全系列路线
从量纲与测量出发，依次学习力学、场、热、量子、相对论与计算物理。
具备微积分和线性代数基础，希望建立完整本科物理结构的学习者。
物理量与单位、测量误差、不确定度、尺度估算与模型假设。
运动学、Newton 定律、功与能量、动量、刚体转动与引力。
变分原理、Lagrange 与 Hamilton 方程、正则变换和混沌。
振子、简正模、波动方程、干涉、衍射与光学分辨率。
Lorentz 变换、相对论动力学、等效原理与 Einstein 场方程。
晶体结构、声子、自由电子、能带、磁性与超导。
完成《物理量、测量与数学建模》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《经典力学》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《分析力学与非线性动力学》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《振动、波与光学》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《电磁学》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《热力学》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《统计物理》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《量子力学》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《狭义相对论与广义相对论基础》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《流体力学与连续介质》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《固体物理与凝聚态基础》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《计算物理》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
完成《粒子物理与场论导论》后，检查各章练习的解答，并说明计算中使用的条件。
难度 3/5
用 L=(0.600±0.001)m、T=(1.555±0.004)s 计算单摆给出的 g=4π²L/T² 及其独立标准不确定度，并判断哪个输入主导。
先算中心值；相对不确定度平方和中，周期项要乘系数 2。
中心值 g=4π²·0.600/1.555²≈9.80m/s²。相对贡献为 u(L)/L=0.00167 与 2u(T)/T=0.00514，所以 u(g)/g=√(0.00167²+0.00514²)=0.00540，得到 u(g)≈0.053m/s²。周期项较大并约占方差的九成。
结果核验：单位 m/s² 与加速度一致；用 9.80×0.00540 得 0.0529，与四舍五入后的 0.053 相符。
难度 4/5
质量 2kg 的小车从静止无摩擦下降 5m 后，与静止的 1kg 小车完全非弹性碰撞。取 g=9.8m/s²，求碰撞前速度、碰撞后共同速度和损失的动能。
下降段用机械能守恒，碰撞瞬间用动量守恒；完全非弹性碰撞不守恒动能。
下降段有 2gh=v²，所以碰撞前速度 v=√98≈9.90m/s。动量守恒给共同速度 V=2v/(2+1)≈6.60m/s。碰撞前动能等于 mgh=98J，碰撞后动能为 (1/2)·3·6.60²≈65.3J，所以损失约 32.7J。
结果核验：碰撞前后动量分别为 2·9.90≈19.8kg·m/s 与 3·6.60≈19.8kg·m/s；损失为正且能量账 65.3+32.7=98J 闭合。
难度 5/5
对 m=k=1 的简谐振子 H=(p²+q²)/2，给定 q(0)=1、p(0)=0，解 Hamilton 方程并写出相轨道与能量。
Hamilton 方程为 q'=∂H/∂p、p'=-∂H/∂q；再消去 p 得 q''+q=0。
方程为 q'=p、p'=-q，因此 q(t)=cos t、p(t)=-sin t。相轨道满足 q²+p²=1，是相平面上的单位圆；沿轨道 H=(sin²t+cos²t)/2=1/2，能量不随时间改变。
结果核验：对 q=cos t 求导得到 p=-sin t，再求 p'=-cos t=-q；任取 t 代入 q²+p² 都等于 1。
难度 4/5
一根长 1m、两端固定的弦上波速为 100m/s。求前三个本征频率，并写出第三模态的空间因子及内部节点位置。
固定端允许波长 λ_n=2L/n，频率 f_n=nv/(2L)，空间因子可取 sin(nπx/L)。
基频 f1=100/(2·1)=50Hz，所以 f2=100Hz、f3=150Hz。第三模态空间因子为 sin(3πx)，除两个固定端外，在 x=1/3m 与 2/3m 处为零，故有两个内部节点。
结果核验：第三模态波长为 2/3m，v/λ=100/(2/3)=150Hz；把 x=1/3、2/3 代入正弦分别得 sinπ、sin2π=0。
难度 4/5
点电荷 Q=2.00nC 位于半径 r=0.100m 的高斯球中心。取 ε0=8.854×10^-12C²/(N·m²)，求球面电场大小与总通量。
球面对称使 E 恒定且径向；用 E=Q/(4πε0r²) 与 Φ=Q/ε0。
