M02 · 第 4 章 · 课程规划页
中值定理与导数应用
本章研究中值定理与导数应用。内容依次处理罗尔定理与拉格朗日中值定理、导数符号、单调区间与极值、曲率、渐近线与函数作图。
- 所在 Part
- 第二编 微分学
- 预计学习
- 40 分钟
- 建设状态
- 已规划，尚无正式正文
计划实验
本章未登记独立交互实验；定义、公式和例题仍按下列提纲规划。
LEARNING OBJECTIVES
完成本章后应能
- 01准确说明罗尔定理与拉格朗日中值定理。
- 02完成导数符号、单调区间与极值所需的推导、证明或算法。
- 03使用计算、例题或反例检验曲率、渐近线与函数作图。
PLANNED SECTIONS
计划章节结构
- 01
罗尔定理与拉格朗日中值定理
界定罗尔定理与拉格朗日中值定理，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
- 02
导数符号、单调区间与极值
推导导数符号、单调区间与极值，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
- 03
曲率、渐近线与函数作图
检验曲率、渐近线与函数作图，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
计划定义
罗尔定理与拉格朗日中值定理：对象、记号与前提
围绕罗尔定理与拉格朗日中值定理列出主要对象、符号、前提与定义边界。
计划公式
导数符号、单调区间与极值：关系、判据与可复核步骤
把导数符号、单调区间与极值整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
计划例题
曲率、渐近线与函数作图：案例、反例与核验
围绕曲率、渐近线与函数作图给出明确输入、前提或数据，逐步分析并用反例、误差、守恒量或边界条件复核。
计划练习
中值定理与导数应用：定义、关系与边界综合练习
联结罗尔定理与拉格朗日中值定理、导数符号、单调区间与极值与曲率、渐近线与函数作图，分别检验定义辨析、主要步骤和适用边界。
本章概念落点
以下位置是术语、搜索和知识图谱引用本计划章节时使用的稳定链接。
- 链式法则把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积，并推广到多变量映射。
- Taylor 展开以一点处的导数构造多项式局部近似，并用余项控制截断误差。
关键词
中值定理、导数应用、第二编 微分学、单变量微积分