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EQUATION INDEX / 10 RECORDS

公式连同条件一起检索。

每条记录保留变量含义、成立假设、相关主题与应用范围，避免只展示脱离语境的等式。

  1. 式 01

    mathematics / linear-algebra

    线性变换

    y=Ax\mathbf{y}=A\mathbf{x}

    变量

    mathbfymathbf{y}
    输出向量
    AA
    变换矩阵
    x\mathbf{x}
    输入向量

    成立条件

    • A 为有限维线性映射的矩阵表示。

    相关概念

    linear-transformation
  2. 式 02

    mathematics / calculus

    导数的差商定义

    f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    变量

    xx
    求导位置
    hh
    非零输入增量

    成立条件

    • 差商极限存在且有限。

    相关概念

    derivatives-and-differentialslimits-and-continuity
  3. 式 03

    mathematics / calculus

    方向导数与梯度

    Duf(x)=∇f(x)TuD_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})=\nabla f(\mathbf{x})^\mathsf{T}\mathbf{u}

    变量

    ∇f\nabla f
    函数在当前位置的梯度
    mathbfumathbf{u}
    考察方向

    成立条件

    • 函数在该点可微，方向向量使用同一欧氏内积。

    相关概念

    gradientderivatives-and-differentials
  4. 式 04

    mathematics / linear-algebra

    特征值方程

    Av=λvA\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

    变量

    AA
    方阵
    mathbfvmathbf{v}
    非零特征向量
    lambdalambda
    对应特征值

    成立条件

    • A 为方阵，特征向量不为零。

    相关概念

    eigenvalues-eigenvectorsmatrices
  5. 式 05

    mathematics / probability

    离散随机变量的期望

    E[X]=∑xx pX(x)\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,p_X(x)

    变量

    XX
    离散随机变量

    成立条件

    • 绝对矩存在，即各项绝对值的加权和收敛。

    相关概念

    random-variables-distributionsexpectation-variance-covariance
  6. 式 06

    mathematics / probability

    方差

    Var⁡(X)=E[(X−E[X])2]\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]

    变量

    XX
    具有有限二阶矩的随机变量

    成立条件

    • 随机变量的二阶矩有限。

    相关概念

    expectation-variance-covariance
  7. 式 07

    mathematics / optimization

    梯度下降更新

    θk+1=θk−η∇L(θk)\boldsymbol{\theta}_{k+1}=\boldsymbol{\theta}_k-\eta\nabla L(\boldsymbol{\theta}_k)

    变量

    oldsymbol{ heta}
    第 k 次迭代的模型参数
    etaeta
    更新步长
    LL
    目标损失

    成立条件

    • 损失函数在当前位置可微，学习率与局部曲率相容。

    相关概念

    gradient-descentgradientloss-functions
  8. 式 08

    machine-learning / neural-networks

    缩放点积注意力

    Attention⁡(Q,K,V)=softmax⁡ ⁣(QKTdk)V\operatorname{Attention}(Q,K,V)=\operatorname{softmax}\!\left(\frac{QK^\mathsf{T}}{\sqrt{d_k}}\right)V

    变量

    QQ
    查询矩阵
    KK
    键矩阵
    VV
    值矩阵

    成立条件

    • 查询与键具有相同特征维度，掩码在 softmax 前施加。

    相关概念

    attention-mechanismtransformer
  9. 式 09

    mathematics / calculus

    实形式傅里叶级数

    f(x)∼a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr)

    变量

    成立条件

    • 函数具有给定周期，并满足所采用收敛定理的条件。

    相关概念

    fourier-serieswave-equation
  10. 式 10

    physics / waves

    一维波动方程

    ∂2u∂t2=c2∂2u∂x2\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

    变量

    u(x,t)u(x,t)
    弦或介质的横向位移
    cc
    介质中的波速（metre-per-second）

    成立条件

    • 介质均匀、线性，且波速 c 为常数。

    相关概念

    wave-equation