中值定理与导数应用：从局部斜率到整体形状

一点处的斜率怎样约束整段函数

导数首先是局部对象：$f'(x)$ 只比较 $x$ 附近的函数增量。单调性、最大值和一条曲线在整个区间上的形状却是整体问题。把两者连接起来需要一个桥梁：若函数在闭区间上没有断裂，在内部每一点都可导，那么端点之间的平均变化率必在某个内点成为瞬时变化率。这就是中值定理的核心。

条件与结论必须分开核对。闭区间连续保证函数取得最大值和最小值；开区间可导排除内部尖点；端点允许不可导，因为定理只在内部寻找点。若漏掉其中一项，结论可能失败。后面的单调性、误差界和泰勒余项都沿用这套“先确认区间条件，再把局部信息推广到整体”的结构。

费马引理先定位可导的内点极值

费马引理

若 $f$ 在内点 $c$ 处可导，并且 $c$ 是局部极大点或局部极小点，则

$$f'(c)=0.$$

以局部极大点为例。充分小的 $h>0$ 满足 $f(c+h)-f(c)\le0$，对应右差商不大于零；充分小的 $h<0$ 仍有相同的分子不等式，但除以负数后左差商不小于零。若双侧导数存在，两侧极限必须相等，只能等于零。局部极小点的论证把不等号反向即可。

这是必要条件，不是充分条件。$f(x)=x^3$ 在原点导数为零，却没有局部极值。它也不覆盖不可导极值，例如 $|x|$ 在原点有严格局部极小值而导数不存在。因此，寻找极值候选时既要解 $f'=0$，也要检查函数有定义但导数不存在的内点。

罗尔定理把相同端点值转成水平切线

罗尔定理

设 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 上可导，且 $f(a)=f(b)$。则至少存在一个 $c\in(a,b)$ 使

$$f'(c)=0.$$

连续函数在闭区间上取得最大值和最小值。若两者相等，函数为常数，任一内点都满足结论。若两者不同，因为端点函数值相同，至少有一个绝对最大值或绝对最小值在内点取得；费马引理于是给出该点导数为零。

三个条件各有职责。定义

它满足 $f(-1)=f(1)=1$，并在 $(-1,1)$ 上可导且恒有 $f'=1$，但在左端点不连续，因此没有水平切线。函数 $|x|$ 在 $[-1,1]$ 连续且端点值相同，却在唯一可能的内点极小处不可导，也没有导数为零的内点。这两例分别说明闭区间连续与开区间可导都不能省略。

拉格朗日中值定理平移掉割线斜率

拉格朗日中值定理

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 上可导，其中 $a<b$，则存在 $c\in(a,b)$ 使

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

令割线斜率 $m=[f(b)-f(a)]/(b-a)$，并构造

函数 $\phi$ 继承连续性和可导性，而且 $\phi(a)=\phi(b)=0$。罗尔定理给出某个内点 $c$ 满足 $\phi'(c)=0$，即 $f'(c)=m$。证明的实质是从原函数中减去连接端点的直线，使问题退化为相同端点值的情形。

中值定理立即带来三类区间控制。若区间内 $f'=0$，任取两点应用定理，函数值之差都为零，所以函数为常数。若 $f'\ge0$，则任意 $x_1<x_2$ 有 $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)\ge0$，所以函数单调不减；若处处 $f'>0$，则严格递增。设常数 $M\ge0$ 满足区间内 $|f'|\le M$，则

这把导数上界转成函数变化的线性上界。

导数符号表给出单调与局部极值

函数定义域中的内点若满足 $f'(c)=0$ 或 $f'(c)$ 不存在，称为临界点。临界点只是候选。若 $f'$ 在 $c$ 左侧为正、右侧为负，函数先增后减，$c$ 是局部极大点；若符号由负变正，则是局部极小点；两侧同号时通常没有局部极值。

闭区间上的绝对极值还必须检查端点。对在 $[a,b]$ 连续的函数，先找出 $(a,b)$ 内所有临界点，再比较端点和临界点的函数值。若方程 $f'=0$ 有无限多个解或函数分段复杂，不能把“列出有限候选”当作自动成立，仍需回到紧致性和函数结构分析。

