微分形式、外微分与 Stokes 定理

把“沿方向测量”组织成可积分对象

切向量描述点处可能的速度，余切向量则把速度线性地变成数。函数的微分、曲线上的功、曲面上的通量和体积元都属于这一思路的不同次数。微分形式将它们统一成作用于若干切向量的交替多线性函数；“交替”保证重复方向不给有向面积或体积，也自动记录交换方向时的符号变化。

坐标表达是计算工具，不是定义的全部。形式可以被光滑映射拉回，可以在定向流形上积分，并有一个不依赖坐标的微分算子 $\mathrm d$。这些操作由广义 Stokes 定理联系：内部的外微分积分等于边界上的原形式积分。

余切空间与交替张量

余切空间与微分形式

对光滑流形 $M$ 和 $p\in M$，切空间的线性对偶

$$T_p^*M=\operatorname{Hom}(T_pM,\mathbb R)$$

称为余切空间。若 $(x^1,\ldots,x^n)$ 是局部坐标，则坐标函数的微分 $\mathrm dx^i|_p$ 由

$$\mathrm dx^i|_p(v)=v(x^i)$$

定义，并与 $\partial/\partial x^j|_p$ 对偶： $\mathrm dx^i(\partial/\partial x^j)=\delta^i_j$。

一个交替 $k$-协变张量是多线性映射

$$\omega_p:(T_pM)^k\to\mathbb R$$

且交换任意两个输入会变号。所有这类张量组成 $\Lambda^kT_p^*M$。光滑 $k$-形式是随 $p$ 光滑变化的选择 $\omega_p\in\Lambda^kT_p^*M$，记作 $\omega\in\Omega^k(M)$。零形式就是光滑函数；当 $k>n$ 时，$\Omega^k(M)=\{0\}$。

在坐标邻域内，每个 $k$-形式唯一写成

其中系数函数 $a_I$ 光滑。严格递增指标已经吸收所有换序符号，并显示 $\dim\Lambda^kT_p^*M=\binom nk$。

楔积编码有向面积和体积

楔积

若 $\alpha\in\Omega^k(M)$、$\beta\in\Omega^\ell(M)$，其楔积 $\alpha\wedge\beta\in\Omega^{k+\ell}(M)$ 是张量积的交替化，并满足

$$\alpha\wedge\beta=(-1)^{k\ell}\beta\wedge\alpha,$$

$$(\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma =\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma).$$

对一形式 $\eta_1,\ldots,\eta_k$，有

$$(\eta_1\wedge\cdots\wedge\eta_k)(v_1,\ldots,v_k) =\det\bigl(\eta_i(v_j)\bigr).$$

因此 $\mathrm dx\wedge\mathrm dx=0$，而 $\mathrm dy\wedge\mathrm dx=-\mathrm dx\wedge\mathrm dy$。当 $k\ell$ 为偶数时，高次形式可以交换而不变号；不能把一形式的反交换口诀机械用于所有次数。

例 1：由行列式展开楔积

在 $\mathbb R^3$ 上令

$$\alpha=\mathrm dx+2\,\mathrm dy, \qquad \beta=\mathrm dy+3\,\mathrm dz.$$

双线性展开并删去 $\mathrm dy\wedge\mathrm dy$：

$$\begin{aligned} \alpha\wedge\beta &=\mathrm dx\wedge\mathrm dy +3\,\mathrm dx\wedge\mathrm dz +6\,\mathrm dy\wedge\mathrm dz. \end{aligned}$$

取 $u=(1,0,1)$、$v=(0,1,1)$，则

$$(\alpha\wedge\beta)(u,v) =\det\begin{pmatrix} \alpha(u)&\alpha(v)\\ \beta(u)&\beta(v) \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=-2.$$

用展开式逐项代入也得到 $1-3+0=-2$。交换 $u,v$ 后结果变为 $2$，核验了交替性。

拉回把目标空间的形式带回源空间

微分形式的拉回

设 $F:M\to N$ 光滑，$\omega\in\Omega^k(N)$。拉回 $F^*\omega\in\Omega^k(M)$ 定义为

$$(F^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_k) =\omega_{F(p)} (\mathrm dF_pv_1,\ldots,\mathrm dF_pv_k).$$

