本章路线
本章研究力在一段时间内的累积效应，以及多个物体发生短时相互作用时系统运动如何改变。除非另行说明，使用地面惯性参考系；一维问题取向右为 + x +x + x + x +x + x + y +y + y k g m s − 1 \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} kg m s − 1 N s \mathrm{N\,s} N s 1 N s = 1 k g m s − 1 1\,\mathrm{N\,s}=1\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} 1 N s = 1 kg m s − 1
任何守恒判断都从系统边界开始。选择“两辆车”为系统，车之间的碰撞力是内力，路面对车的摩擦与地球重力是外力；只选其中一辆车，另一辆车的接触力就跨边界成为外力。动量守恒不是一句脱离边界的口号，而是“所选系统在指定时间区间内总外冲量为零或相对很小”的结论。
动量为何适合短时相互作用
碰撞力可能在几毫秒内迅速变化，峰值难以直接测量。若我们关心的是碰撞前后的速度，就不必重建力的每个瞬时细节；只需知道力—时间曲线的有向面积，即冲量。碰撞持续时间很短时，重力等外力虽未消失，但其冲量可能远小于物体彼此施加的接触冲量，于是系统总动量可近似守恒。
质点动量与系统总动量
质量恒定为 m m m v \boldsymbol v v
p = m v . \boldsymbol p=m\boldsymbol v. p = m v . 由多个质点组成的系统，总动量为矢量和
P = ∑ i p i = ∑ i m i v i . \boldsymbol P=\sum_i\boldsymbol p_i=\sum_i m_i\boldsymbol v_i. P = i ∑ p i = i ∑ m i v i . 动量有方向，且依赖参考系。不能把各物体动量大小相加来代替矢量和。
冲量—动量定理
冲量
力 F ( t ) \boldsymbol F(t) F ( t ) t 1 t_1 t 1 t 2 t_2 t 2
J = ∫ t 1 t 2 F ( t ) d t . \boldsymbol J=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol F(t)\,\mathrm dt. J = ∫ t 1 t 2 F ( t ) d t . 若只知道该区间平均力，则 J = F a v g Δ t \boldsymbol J=\boldsymbol F_{\mathrm{avg}}\Delta t J = F avg Δ t
对质量恒定的质点，Newton 第二定律可写成
F n e t = d p d t . \boldsymbol F_{\mathrm{net}}=\frac{\mathrm d\boldsymbol p}{\mathrm dt}. F net = d t d p . 在时间上积分得到
J n e t = ∫ t 1 t 2 F n e t d t = p 2 − p 1 = Δ p . \boldsymbol J_{\mathrm{net}}
=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol F_{\mathrm{net}}\,\mathrm dt
=\boldsymbol p_2-\boldsymbol p_1
=\Delta\boldsymbol p. J net = ∫ t 1 t 2 F net d t = p 2 − p 1 = Δ p . 这就是冲量—动量定理。左侧是所有外加于该质点的力的净冲量，不是某个峰值力乘一个猜测时间。若力曲线为三角形、梯形或分段函数，应计算有向面积；平均力是产生相同冲量的等效恒力，并不表示真实力始终等于该值。
例 1：反弹使动量变化大于只停下
质量 m = 0.150 k g m=0.150\,\mathrm{kg} m = 0.150 kg 20.0 m s − 1 20.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} 20.0 m s − 1 + x +x + x 0.0120 s 0.0120\,\mathrm s 0.0120 s 15.0 m s − 1 15.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} 15.0 m s − 1 − x -x − x
球的动量变化为
Δ p x = m ( v 2 x − v 1 x ) = ( 0.150 ) ( − 15.0 − 20.0 ) = − 5.25 k g m s − 1 . \Delta p_x=m(v_{2x}-v_{1x})
=(0.150)(-15.0-20.0)
=-5.25\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. Δ p x = m ( v 2 x − v 1 x ) = ( 0.150 ) ( − 15.0 − 20.0 ) = − 5.25 kg m s − 1 . 因此墙对球的水平冲量是 J x = − 5.25 N s J_x=-5.25\,\mathrm{N\,s} J x = − 5.25 N s
F a v g , x = J x Δ t = − 438 N . F_{\mathrm{avg},x}=\frac{J_x}{\Delta t}
=-438\,\mathrm N. F avg , x = Δ t J x = − 438 N . 负号表示方向向左。若球只减速到静止，动量变化将是 − 3.00 k g m s − 1 -3.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} − 3.00 kg m s − 1