在闭区间上同时判断单调性与绝对极值

设 $f(x)=x^3-3x$，考察区间 $[-2,3]$。导数

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$

在 $x=-1,1$ 处为零。其符号在 $(-\infty,-1)$ 上为正，在 $(-1,1)$ 上为负，在 $(1,\infty)$ 上为正。因此 $-1$ 是局部极大点，$1$ 是局部极小点。

绝对极值要比较四个候选值：

$$f(-2)=-2,\qquad f(-1)=2,\qquad f(1)=-2,\qquad f(3)=18.$$

所以闭区间上的绝对最大值是 $18$，在 $x=3$ 取得；绝对最小值是 $-2$，在 $x=-2$ 和 $x=1$ 两处取得。端点 $3$ 不是临界点，却给出绝对最大值，这说明只解 $f'=0$ 并不完整。

二阶导数描述斜率怎样变化

若 $f'$ 在区间上递增，函数图像称为凹向上；若 $f'$ 递减，称为凹向下。若 $f''$ 存在，则 $f''>0$ 是凹向上的充分条件，$f''<0$ 是凹向下的充分条件。切线位置提供几何解释：可导的凹向上函数通常位于各条切线之上，凹向下函数位于切线之下。

拐点要求点在函数定义域内，并且凹凸性穿过该点时发生改变。解 $f''=0$ 或寻找 $f''$ 不存在的点，只能产生候选。$x^4$ 在原点满足二阶导数为零，但两侧都凹向上，不是拐点；$x^{1/3}$ 在原点二阶导数不存在，凹凸性却发生改变。最终判断必须查看两侧符号。

二阶导数也能判别部分驻点。若 $f'(c)=0$ 且 $f''(c)>0$，则 $c$ 是严格局部极小点；若 $f''(c)<0$，则是严格局部极大点；若 $f''(c)=0$，检验没有结论。该检验是方便的充分条件，不能取代一阶符号变化或极值定义。

泰勒公式让多项式近似带上误差责任

在 $a$ 处依次匹配函数值和前 $n$ 阶导数，得到泰勒多项式

只有多项式还不够；近似是否可信取决于余项。有限阶泰勒公式把函数精确拆成 $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$。

带拉格朗日余项的泰勒公式

设 $n\ge0$，函数 $f$ 在包含 $a$ 与 $x$ 的闭区间上具有连续的 $n+1$ 阶导数。若 $x\ne a$，则存在位于 $a$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使

$$f(x) =\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.$$

证明思路是把待证余项系数固定下来。令 $R=f(x)-P_n(x)$、$\lambda=R/(x-a)^{n+1}$，并定义

$G(x)=0$，而 $G(a)$ 及其前 $n$ 阶导数在 $a$ 都为零。连续使用罗尔定理 $n+1$ 次，得到某个 $\xi$ 满足 $G^{(n+1)}(\xi)=0$。由于 $P_n^{(n+1)}=0$，整理便得 $\lambda=f^{(n+1)}(\xi)/(n+1)!$。

若整个相关区间上 $|f^{(n+1)}(t)|\le M$，余项满足可计算上界

有限阶公式在条件成立时是带余项的精确等式。把 $n$ 无限增大并声称函数等于其无穷泰勒级数，需要另证余项趋于零；光滑函数也不一定等于自己的泰勒级数。

用三次泰勒多项式估算 e⁰·²

在 $a=0$ 处，$e^x$ 的各阶导数都等于 $e^x$，三次多项式为

$$P_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}.$$

代入 $x=0.2$，

$$P_3(0.2) =1+0.2+0.02+\frac{0.008}{6} =1.221333\ldots.$$

在 $[0,0.2]$ 上四阶导数 $e^t\le e^{0.2}$，因此

$$|R_3(0.2)| \le\frac{e^{0.2}}{24}(0.2)^4 <8.15\times10^{-5}.$$

实际值约为 $1.22140276$，误差约 $6.94\times10^{-5}$，落在上界之内。上界不必等于实际误差；它的作用是在尚不知道精确值时仍能担保近似精度。

渐近线与导数共同构成作图骨架

若 $x\to a^-$ 或 $x\to a^+$ 时 $f(x)$ 趋于正、负无穷，则 $x=a$ 是竖直渐近线。若 $x\to+\infty$ 或 $x\to-\infty$ 时 $f(x)\to L$，则对应方向有水平渐近线 $y=L$。左右或正负无穷两个方向应分别计算，结论可以不同。