对函数 $f\in\Omega^0(N)$，$F^*f=f\circ F$。拉回保持楔积，并按复合的反向顺序满足

$$(G\circ F)^*=F^*\circ G^*.$$

“反向”是类型决定的：$F$ 把点和切向量从 $M$ 推到 $N$，所以 $N$ 上的协变对象沿 $F$ 回到 $M$。若 $y^a$ 是 $N$ 的坐标，

之后用楔积和线性扩张即可计算任意形式。

例 2：参数曲面的面积投影来自拉回

设 $F:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$，

$$F(u,v)=(u,v,u^2+v^2),$$

并取二形式 $\omega=z\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy$。因为

$$F^*z=u^2+v^2, \qquad F^*\mathrm dx=\mathrm du, \qquad F^*\mathrm dy=\mathrm dv,$$

所以

$$F^*\omega=(u^2+v^2)\,\mathrm du\wedge\mathrm dv.$$

若在单位圆盘 $D$ 上积分，则

$$\int_DF^*\omega =\int_0^{2\pi}\int_0^1r^2\,r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta =\frac\pi2.$$

这是形式沿参数化的有向积分。它不是曲面的无向面积；后者还需要由度量产生的面积密度，不能仅把任意二形式称作面积元。

外微分提升次数且满足 d²=0

外微分

外微分是映射

$$\mathrm d:\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M),$$

在局部坐标中由

$$\mathrm d\left(\sum_Ia_I\,\mathrm dx^I\right) =\sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial x^j} \,\mathrm dx^j\wedge\mathrm dx^I$$

给出。它满足

$$\mathrm d(\alpha\wedge\beta) =\mathrm d\alpha\wedge\beta +(-1)^k\alpha\wedge\mathrm d\beta, \qquad \alpha\in\Omega^k(M),$$

$$\mathrm d\circ\mathrm d=0, \qquad F^*(\mathrm d\omega)=\mathrm d(F^*\omega).$$

对函数 $f$，这个定义恢复全微分 $\mathrm df=\sum_i(\partial f/\partial x^i)\mathrm dx^i$。再微分一次：

若 $f\in C^2$，混合偏导系数关于 $i,j$ 对称，而楔积关于 $i,j$ 反对称；对角项本身为零，非对角项成对抵消。对一般形式，同样的二阶系数抵消，且 $\mathrm d(\mathrm dx^i)=0$。这给出 $\mathrm d^2=0$ 的坐标证明。

这里还要说明坐标不变性。换坐标 $y=y(x)$ 时，一形式按 $\mathrm dy^a=\sum_i(\partial y^a/\partial x^i)\mathrm dx^i$ 变换。把局部外微分公式换到 $x$ 坐标后，链式法则给出一阶项；坐标函数的二阶导数项因对称与楔积反对称而消失。于是两张图在重叠处定义同一个形式。等价地，外微分与每个坐标变换的拉回交换。故 $\mathrm d$ 不是依赖某张图的偏导记号。

例 3：闭形式、恰当形式与局部势

在 $\mathbb R^2$ 上令

$$\alpha=(-y+2x)\,\mathrm dx+(x+2y)\,\mathrm dy.$$

计算得

$$\begin{aligned} \mathrm d\alpha &=\mathrm d(-y+2x)\wedge\mathrm dx +\mathrm d(x+2y)\wedge\mathrm dy\\ &=(-\mathrm dy+2\mathrm dx)\wedge\mathrm dx +(\mathrm dx+2\mathrm dy)\wedge\mathrm dy\\ &=\mathrm dx\wedge\mathrm dy +\mathrm dx\wedge\mathrm dy =2\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy. \end{aligned}$$

因此 $\alpha$ 不是闭形式，也不可能是某个函数的全微分，因为若 $\alpha=\mathrm df$，则 $\mathrm d\alpha=\mathrm d^2f=0$。若改成 $\beta=(2x-y)\mathrm dx+(2y-x)\mathrm dy$，则 $\mathrm d\beta=0$，且直接积分得到

$$\beta=\mathrm d(x^2-xy+y^2).$$

闭表示 $\mathrm d\omega=0$，恰当表示 $\omega=\mathrm d\eta$。$\mathrm d^2=0$ 保证恰当必闭；反向在可缩小邻域成立，这是 Poincaré 引理，但全局反向会受到洞的阻碍。