电场大小 E=2.00×10^-9/[4π·8.854×10^-12·(0.100)²]≈1.80×10³N/C，方向径向向外。总通量 Φ=Q/ε0≈2.26×10²N·m²/C，也等于 E·4πr²。
结果核验：用 1.80×10³ 乘球面积 4π·0.01≈0.1257 得约 226，与 Q/ε0 的结果一致。
难度 4/5
可逆 Carnot 热机在 Th=600K、Tc=300K 间工作，每循环吸热 Qh=1200J。求效率、做功、放热，并核对两个热源的总熵变。
Carnot 效率为 1-Tc/Th；可逆循环满足 Qc/Qh=Tc/Th。
效率 η=1-300/600=1/2，所以每循环做功 W=ηQh=600J，向冷源放热 Qc=Qh-W=600J。热源熵变为 -Qh/Th=-2J/K，冷源熵变为 Qc/Tc=+2J/K，总熵变为 0。
结果核验：第一定律账目 1200=600+600J 闭合；可逆循环的总熵变为零，与 Carnot 假设一致。
难度 5/5
两能级系统能量为 0 与 ε，且 βε=ln3。求正则配分函数、激发态概率、平均能量和能量方差。
把 e^{-βε}=1/3 代入 Z=1+e^{-βε}；能量只取 0 或 ε。
Z=1+1/3=4/3。激发态概率为 (1/3)/(4/3)=1/4，基态概率为 3/4。平均能量为 ε/4；E[E²]=ε²/4，所以方差为 ε²/4-(ε/4)²=3ε²/16。
结果核验：两态概率 3/4+1/4=1；方差也可由二点分布 p(1-p)ε²=(1/4)(3/4)ε² 得到。
难度 5/5
量子比特处于 |ψ⟩=(√3/2)|0⟩+(1/2)|1⟩。求 σz 测量的结果概率、期望与方差，并估算 400 次独立测量样本均值的标准误。
σz 的结果为 +1、-1；概率是振幅模平方，样本均值标准误为 √(Var/N)。
测得 +1 的概率为 3/4，测得 -1 的概率为 1/4。期望为 3/4-1/4=1/2；因结果平方恒为 1，方差为 1-(1/2)²=3/4。400 次样本均值标准误为 √[(3/4)/400]=√3/40≈0.0433。
结果核验：振幅平方和 3/4+1/4=1；二值结果的期望必在 [-1,1] 内，且计算出的方差非负。
难度 5/5
用 ct 与 x 同单位表示事件 (ct,x)=(5km,3km)。对沿 x 方向 β=0.6 的惯性系求变换后坐标，并核对时空间隔。
γ=1/√(1-β²)=1.25，ct'=γ(ct-βx)，x'=γ(x-βct)。
ct'=1.25(5-0.6·3)=4km，x'=1.25(3-0.6·5)=0。原系间隔平方为 (ct)²-x²=25-9=16km²；新系为 4²-0²=16km²，保持不变。
结果核验：对结果施加速度 -0.6 的逆变换可恢复 ct=5km、x=3km；两个系的间隔平方都为 16km²。
难度 5/5
水平管中不可压水流从截面积 2.0cm²、速度 3.0m/s 的截面进入 0.50cm² 的细管。取 ρ=1000kg/m³，求细管速度与理想 Bernoulli 压强降。
先用 A1v1=A2v2，再用 p1+ρv1²/2=p2+ρv2²/2。
连续性给 v2=(2.0/0.50)·3.0=12m/s。水平无黏情形下 p1-p2=(ρ/2)(v2²-v1²)=500(144-9)=67500Pa。细管流速更高、静压更低。
结果核验：体积流量两侧分别为 2.0cm²·3.0m/s 与 0.50cm²·12m/s，数值相同；压强降为正。
难度 5/5
一维单原子链色散为 ω(k)=2√(K/M)|sin(ka/2)|。若 K/M=100s^-2、k=π/(3a)，求角频率和正 k 支上的群速度。
在给定 k 下 sin(π/6)=1/2；正支群速度为 dω/dk=a√(K/M)cos(ka/2)。
√(K/M)=10s^-1，故 ω=2·10·sin(π/6)=10rad/s。群速度 vg=10a·cos(π/6)=5√3a/s。这里 a 保留长度单位，因此群速度单位为长度每秒。
结果核验：在 k=0 时公式给 ω=0、vg=10a/s；在布里渊区边界 k=π/a 时 vg=0，符合色散曲线斜率。
难度 5/5
对 q''=-q，取 q0=1、p0=0、步长 h=0.1，执行一步 velocity-Verlet，并比较步前后 H=(p²+q²)/2。
先 p_{1/2}=p0-hq0/2，再 q1=q0+hp_{1/2}，最后用新位置完成另半步动量。
p_{1/2}=-0.05，q1=1+0.1(-0.05)=0.995，p1=-0.05-0.1·0.995/2=-0.09975。初始能量 H0=0.5；一步后 H1=[0.09975²+0.995²]/2≈0.4999875，能量误差约 -1.25×10^-5。
结果核验：固定 q0、p0、h 后三步更新完全确定；把 h 改为 -0.1 并从 (q1,p1) 反向执行可在舍入误差内返回初态。
难度 5/5
在 ħ=c=1 单位制中，自由 Klein–Gordon 平面波质量 m=2、三动量大小 |p|=3。求正频能量并验证色散关系；再说明低能有效描述为何要求比较能标与截断。
质量壳条件为 E²-|p|²=m²；正频支取平方根。
正频能量 E=√(p²+m²)=√(9+4)=√13。代回得到 E²-p²=13-9=4=m²，满足质量壳条件。若有效理论截断为 Λ，则展开只在 E/Λ 足够小时受控；本题需另给 Λ 才能判断低能近似是否可靠。
结果核验：√13 的平方减去 3² 恰为 4；没有给出 Λ 时不声称近似成立，避免把质量壳计算误当成有效理论误差界。
