M11 · 第 2 章 · 课程规划页
凸集、凸函数与次梯度
本章研究凸集、凸函数与次梯度。内容依次处理凸集、凸函数与上图几何、次梯度、分离超平面与支撑函数、Jensen 不等式和凸组合证书。
- 所在 Part
- 第一编 优化问题与凸性
- 预计学习
- 40 分钟
- 建设状态
- 已规划，尚无正式正文
计划实验
本章未登记独立交互实验；定义、公式和例题仍按下列提纲规划。
LEARNING OBJECTIVES
完成本章后应能
- 01准确说明凸集、凸函数与上图几何。
- 02完成次梯度、分离超平面与支撑函数所需的推导、证明或算法。
- 03使用计算、例题或反例检验Jensen 不等式和凸组合证书。
PLANNED SECTIONS
计划章节结构
- 01
凸集、凸函数与上图几何
界定凸集、凸函数与上图几何，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
- 02
次梯度、分离超平面与支撑函数
推导次梯度、分离超平面与支撑函数，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
- 03
Jensen 不等式和凸组合证书
检验Jensen 不等式和凸组合证书，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
计划定义
凸集、凸函数与上图几何：对象、记号与前提
围绕凸集、凸函数与上图几何列出主要对象、符号、前提与定义边界。
计划公式
次梯度、分离超平面与支撑函数：关系、判据与可复核步骤
把次梯度、分离超平面与支撑函数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
计划例题
Jensen 不等式和凸组合证书：案例、反例与核验
围绕Jensen 不等式和凸组合证书给出明确输入、前提或数据，逐步分析并用反例、误差、守恒量或边界条件复核。
计划练习
凸集、凸函数与次梯度：定义、关系与边界综合练习
联结凸集、凸函数与上图几何、次梯度、分离超平面与支撑函数与Jensen 不等式和凸组合证书，分别检验定义辨析、主要步骤和适用边界。
本章概念落点
以下位置是术语、搜索和知识图谱引用本计划章节时使用的稳定链接。
- 凸函数通过弦不等式和一阶条件刻画凸性，并说明局部最优为何成为全局最优。
- 凸集用线段闭包定义凸集，并识别半空间、范数球和仿射集合等基本例子。
- 一阶最优性条件用梯度为零、方向导数和次梯度条件判断无约束候选最优点。
关键词
凸集、凸函数、次梯度、第一编 优化问题与凸性、最优化与信息论