定向决定积分的符号

流形定向与边界取向

一个 $n$ 维光滑流形的定向可以由一族坐标图给出，要求任意重叠处的坐标过渡 Jacobian 行列式为正。等价地，若流形存在处处非零的光滑顶次形式 $\mu$，可规定使 $\mu(v_1,\ldots,v_n)>0$ 的有序基为正向基。

对定向带边流形 $M$，边界采用“外向优先”约定：若 $\nu$ 是指向流形外部的横截向量，则 $(v_1,\ldots,v_{n-1})$ 是 $T_p\partial M$ 的正向基，当且仅当 $(\nu,v_1,\ldots,v_{n-1})$ 是 $T_pM$ 的正向基。

例如平面区域 $[0,\infty)\times\mathbb R$ 取 $\mathrm dx\wedge\mathrm dy$ 定向。在边界 $x=0$ 上，外向量是 $-\partial_x$；为使 $(-\partial_x,v)$ 与 $(\partial_x,\partial_y)$ 同向，必须取 $v=-\partial_y$。因此该竖直边的正向向下，与“沿正向边界行走时区域在左侧”一致。

不可定向流形没有全局一致的顶次形式符号。此时可以积分密度，但不能不加额外结构就积分普通顶次形式并宣称有全局有向值。

流形积分由坐标换元拼接

若定向 $n$ 维流形上的顶次形式 $\omega$ 支撑在一张正向图 $x:U\to\mathbb R^n$ 内，并写成

定义

正向换元的 Jacobian 行列式为正，形式系数与体积换元因子恰好配合，故结果不依赖正向坐标。一般紧支撑形式用分割单位拆到多个坐标邻域，再求和；分割单位的不同不会改变结果。若参数化 $F:C\to M$ 描述一条或一片定向链，则按 $\int_CF^*\omega$ 计算，这正是曲线积分和参数曲面积分的统一来源。

广义 Stokes 定理把内部与边界连接起来

广义 Stokes 定理

设 $M$ 是紧的定向光滑 $n$ 维带边流形，边界采用外向优先取向。对任意 $\omega\in\Omega^{n-1}(M)$，有

$$\int_M\mathrm d\omega =\int_{\partial M}\omega.$$

若 $M$ 非紧，只要 $\omega$ 具有紧支撑并满足相应边界条件，同一公式仍成立。

证明先在半空间坐标片上用一维微积分基本定理处理法向坐标；切向方向的紧支撑项在无穷端消失。再用分割单位把一般形式分解到这些坐标片。内部坐标片的边界贡献为零，相邻局部项通过取向和分割单位关系抵消，只留下真实边界。这个框架解释定理为何成立，但一张带箭头的图不能替代局部积分与拼接论证。

例 4：单位圆盘上的 Stokes 核验

令 $D=\{x^2+y^2\le1\}$ 取标准定向，边界逆时针。取一形式

$$\omega=-\frac y2\,\mathrm dx+\frac x2\,\mathrm dy.$$

外微分为

$$\mathrm d\omega =-\frac12\mathrm dy\wedge\mathrm dx +\frac12\mathrm dx\wedge\mathrm dy =\mathrm dx\wedge\mathrm dy.$$

因此内部积分是圆盘面积：

$$\int_D\mathrm d\omega=\pi.$$

边界参数为 $c(t)=(\cos t,\sin t)$，$0\le t\le2\pi$。拉回满足

$$c^*\omega =\frac12(\sin^2t+\cos^2t)\,\mathrm dt =\frac12\,\mathrm dt,$$

故

$$\int_{\partial D}\omega =\int_0^{2\pi}\frac12\,\mathrm dt=\pi.$$

两侧一致。若边界改为顺时针，边界积分会变为 $-\pi$，但那已不是由圆盘标准定向诱导的边界取向，不能仍代入同一取向版本的定理。

当 $n=1$，取区间 $[a,b]$ 与零形式 $f$，Stokes 定理就是 $\int_a^b f'(x)\,\mathrm dx=f(b)-f(a)$。当 $n=2$，取 $\omega=P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy$，则

得到 Green 环流公式。在 $\mathbb R^3$ 中，一形式对应向量场的环流，二形式对应通量，分别恢复经典 Stokes 与散度定理。统一结构不消除正则性、支撑、边界和取向条件。

