环、理想、商环与同构定理

为什么“对乘法封闭”还不够

整数、模整数、实矩阵和多项式都能做加法与乘法，但它们的乘法行为很不相同：整数乘法交换，矩阵乘法通常不交换；非零整数相乘不会得到零，而模合数运算中两个非零剩余类可能乘成零；有些元素能做乘法逆运算，有些不能。环的作用，是把这些共同规则与差异放进一个可逐项核验的框架。

理想则回答另一个问题。若只想把一些元素视为“等价于零”，哪些集合能够同时兼容加法和乘法？普通子环只保证内部运算不越界，却不能保证外部任意元素乘进来仍留在其中。理想额外具有吸收性，这正是商环乘法不依赖代表元的原因。

本章采用的环约定

不同教材对“环”是否必须有乘法单位元、子环是否必须共享单位元，存在约定差异。本章统一采用：环都有乘法单位元 $1$，环同态保持单位元，子环与母环共享同一个单位元。零环允许 $0=1$；谈整环或域时则明确要求 $0\ne1$。引用其他资料时，必须先核对其约定。

含幺环、交换环与整环

集合 $R$ 配有加法和乘法。若满足：

1. $(R,+)$ 是交换群，零元记为 $0$；
2. 乘法结合，即 $(ab)c=a(bc)$；
3. 左右分配律成立；
4. 存在 $1\in R$，使 $1a=a1=a$；

则称 $R$ 为环。若还有 $ab=ba$，称为交换环。若 $R$ 是非零交换环，且 $ab=0$ 蕴含 $a=0$ 或 $b=0$，则称 $R$ 为整环。

整数环 $\mathbb Z$、有理数域 $\mathbb Q$ 和多项式环 $\mathbb R[x]$ 都是交换环。$n\ge2$ 时的方阵环 $M_n(\mathbb R)$ 有单位矩阵作为 $1$，却通常不交换。例如矩阵单位 $E_{12}E_{21}=E_{11}$，而 $E_{21}E_{12}=E_{22}$。所以“有乘法”与“乘法交换”必须分开检查。

单位、零因子与消去律

单位与零因子

若 $u\in R$ 存在 $v\in R$ 使 $uv=vu=1$，则 $u$ 是单位，$v$ 是其逆元，记作 $u^{-1}$。环中全部单位组成乘法群 $R^\times$。

在交换环中，非零元素 $a$ 若存在非零 $b$ 使 $ab=0$，则称 $a$ 为零因子。非零交换环没有非零零因子，当且仅当它满足乘法消去律：$a\ne0$ 且 $ab=ac$ 时必有 $b=c$。

例 1：在 Z/12Z 中找单位与零因子

剩余类 $[a]$ 在 $\mathbb Z/12\mathbb Z$ 中可逆，当且仅当 $\gcd(a,12)=1$。因此单位是

$$[1],[5],[7],[11].$$

例如 $[5]^2=[25]=[1]$。其余非零类都是零因子： $[3][4]=[0]$，$[2][6]=[0]$，而 $[8][3]=[0]$。这里不能从 $[3][4]=[3][0]$ 消去 $[3]$，因为 $[3]$ 本身是零因子。

判据来自 Bézout 等式。若 $\gcd(a,12)=1$，存在整数 $r,s$ 使 $ra+12s=1$，取剩余类便有 $[r][a]=[1]$。反之，若 $[r][a]=[1]$，则 $ra+12s=1$ 对某个 $s$ 成立，所以最大公因数只能是 $1$。

整环中每个非零元素都可消去，但不一定可逆。例如 $2$ 在 $\mathbb Z$ 中不是零因子，也不是单位。只有当每个非零元素都可逆时，交换环才成为域。把“不是零因子”和“有逆元”混为一谈，会错误地把整数环当作域。

子环保留结构，理想吸收外部乘法

子环与双边理想

设 $R$ 为环。子集 $S\subseteq R$ 若在同样的加法、乘法下构成环，并含有母环的 $1$，则称为子环。

加法子群 $I\le(R,+)$ 若对所有 $r\in R$、$a\in I$ 都有 $ra\in I$ 且 $ar\in I$，则称 $I$ 为双边理想，记作 $I\triangleleft R$。交换环中两侧条件相同。若存在 $a\in R$ 使

$$I=(a)=\{ra:r\in R\}$$

，则 $I$ 是由 $a$ 生成的主理想。

每个环都有零理想 $(0)$ 和单位理想 $(1)=R$。整数环中每个理想都是 $n\mathbb Z=(n)$：若非零理想 $I$ 中最小正整数为 $n$，对任意 $a\in I$ 做带余除法 $a=qn+r$，其中 $0\le r<n$；由于 $r=a-qn\in I$，最小性迫使 $r=0$，故 $I\subseteq n\mathbb Z$，反向包含显然成立。

