0],[6]}≅Z/6Z。
结果核验：有限群阶数核像公式给出 |kerφ|·|imφ|=2·6=12，等于定义域阶数。
难度 5/5
令 C 为逆时针单位圆，计算 1-形式 ω=x dy-y dx 沿 C 的积分，并用单位圆盘 D 上的 Stokes 定理核验。
参数化 x=cos t、y=sin t；再计算 dω 并在圆盘上积分。
沿 C 取 t∈[0,2π]，dx=-sin t dt、dy=cos t dt，于是 ω=(cos²t+sin²t)dt=dt，故积分为 2π。又 dω=d(x dy)-d(y dx)=dx∧dy-dy∧dx=2dx∧dy，单位圆盘面积为 π，所以 ∫D dω=2π。
结果核验：边界积分与面积积分都为 2π；若反转圆周定向，边界积分符号改变，正好对应 Stokes 的定向约定。
难度 5/5
在 R² 标准内积中，把 v=(2,1) 正交投影到 span{(1,1)}，并对自伴算子 T=diag(3,1) 给出算子范数和 v 的谱分解。
投影系数为 ⟨v,u⟩/⟨u,u⟩；对角自伴算子的范数是特征值绝对值最大者。
取 u=(1,1)，投影系数为 3/2，所以 Pv=(3/2,3/2)，残差为 (1/2,-1/2) 且与 u 正交。T 的标准基特征值为 3、1，故 ||T||=3。v=2e1+e2，因此 Tv=6e1+e2=(6,1)。
结果核验：残差点积 (1/2,-1/2)·(1,1)=0；||Te1||=3 达到上界，而任意单位向量的 ||Tx||²=9x1²+x2²≤9。