闭不一定恰当：全局拓扑仍然可见

在穿孔平面 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ 上，一形式

满足 $\mathrm d\eta=0$。然而沿逆时针单位圆拉回为 $\mathrm dt$，积分为 $2\pi$。若存在全局函数 $f$ 使 $\eta=\mathrm df$，则任意闭曲线积分应由端点差给出零，矛盾。因此 $\eta$ 闭但不恰当。外微分检测局部变化，闭形式能否全局积分成势还取决于空间的洞；这正是微分形式连接分析与拓扑的入口。

参数思考实验：翻转坐标会改变什么

在平面上用 $F(u,v)=(u,-v)$ 重参数化。标准面积形式满足

负号来自 Jacobian 行列式 $-1$，说明参数化反转取向。若积分对象是有向二形式，积分随之变号；若计算由度量定义的无向面积，则使用绝对 Jacobian，不变号。形式的拉回公式精确区分这两类问题，不能只看参数像集相同就认为积分一定相同。

常见误区

dx 与一个很小的数相乘

$\mathrm dx$ 是余切向量场，输入切向量后返回其 $x$ 分量。楔积和拉回遵循线性代数规则，不是把无穷小量当普通实数随意约分。

d²=0 只是记号约定

它来自光滑系数的混合偏导对称性和楔积反对称性的严格抵消，并对坐标变换保持。正因如此，每个恰当形式必为闭形式。

闭形式在任何空间都存在全局势

Poincaré 引理是局部结论，或在星形、可缩等适当区域上的全局结论。穿孔平面的角形式给出闭而不恰当的反例。

Stokes 定理只需边界画得光滑

还要有流形及边界的相容取向、形式在邻域内的光滑性，以及紧性或紧支撑等积分条件。若区域内含奇点，应先删去奇点并计入新增边界。

综合练习

练习 1：计算一形式的外微分标记完成

所属知识

楔积与外微分

难度

3/5

在 $\mathbb R^3$ 上令

$$\alpha=yz\,\mathrm dx+x^2\,\mathrm dy.$$

求 $\mathrm d\alpha$，并核验 $\mathrm d^2\alpha=0$。

查看提示

分别对两个系数求全微分，再把 $dy\wedge dx$ 换成负的 $dx\wedge dy$。

查看解答

先计算

$$\begin{aligned} \mathrm d\alpha &=(z\,\mathrm dy+y\,\mathrm dz)\wedge\mathrm dx +2x\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy\\ &=(2x-z)\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy -y\,\mathrm dx\wedge\mathrm dz. \end{aligned}$$

再微分：

$$\begin{aligned} \mathrm d^2\alpha &=\mathrm d(2x-z)\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy -\mathrm dy\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dz\\ &=-\mathrm dz\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy -\mathrm dy\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dz=0, \end{aligned}$$

因为第一项整理为 $-\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$，第二项为 $+\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$。这也直接核验了 $\mathrm d^2=0$。

练习 2：抛物面参数化的拉回标记完成

所属知识

拉回

难度

4/5

对 $F(u,v)=(u,v,u^2+v^2)$，计算

$$F^*(z\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy) \quad\text{与}\quad F^*(\mathrm dz\wedge\mathrm dx).$$

查看提示

先分别计算 $F^*\mathrm dx$、$F^*\mathrm dy$、$F^*\mathrm dz$，再保持楔积中的次序。

查看解答

有

$$F^*\mathrm dx=\mathrm du, \quad F^*\mathrm dy=\mathrm dv, \quad F^*\mathrm dz=2u\,\mathrm du+2v\,\mathrm dv.$$

因此

$$F^*(z\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy) =(u^2+v^2)\,\mathrm du\wedge\mathrm dv,$$

以及

$$F^*(\mathrm dz\wedge\mathrm dx) =(2u\,\mathrm du+2v\,\mathrm dv)\wedge\mathrm du =-2v\,\mathrm du\wedge\mathrm dv.$$

$2u\,\mathrm du\wedge\mathrm du$ 为零，第二项换序产生负号。

练习 3：闭但不恰当的角形式标记完成

所属知识

闭形式

难度

5/5

在 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ 上证明

$$\eta=\frac{-y\,\mathrm dx+x\,\mathrm dy}{x^2+y^2}$$

是闭形式但不是恰当形式。

查看提示

先直接计算两个系数的偏导；再沿单位圆拉回，非零闭路积分排除全局势。

查看解答

写 $\eta=P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy$。直接求导可得

$$Q_x=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} =P_y,$$

故 $\mathrm d\eta=(Q_x-P_y)\mathrm dx\wedge\mathrm dy=0$。沿 $c(t)=(\cos t,\sin t)$ 有

$$c^*\eta =(-\sin t)(-\sin t\,\mathrm dt) +(\cos t)(\cos t\,\mathrm dt) =\mathrm dt,$$