子环未必是理想。$\mathbb Z$ 是 $\mathbb Q$ 的含幺子环，却不是理想，因为 $1\in\mathbb Z$ 而 $(1/2)\cdot1\notin\mathbb Z$。更一般地，若理想包含 $1$，吸收性给出每个 $r=r1$ 都在理想中，所以该理想必等于整个环。这解释了为什么真理想不能同时是共享单位元的子环。

例 2：多项式环中的两个理想

在 $\mathbb R[x]$ 中，$(x)$ 是所有常数项为零的多项式集合。任意多项式乘上其中元素仍含因子 $x$，所以它是理想。集合

$$I=(x^2+1) =\{q(x)(x^2+1):q(x)\in\mathbb R[x]\}$$

也是主理想。判断多项式是否属于 $I$，就是检查它能否被 $x^2+1$ 整除。例如直接分解 $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$，所以 $x^4-1\in I$。这个计算提醒我们不能只凭次数或实根猜理想成员关系，必须检查整除。

相对地，$x^3+1$ 除以 $x^2+1$ 的余式为 $-x+1$，所以不在 $I$ 中。主理想成员判定就是生成元整除判定。

商环：把一个理想整体压成零

设 $I\triangleleft R$。先按加法群取陪集 $a+I=\{a+i:i\in I\}$。两个陪集相等当且仅当 $a-b\in I$。在陪集集合 $R/I$ 上定义

关键不是公式看起来合理，而是换代表元后结果不变。若 $a'=a+i$、$b'=b+j$，其中 $i,j\in I$，则

理想的左右吸收性保证三项都在 $I$，所以 $a'b'+I=ab+I$。加法良定义只需 $I$ 是加法子群；乘法良定义正需要理想而非普通子环。由环公理逐项传递可知 $R/I$ 是环，零元为 $I$，单位元为 $1+I$。

例 3：整数商环中的代表元与零因子

$\mathbb Z/(6)$ 的元素是六个陪集 $[0],\ldots,[5]$。选择不同代表元不会改变运算，例如

$$[8][9]=[72]=[0], \qquad [2][3]=[6]=[0].$$

因为 $8\equiv2\pmod6$、$9\equiv3\pmod6$，两个计算一致。$[2]$ 与 $[3]$ 都非零却乘成零，所以商环不是整环。相反，若模数为素数 $p$，每个非零类都与 $p$ 互素，因而可逆；$\mathbb Z/(p)$ 是域。

环同态用核记录必须被压掉的元素

环同态、核与像

映射 $\varphi:R\to S$ 若对所有 $a,b\in R$ 满足

$$\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\quad \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),\quad \varphi(1_R)=1_S,$$

则称为环同态。定义

$$\ker\varphi=\{a:\varphi(a)=0\}, \qquad \operatorname{im}\varphi=\{\varphi(a):a\in R\}.$$

像是 $S$ 的子环。核是 $R$ 的理想：它对加法与负元封闭；若 $a\in\ker\varphi$、$r\in R$，则 $\varphi(ra)=\varphi(r)\varphi(a)=0$，右乘同理。由此也看出，任意环同态的核不能只是一个不吸收乘法的子环。

环的第一同构定理

对含幺环同态 $\varphi:R\to S$，存在自然环同构

$$R/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi, \qquad a+\ker\varphi\longmapsto\varphi(a).$$

证明要依次核对四件事。若 $a-b\in\ker\varphi$，则 $\varphi(a)=\varphi(b)$，所以映射良定义；加法、乘法和单位元由 $\varphi$ 保持；像的定义给出满射；若陪集映到零，则 $a\in\ker\varphi$，该陪集就是零陪集，因此单射。定理并非只比较元素个数，而是给出一个具体、保持两种运算的双射。