若存在常数 $m,b$ 使

，则 $y=mx+b$ 是相应方向的斜渐近线。在极限存在时可依次求

可靠的函数作图先列定义域和间断点，再求截距、对称性与端点极限，随后用 $f'$ 分区判断单调和极值，用 $f''$ 判断凹凸与拐点，最后核对渐近线两侧的趋向。每一项信息都缩小图像可能性；草图是这些结论的汇总，不是结论的来源。

完整分析一个带斜渐近线的有理函数

令

$$f(x)=\frac{x^2}{x-1},\qquad x\ne1.$$

多项式除法给出

$$f(x)=x+1+\frac1{x-1}.$$

所以 $x=1$ 是竖直渐近线，且 $x\to1^-$ 时 $f\to-\infty$、$x\to1^+$ 时 $f\to+\infty$；当 $x\to\pm\infty$ 时，斜渐近线是 $y=x+1$。导数为

$$f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$$

分母在定义域内恒正，所以函数在 $(-\infty,0)$ 与 $(2,\infty)$ 递增，在 $(0,1)$ 与 $(1,2)$ 递减。于是 $(0,0)$ 是局部极大点， $(2,4)$ 是局部极小点。不能把 $(0,1)$ 与 $(1,2)$ 合并成一个单调区间，因为函数在 $1$ 处没有定义。

再由

$$f''(x)=\frac{2}{(x-1)^3}$$

可知图像在 $x<1$ 时凹向下，在 $x>1$ 时凹向上。凹凸性虽在 $1$ 两侧不同，$1$ 不是拐点，因为它不属于定义域。零点、两个极值、两侧无穷行为和斜渐近线共同确定了草图的主要骨架。

容易被口诀遮住的边界

端点相等仍不能跳过可导条件

$f(x)=|x|$ 在 $[-1,1]$ 连续且 $f(-1)=f(1)$，但它在原点不可导。除原点外导数只取 $-1$ 或 $1$，不存在导数为零的内点。罗尔定理的开区间可导条件不可删除。

临界点不是极值点的同义词

$f'(c)=0$、$f'(c)$ 不存在、端点和分段边界都可能成为检查对象，但只有邻域函数值比较或导数符号变化才能确认局部极值。闭区间绝对极值还要比较所有合法候选的函数值。

二阶导数为零不等于拐点

$f''(c)=0$ 只表示常用充分判据暂时无结论。必须确认 $c$ 属于定义域，并检查两侧凹凸性是否改变；同样，二阶导数不存在的点也可能是拐点候选。

练习：让每个判据都留下条件证据

练习标记完成

对 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[1,4]$ 应用拉格朗日中值定理，求定理保证的点 $c$，并核对它位于开区间内。

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平方根函数在 $[1,4]$ 连续、在 $(1,4)$ 可导。割线斜率为

$$\frac{\sqrt4-\sqrt1}{4-1}=\frac13.$$

由 $f'(x)=1/(2\sqrt x)$，方程 $1/(2\sqrt c)=1/3$ 给出 $\sqrt c=3/2$，所以 $c=9/4\in(1,4)$。

练习标记完成

证明方程 $x^3+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内恰有一个实根。

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令 $p(x)=x^3+x-1$。它在 $[0,1]$ 连续，且 $p(0)=-1<0$、$p(1)=1>0$，介值定理保证至少有一个根。又因为

$$p'(x)=3x^2+1>0$$

在实线上处处成立，中值定理推出 $p$ 严格递增，因此不可能有两个不同实根。存在性与唯一性的依据不同，合起来得到恰有一个根。

练习标记完成

求 $f(x)=x+4/x$ 在 $[1,5]$ 上的绝对最大值与绝对最小值。

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函数在闭区间连续，导数

$$f'(x)=1-\frac4{x^2}$$

在区间内部只于 $x=2$ 为零。比较候选：

$$f(1)=5,\qquad f(2)=4,\qquad f(5)=\frac{29}{5}.$$

所以绝对最小值为 $4$，在 $x=2$ 取得；绝对最大值为 $29/5$，在右端点 $x=5$ 取得。

练习标记完成

确定 $f(x)=x^4-4x^3$ 的凹凸区间与拐点。

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$$f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2).$$

二阶导数在 $(-\infty,0)$ 为正，在 $(0,2)$ 为负，在 $(2,\infty)$ 为正。因此函数先凹向上，再凹向下，最后凹向上。凹凸性在 $x=0$ 与 $x=2$ 两处都改变，所以拐点为 $(0,0)$ 与 $(2,-16)$。