所以 $\int_{S^1}\eta=2\pi$。若 $\eta=\mathrm df$，线积分基本定理会使闭路积分为零，矛盾。因此它闭而不恰当。

练习 4：正方形边界上的取向核验标记完成

所属知识

Stokes 定理

难度

4/5

令 $M=[0,1]^2$ 取标准定向，$\omega=x\,\mathrm dy$。分别计算 $\int_M\mathrm d\omega$ 与按诱导方向的 $\int_{\partial M}\omega$。

查看提示

先算 d(x dy)，再按逆时针方向逐边积分；只有竖直边可能有贡献。

查看解答

$\mathrm d\omega=\mathrm dx\wedge\mathrm dy$，所以

$$\int_M\mathrm d\omega=1.$$

边界正向为逆时针。底边与顶边上 $\mathrm dy=0$；右边从 $(1,0)$ 走到 $(1,1)$，$x=1$，贡献 $\int_0^1\mathrm dy=1$；左边虽然向下，但 $x=0$，贡献零。因此

$$\int_{\partial M}\omega=1,$$

与内部积分一致。若顺时针遍历，边界积分为 $-1$，那对应相反边界取向。

练习 5：由外微分恢复散度标记完成

所属知识

通量形式

难度

5/5

在 $\mathbb R^3$ 中设向量场 $X=(P,Q,R)$，对应二形式

$$\beta=P\,\mathrm dy\wedge\mathrm dz -Q\,\mathrm dx\wedge\mathrm dz +R\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy.$$

证明

$$\mathrm d\beta=(P_x+Q_y+R_z) \,\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz.$$

查看提示

对三项分别外微分，含重复微分的一项为零，再把每项重排为 $dx\wedge dy\wedge dz$。

查看解答

在第一项中，$P_y\mathrm dy$ 与 $P_z\mathrm dz$ 都因重复楔积消失，只留下 $P_x\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$。第二项给出

$$-Q_y\,\mathrm dy\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dz =Q_y\,\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz.$$

第三项只留下 $R_z\mathrm dz\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy$；把 $\mathrm dz$ 移到末尾需两次交换，符号仍为正。相加即得

$$\mathrm d\beta=(P_x+Q_y+R_z) \,\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz.$$

在有界定向立体上应用 Stokes 定理，就得到通量形式的散度定理。

知识关系

• 流形、坐标图与切空间 提供切空间、映射微分、局部坐标和带边流形。
• 曲线积分与路径方向 是一形式沿一维参数链积分的经典表达。
• Green、Stokes 与 Gauss 定理 对应广义 Stokes 定理在二维与三维欧氏空间中的具体版本。
• Riemann 度量、测地线与曲率 将使用度量体积形式、联络与曲率形式继续发展几何。

已核实资源

课程 · 2005

Analysis II

Victor Guillemin

用于核对 M15 流形、切空间、微分形式和广义 Stokes 定理的定义、方向约定和例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.101 Analysis II 的课程材料系统处理流形、定向、微分形式、流形积分与 Stokes 定理，可用于核对外向优先的边界约定、拉回计算和定理条件。

课程 · 2004

Introduction to Topology

James Munkres

用于核对 M15 点集拓扑部分的定义、保持性质、分离条件、反例与练习。

打开官方来源

MIT 18.901 的拓扑基础在本章用于解释微分形式为何需要在坐标图之间一致拼接：开覆盖组织局部定义，连续映射与同胚保证坐标变化不改变底层空间，边界和定向则决定 Stokes 公式中的符号。它支撑的是局部公式成为全局对象的拓扑条件，而外微分与积分的光滑计算仍由本章的流形结构承担。

后续学习

微分形式提供了不依赖坐标的微分和积分语言，但尚未给切向量长度、夹角或最短路径。下一章

Riemann 度量、测地线与曲率 会在每个切空间上配置光滑内积，由此得到体积形式、Levi-Civita 联络、测地线与曲率。外微分不需要度量，而梯度、散度的向量表示和 Hodge 星算子需要度量；区分这两层结构，是继续学习微分几何时避免坐标公式混淆的关键。