例 4：评价同态把多项式商环化成实数

定义 $\operatorname{ev}_2:\mathbb R[x]\to\mathbb R$， $f\mapsto f(2)$。代入保持加法、乘法与常数 $1$，而每个实数都是某个常数多项式的像，所以它满射。因式定理给出

$$\ker(\operatorname{ev}_2)=(x-2).$$

第一同构定理于是得到

$$\mathbb R[x]/(x-2)\cong\mathbb R.$$

商环中每个多项式都与常数 $f(2)$ 同余，因为除法算法写成 $f(x)=q(x)(x-2)+f(2)$。同构的实质正是“忽略被 $(x-2)$ 捕获的部分，只保留在 $2$ 处的值”。

素理想与极大理想识别商环的性质

在交换环 $R$ 中，真理想 $P$ 称为素理想，若 $ab\in P$ 蕴含 $a\in P$ 或 $b\in P$；真理想 $M$ 称为极大理想，若不存在严格夹在 $M$ 与 $R$ 之间的理想。由商环定义可直接证明：

第一条中，$(a+P)(b+P)=P$ 等价于 $ab\in P$；第二条中，商环真理想与包含 $M$ 的原环理想一一对应。完整的对应定理需要系统证明这个双射保留包含关系，本章只使用上述两个可由定义核对的判据。极大理想一定素，但素理想未必极大：在 $\mathbb Z$ 中 $(0)$ 是素理想，因为 $\mathbb Z$ 是整环，却不是极大理想，因为 $(0)\subsetneq(2)\subsetneq\mathbb Z$。

参数思考实验：改变模数会改变什么

把 $R_n=\mathbb Z/(n)$ 中的 $n$ 从素数改为合数。剩余类 $[a]$ 可逆当且仅当 $\gcd(a,n)=1$。若 $d=\gcd(a,n)>1$ 且 $[a]\ne[0]$，则

而 $[n/d]$ 非零，因此 $[a]$ 是零因子。于是有限交换环 $\mathbb Z/(n)$ 中，每个非零元素不是单位就是零因子。模数为素数时没有非零零因子，零理想是极大理想；模数为合数时出现非平凡因子，商环不再是域。这个实验把算术中的素性翻译成理想与商环结构。

常见误区

子环自动是理想

子环只要求内部封闭；理想要求被母环任意元素从两侧相乘后仍留在集合中。$\mathbb Z\subset\mathbb Q$ 是子环而不是理想。

商环乘法只要挑一个代表元算即可

计算时可以挑代表元，但定义成立前必须证明换代表元不改结果。差值 $aj+ib+ij$ 落入理想，才完成良定义性证明。

非零且不可逆就一定是零因子

该结论对有限交换环成立，对无限环不成立。整数 $2$ 不可逆，却不是零因子。

练习：从运算表走向同构

练习 1：Z/18Z 的单位与零因子标记完成

所属知识

单位与零因子

难度

2/5

列出 $\mathbb Z/(18)$ 的全部单位与全部非零零因子，并求 $[5]$ 的逆元。

查看提示

先列出与 18 互素的剩余类；对其余非零类，用 18 与代表元的公因子构造湮灭它的非零类。

查看解答

与 $18$ 互素的代表元为 $1,5,7,11,13,17$，所以这些类是单位。其余非零类

$$[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10],[12],[14],[15],[16]$$

都是零因子。例如偶数类乘 $[9]$ 为零，$[3]$、$[15]$ 乘 $[6]$ 为零，$[9]$ 乘 $[2]$ 为零。因为 $5\cdot11=55\equiv1\pmod{18}$，故 $[5]^{-1}=[11]$。

练习 2：判断子环是否为理想标记完成

所属知识

子环与理想

难度

3/5

在本章约定下，判断 $\mathbb Z\subseteq\mathbb Q$ 是否为含幺子环、是否为理想。再判断 $2\mathbb Z\subseteq\mathbb Z$ 是否为含幺子环、是否为理想。

查看提示

先检查是否含同一个单位元；检验理想时，尝试用母环中的 1/2 乘集合中的整数。

查看解答

$\mathbb Z$ 与 $\mathbb Q$ 共享单位元 $1$，且对加、减、乘封闭，所以是含幺子环；但 $(1/2)\cdot1\notin\mathbb Z$，故不是 $\mathbb Q$ 的理想。 $2\mathbb Z$ 对加、负元封闭，并吸收任意整数乘法，所以是 $\mathbb Z$ 的理想；它不含母环单位元 $1$，因此按本章约定不是含幺子环。