练习标记完成

用 $\sin x$ 在 $0$ 处的五次泰勒多项式估算 $\sin0.3$，并给出拉格朗日余项的绝对值上界。

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五次多项式为

$$P_5(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}.$$

因此

$$P_5(0.3) =0.3-\frac{0.027}{6}+\frac{0.00243}{120} =0.29552025.$$

$\sin x$ 的六阶导数绝对值不超过 $1$，故

$$|R_5(0.3)| \le\frac{0.3^6}{6!} =1.0125\times10^{-6}.$$

这个结论不需要预先知道 $\sin0.3$ 的精确小数。

练习标记完成

对 $g(x)=(x^2+1)/(x-1)$ 求竖直与斜渐近线、单调区间和局部极值。

查看解答

多项式除法给出

$$g(x)=x+1+\frac2{x-1},$$

所以竖直渐近线是 $x=1$，斜渐近线是 $y=x+1$。导数

$$g'(x)=1-\frac2{(x-1)^2}$$

在 $x=1\pm\sqrt2$ 处为零。当 $|x-1|>\sqrt2$ 时导数为正，当 $0<|x-1|<\sqrt2$ 时为负。因此函数在

$$(-\infty,1-\sqrt2),\quad(1+\sqrt2,\infty)$$

递增，在

$$(1-\sqrt2,1),\quad(1,1+\sqrt2)$$

递减。左侧临界点是局部极大点，函数值 $2-2\sqrt2$；右侧临界点是局部极小点，函数值 $2+2\sqrt2$。

练习标记完成

说明为什么罗尔定理不能用于 $f(x)=|x|$ 在 $[-1,1]$ 上，并直接核对其结论确实不成立。

查看解答

$f$ 在闭区间连续，且 $f(-1)=f(1)=1$，但它在内点 $0$ 不可导，因此缺少“在 $(a,b)$ 可导”这一条件。对 $x<0$ 有 $f'(x)=-1$，对 $x>0$ 有 $f'(x)=1$；原点导数不存在，所以整个开区间内没有任何点满足 $f'(c)=0$。这恰好展示了缺失条件后结论可以失败。

概念网络中的位置

• 导数与微分 提供差商、链式法则、隐式求导和局部线性模型。
• 极限与连续性 支持闭区间连续、介值定理和渐近行为的判定。
• 积分与累积 将在下一部分把局部变化率与总累积重新连接。
• 泰勒展开 在数值分析和科学计算中继续发展阶数选择与截断误差。

可交叉核对的开放教材

书籍 · 2016

Calculus Volume 1

Gilbert Strang, Edwin Herman

用于核对基础微积分定义、定理条件、分步例题与练习。

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OpenStax《Calculus Volume 1》第 4 章覆盖极值、中值定理、导数判别、函数作图与线性近似；泰勒公式可结合后续级数材料继续核对条件和例题。

课程 · 2010

MIT 18.01SC Single Variable Calculus

David Jerison

课程材料连接严格定义、计算技巧与应用，可作为完整学习序列。

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MIT OpenCourseWare 18.01SC 的 Applications of Differentiation 单元包含中值定理、曲线描绘、极值及近似相关讲义与带解练习，适合按课程顺序复算本章结论。

两项资源用于核对定义、定理条件和练习路径，不代替本章逐步写出的证明。遇到不同教材的“凹/凸”中文术语差异，应以二阶导数符号和“凹向上/凹向下”的明确描述为准。

书籍 · 2016

Calculus Volume 2

Gilbert Strang, Edwin Herman

用于核对数列与级数的收敛条件、积分技巧、反常积分和幂级数例题。

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OpenStax Calculus Volume 2 在本章用于核对 Taylor 多项式、余项估计、广义积分和级数方法对导数应用的延伸；闭区间极值、中值定理和基本曲线分析则由 Volume 1 与 MIT 18.01SC 资源直接支持。这样可避免用后续级数章节反向充当中值定理的原始依据。

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积分与累积 后，面积与总量将由黎曼和定义，微积分基本定理再把累积函数的导数还原为被积函数。本章的单调性和极值分析可用于判断被积函数符号与积分范围，泰勒余项则会在数值求积和误差分析中继续出现。