M11 · 第 4 章 · 课程规划页
约束优化、KKT 条件与对偶性
本章研究约束优化、KKT 条件与对偶性。内容依次处理拉格朗日乘子与 KKT 条件、拉格朗日对偶、弱对偶与强对偶、约束资格、互补松弛与灵敏度。
- 所在 Part
- 第二编 优化算法
- 预计学习
- 40 分钟
- 建设状态
- 已规划，尚无正式正文
计划实验
本章未登记独立交互实验；定义、公式和例题仍按下列提纲规划。
LEARNING OBJECTIVES
完成本章后应能
- 01准确说明拉格朗日乘子与 KKT 条件。
- 02完成拉格朗日对偶、弱对偶与强对偶所需的推导、证明或算法。
- 03使用计算、例题或反例检验约束资格、互补松弛与灵敏度。
PLANNED SECTIONS
计划章节结构
- 01
拉格朗日乘子与 KKT 条件
界定拉格朗日乘子与 KKT 条件，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
- 02
拉格朗日对偶、弱对偶与强对偶
推导拉格朗日对偶、弱对偶与强对偶，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
- 03
约束资格、互补松弛与灵敏度
检验约束资格、互补松弛与灵敏度，明确使用的条件、主要结论与可复核步骤。
计划定义
拉格朗日乘子与 KKT 条件：对象、记号与前提
围绕拉格朗日乘子与 KKT 条件列出主要对象、符号、前提与定义边界。
计划公式
拉格朗日对偶、弱对偶与强对偶：关系、判据与可复核步骤
把拉格朗日对偶、弱对偶与强对偶整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
计划例题
约束资格、互补松弛与灵敏度：案例、反例与核验
围绕约束资格、互补松弛与灵敏度给出明确输入、前提或数据，逐步分析并用反例、误差、守恒量或边界条件复核。
计划练习
约束优化、KKT 条件与对偶性：定义、关系与边界综合练习
联结拉格朗日乘子与 KKT 条件、拉格朗日对偶、弱对偶与强对偶与约束资格、互补松弛与灵敏度，分别检验定义辨析、主要步骤和适用边界。
本章概念落点
以下位置是术语、搜索和知识图谱引用本计划章节时使用的稳定链接。
- 约束优化在等式或不等式可行域内寻找最优解，并区分可行方向和活跃约束。
- 优化对偶由 Lagrangian 构造对偶函数，理解弱对偶、强对偶和对偶间隙。
- Lagrange 乘子用乘子把等式约束并入目标函数，并从梯度平行关系推导候选解。
- 近端方法用近端算子处理不可微正则项，并把梯度步骤与结构化收缩组合。
关键词
约束优化、KKT 条件、对偶性、第二编 优化算法、最优化与信息论