M13 · 第 4 章 · 课程规划页
孤立奇点、Laurent 级数与留数
本章研究孤立奇点、Laurent 级数与留数。内容依次处理洛朗级数和孤立奇点分类、留数定理与闭合路径选择、实积分、无穷和的留数计算。
- 所在 Part
- 第二编 复积分
- 预计学习
- 40 分钟
- 建设状态
- 已规划，尚无正式正文
计划实验
本章未登记独立交互实验；定义、公式和例题仍按下列提纲规划。
LEARNING OBJECTIVES
完成本章后应能
- 01准确说明洛朗级数和孤立奇点分类。
- 02完成留数定理与闭合路径选择所需的推导、证明或算法。
- 03使用计算、例题或反例检验实积分、无穷和的留数计算。
PLANNED SECTIONS
计划章节结构
- 01
洛朗级数和孤立奇点分类
界定洛朗级数和孤立奇点分类，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
- 02
留数定理与闭合路径选择
推导留数定理与闭合路径选择，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
- 03
实积分、无穷和的留数计算
检验实积分、无穷和的留数计算，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
计划定义
洛朗级数和孤立奇点分类：对象、记号与前提
围绕洛朗级数和孤立奇点分类列出主要对象、符号、前提与定义边界。
计划公式
留数定理与闭合路径选择：关系、判据与可复核步骤
把留数定理与闭合路径选择整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
计划例题
实积分、无穷和的留数计算：案例、反例与核验
围绕实积分、无穷和的留数计算给出明确输入、前提或数据，逐步分析并用反例、误差、守恒量或边界条件复核。
计划练习
孤立奇点、Laurent 级数与留数：定义、关系与边界综合练习
联结洛朗级数和孤立奇点分类、留数定理与闭合路径选择与实积分、无穷和的留数计算，分别检验定义辨析、主要步骤和适用边界。
关键词
孤立奇点、Laurent 级数、留数、第二编 复积分、复分析