练习 3：亲自核对商环乘法标记完成

所属知识

商环良定义性

难度

3/5

设 $I\triangleleft R$，且 $a+I=a'+I$、$b+I=b'+I$。证明 $ab+I=a'b'+I$。指出如果 $I$ 只有加法子群条件，证明会卡在哪一步。

查看提示

把新代表元写成 a+i 与 b+j，展开乘积并使用理想吸收性。

查看解答

存在 $i,j\in I$ 使 $a'=a+i$、$b'=b+j$。于是

$$a'b'-ab=aj+ib+ij.$$

理想吸收性给 $aj,ib,ij\in I$，其和也在 $I$，故两个乘积代表同一陪集。若只知道 $I$ 是加法子群，就无法保证 $aj$ 或 $ib$ 落在 $I$ 中，乘法可能依赖代表元。

练习 4：用自然同态识别整数商环标记完成

所属知识

核、像与第一同构定理

难度

3/5

对 $n\ge2$，定义 $\pi:\mathbb Z\to\mathbb Z/(n)$， $a\mapsto[a]$。证明它是满环同态，求核，并写出第一同构定理给出的同构。

查看提示

考虑把整数映到模 n 剩余类的映射，分别计算核与像。

查看解答

剩余类运算的定义直接给出 $\pi(a+b)=\pi(a)+\pi(b)$、$\pi(ab)=\pi(a)\pi(b)$ 与 $\pi(1)=[1]$。每个剩余类都有整数代表元，所以 $\pi$ 满射。 $\pi(a)=[0]$ 当且仅当 $n\mid a$，故 $\ker\pi=n\mathbb Z=(n)$。因此

$$\mathbb Z/(n)\cong\operatorname{im}\pi=\mathbb Z/(n),$$

显式映射为 $a+(n)\mapsto[a]$。等式外形虽熟悉，证明仍验证了抽象陪集构造与模运算记号确实是同一个环。

练习 5：双点评价同态的核标记完成

所属知识

多项式同态

难度

4/5

定义 $\Phi:\mathbb R[x]\to\mathbb R\times\mathbb R$， $f\mapsto(f(0),f(1))$。证明 $\Phi$ 满射，求其核，并给出相应商环同构。

查看提示

把目标环取为 $R\times R$；核要求多项式在 0 和 1 都为零，再连续使用因式定理。

查看解答

映射逐坐标保持加法、乘法与单位元。给定 $(a,b)$，一次多项式 $f(x)=a+(b-a)x$ 满足 $f(0)=a$、$f(1)=b$，故 $\Phi$ 满射。 核中的多项式同时以 $0$、$1$ 为根，所以被 $x(x-1)$ 整除；反向显然成立，因此

$$\ker\Phi=(x(x-1)).$$

第一同构定理给出

$$\mathbb R[x]/(x(x-1))\cong\mathbb R\times\mathbb R, \qquad f+(x(x-1))\longmapsto(f(0),f(1)).$$

知识关系、资源与下一步

• 群、子群与循环结构 提供环加法部分所需的交换群、子群与陪集语言。
• 群同态、商群与群作用 中的核、像和同构思想在这里同时约束加法与乘法。
• 整数、模运算与基本代数结构 是主理想、商环和零因子的基础算术模型。
• 域扩张、多项式与有限域 将用极大理想把多项式环的商变成域。
• 模、线性表示与结构定理 把环的乘法解释为对加法群的标量作用。

课程 · 2011

Algebra II

Michael Artin

用于核对 M14 环、域、模和 Galois 思想部分的定义、假设、结构定理与计算。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.702 Algebra II 的环、理想与域相关材料可用于复核本章的约定、商结构与同构定理。对照资料时应特别标注其环同态是否要求保持单位元，因为约定不同会改变子环和同态的实例范围。

本章的主线是：理想恰好提供可兼容乘法的“归零集合”，环同态的核必为理想，而第一同构定理说明压掉这个核后，剩余结构就是同态的像。下一章将在域上的多项式环中使用 Euclid 算法和不可约多项式，并把极大理想的商环构造成新的域。

课程 · 2010

Algebra I

Michael Artin

用于核对 M14 群论部分的定义、同构定理、轨道稳定子关系、例题和练习条件。

打开官方来源

MIT 18.701 的环与同态内容支撑本章的核心判据：子集只有对环中任意元素乘法封闭时才是理想，环同态的核因此天然满足该条件，而商环乘法的良定义性也恰由理想保证。第一同构定理随后把原环模掉核与同态像联系起来；这些结论都按保持单位元的约定逐项核对。