M10 · 第 5 章 · 课程规划页
常微分与偏微分方程数值方法
本章研究常微分与偏微分方程数值方法。内容依次处理单步法、局部误差与绝对稳定域、多步法、刚性方程与自适应控制、有限差分的相容性、稳定性与收敛性。
- 所在 Part
- 第三编 数值动力学与综合复习
- 预计学习
- 40 分钟
- 建设状态
- 已规划，尚无正式正文
计划实验
本章未登记独立交互实验；定义、公式和例题仍按下列提纲规划。
LEARNING OBJECTIVES
完成本章后应能
- 01准确说明单步法、局部误差与绝对稳定域。
- 02完成多步法、刚性方程与自适应控制所需的推导、证明或算法。
- 03使用计算、例题或反例检验有限差分的相容性、稳定性与收敛性。
PLANNED SECTIONS
计划章节结构
- 01
单步法、局部误差与绝对稳定域
界定单步法、局部误差与绝对稳定域，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
- 02
多步法、刚性方程与自适应控制
推导多步法、刚性方程与自适应控制，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
- 03
有限差分的相容性、稳定性与收敛性
检验有限差分的相容性、稳定性与收敛性，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
计划定义
单步法、局部误差与绝对稳定域：对象、记号与前提
围绕单步法、局部误差与绝对稳定域列出主要对象、符号、前提与定义边界。
计划公式
多步法、刚性方程与自适应控制：关系、判据与可复核步骤
把多步法、刚性方程与自适应控制整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
计划例题
有限差分的相容性、稳定性与收敛性：案例、反例与核验
围绕有限差分的相容性、稳定性与收敛性给出明确输入、前提或数据，逐步分析并用反例、误差、守恒量或边界条件复核。
计划练习
常微分与偏微分方程数值方法：定义、关系与边界综合练习
联结单步法、局部误差与绝对稳定域、多步法、刚性方程与自适应控制与有限差分的相容性、稳定性与收敛性，分别检验定义辨析、主要步骤和适用边界。
本章概念落点
以下位置是术语、搜索和知识图谱引用本计划章节时使用的稳定链接。
- 有限差分方法在离散网格上用差分替代导数，构造微分方程的代数近似。
- 有限元基础从弱形式和局部基函数组装离散系统，用网格逼近复杂区域上的边值问题。
- 常微分方程数值解用 Euler 和 Runge–Kutta 方法推进初值问题，并分析稳定性、阶数和步长。
- 偏微分方程数值解把空间与时间离散组合为可计算更新，检查一致性、稳定性和收敛性。
关键词
常微分、偏微分方程数值方法、第三编 数值动力学与综合复习、数值分析与科学计算