多质点系统、内力抵消与外冲量
对系统内第 i i i
d P d t = ∑ i F i , e x t = F e x t . \frac{\mathrm d\boldsymbol P}{\mathrm dt}
=\sum_i\boldsymbol F_{i,\mathrm{ext}}
=\boldsymbol F_{\mathrm{ext}}. d t d P = i ∑ F i , ext = F ext . 在时间区间内积分：
P 2 − P 1 = J e x t . \boldsymbol P_2-\boldsymbol P_1
=\boldsymbol J_{\mathrm{ext}}. P 2 − P 1 = J ext . 因此严格守恒条件是 J e x t = 0 \boldsymbol J_{\mathrm{ext}}=\boldsymbol 0 J ext = 0 ∥ J e x t ∥ ≪ ∥ Δ p i ∥ \lVert\boldsymbol J_{\mathrm{ext}}\rVert\ll\lVert\Delta\boldsymbol p_i\rVert ∥ J ext ∥ ≪ ∥ Δ p i ∥
系统边界还决定“质量是否固定”。若物质跨边界流入或流出，如火箭喷气、漏沙车或雨滴落入小车，不能仅对剩余物体写 P 2 = P 1 \boldsymbol P_2=\boldsymbol P_1 P 2 = P 1
质心与质心参考系
质心位置与质心速度
总质量 M = ∑ i m i M=\sum_i m_i M = ∑ i m i
R c m = 1 M ∑ i m i r i , V c m = 1 M ∑ i m i v i = P M . \boldsymbol R_{\mathrm{cm}}=
\frac{1}{M}\sum_i m_i\boldsymbol r_i,
\qquad
\boldsymbol V_{\mathrm{cm}}=
\frac{1}{M}\sum_i m_i\boldsymbol v_i
=\frac{\boldsymbol P}{M}. R cm = M 1 i ∑ m i r i , V cm = M 1 i ∑ m i v i = M P . 因此
M d V c m d t = F e x t . M\frac{\mathrm d\boldsymbol V_{\mathrm{cm}}}{\mathrm dt}
=\boldsymbol F_{\mathrm{ext}}. M d t d V cm = F ext . 内力能改变物体彼此间的运动，却不能单独改变固定质量系统质心的运动。
在以 V c m \boldsymbol V_{\mathrm{cm}} V cm v i ′ = v i − V c m \boldsymbol v_i'=\boldsymbol v_i-\boldsymbol V_{\mathrm{cm}} v i ′ = v i − V cm
∑ i m i v i ′ = P − M V c m = 0 . \sum_i m_i\boldsymbol v_i'
=\boldsymbol P-M\boldsymbol V_{\mathrm{cm}}=\boldsymbol0. i ∑ m i v i ′ = P − M V cm = 0 . 碰撞前后若外冲量为零，质心系保持同一个惯性系，总动量始终为零。这个视角把整体平移与相对运动分开：碰撞可以重排质心系中的动能和方向，却不影响质心匀速运动。
碰撞分类：动量守恒不等于动能守恒
弹性、非弹性与完全非弹性碰撞
在外冲量可忽略的碰撞系统中，总动量守恒。若碰撞前后总动能也相等，称为弹性碰撞；若总动能减少并转为形变、内能、声等形式，称为非弹性碰撞；若物体碰后粘在一起并具有共同速度，称为完全非弹性碰撞。
完全非弹性并不意味着“动量损失最多”，也不表示所有能量消失。它是在给定初始总动量和总质量下，碰后共同平移的动能最小、转入内部自由度的动能最多。总能量仍然守恒，只是宏观平动动能不守恒。
一维碰撞还常用恢复系数刻画沿碰撞法线的相对分离速度：
e = v 2 − v 1 u 1 − u 2 , 0 ≤ e ≤ 1 , e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2},
\qquad 0\le e\le1, e = u 1 − u 2 v 2 − v 1 , 0 ≤ e ≤ 1 , 其中 u 1 , u 2 u_1,u_2 u 1 , u 2 v 1 , v 2 v_1,v_2 v 1 , v 2 e = 1 e=1 e = 1 e = 0 e=0 e = 0
例 2：一维弹性碰撞同时使用两条守恒式
光滑水平轨道上，质量 m 1 = 1.50 k g m_1=1.50\,\mathrm{kg} m 1 = 1.50 kg u 1 = + 4.00 m s − 1 u_1=+4.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} u 1 = + 4.00 m s − 1 m 2 = 2.50 k g m_2=2.50\,\mathrm{kg} m 2 = 2.50 kg + x +x + x
v 1 = m 1 − m 2 m 1 + m 2 u 1 = − 1.00 m s − 1 , v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_1=-1.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}, v 1 = m 1 + m 2 m 1 − m 2 u 1 = − 1.00 m s − 1 , v 2 = 2 m 1 m 1 + m 2 u 1 = + 3.00 m s − 1 . v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}u_1=+3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}. v 2 = m 1 + m 2 2 m 1 u 1 = + 3.00 m s − 1 . 代回核对动量：初态 P x = ( 1.50 ) ( 4.00 ) = 6.00 k g m s − 1 P_x=(1.50)(4.00)=6.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} P x = ( 1.50 ) ( 4.00 ) = 6.00 kg m s − 1 P x = ( 1.50 ) ( − 1.00 ) + ( 2.50 ) ( 3.00 ) = 6.00 k g m s − 1 P_x=(1.50)(-1.00)+(2.50)(3.00)=6.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} P x = ( 1.50 ) ( − 1.00 ) + ( 2.50 ) ( 3.00 ) = 6.00 kg m s − 1 12.0 J 12.0\,\mathrm J 12.0 J 0.750 + 11.25 = 12.0 J 0.750+11.25=12.0\,\mathrm J 0.750 + 11.25 = 12.0 J
质心速度为 V c m = P / M = 1.50 m s − 1 V_{\mathrm{cm}}=P/M=1.50\,\mathrm{m\,s^{-1}} V cm = P / M = 1.50 m s − 1 + 2.50 +2.50 + 2.50 − 1.50 m s − 1 -1.50\,\mathrm{m\,s^{-1}} − 1.50 m s − 1 − 2.50 -2.50 − 2.50 + 1.50 m s − 1 +1.50\,\mathrm{m\,s^{-1}} + 1.50 m s − 1
例 3：相向车辆粘连后的共同速度与动能损失
在水平直路的地面参考系中，质量 m 1 = 1.00 × 10 3 k g m_1=1.00\times10^3\,\mathrm{kg} m 1 = 1.00 × 1 0 3 kg u 1 = + 20.0 m s − 1 u_1=+20.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} u 1 = + 20.0 m s − 1 m 2 = 1.50 × 10 3 k g m_2=1.50\times10^3\,\mathrm{kg} m 2 = 1.50 × 1 0 3 kg u 2 = − 10.0 m s − 1 u_2=-10.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} u 2 = − 10.0 m s − 1
共同速度为
v = m 1 u 1 + m 2 u 2 m 1 + m 2 = 2.00 × 10 4 − 1.50 × 10 4 2.50 × 10 3 = + 2.00 m s − 1 . v=\frac{m_1u_1+m_2u_2}{m_1+m_2}
=\frac{2.00\times10^4-1.50\times10^4}{2.50\times10^3}
=+2.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}. v = m 1 + m 2 m 1 u 1 + m 2 u 2 = 2.50 × 1 0 3 2.00 × 1 0 4 − 1.50 × 1 0 4 = + 2.00 m s − 1 . 正号表示向东。初始总动能为
K i = 1 2 ( 1000 ) ( 20.0 ) 2 + 1 2 ( 1500 ) ( 10.0 ) 2 = 2.75 × 10 5 J , K_i=\frac12(1000)(20.0)^2+
\frac12(1500)(10.0)^2=2.75\times10^5\,\mathrm J, K i = 2 1 ( 1000 ) ( 20.0 ) 2 + 2 1 ( 1500 ) ( 10.0 ) 2 = 2.75 × 1 0 5 J , 末态共同平动动能为
K f = 1 2 ( 2500 ) ( 2.00 ) 2 = 5.00 × 10 3 J . K_f=\frac12(2500)(2.00)^2=5.00\times10^3\,\mathrm J. K f = 2 1 ( 2500 ) ( 2.00 ) 2 = 5.00 × 1 0 3 J . 减少的 2.70 × 10 5 J 2.70\times10^5\,\mathrm J 2.70 × 1 0 5 J K i K_i K i K f K_f K f
二维碰撞必须按分量守恒
若水平面内总外冲量可忽略，动量守恒是一条矢量方程，相当于
∑ p x , i = ∑ p x , f , ∑ p y , i = ∑ p y , f . \sum p_{x,i}=\sum p_{x,f},
\qquad
\sum p_{y,i}=\sum p_{y,f}. ∑ p x , i = ∑ p x , f , ∑ p y , i = ∑ p y , f . 不能只守恒动量大小，也不能把各速度的夹角丢掉。二维弹性碰撞除两个动量分量外还有总动能守恒，但未知量数量仍可能多于方程数；常需给出一个散射角、碰撞几何或接触法线。
例 4：二维等质量弹性碰撞的分量核对
两个质量均为 0.200 k g 0.200\,\mathrm{kg} 0.200 kg ( 5.00 , 0 ) m s − 1 (5.00,0)\,\mathrm{m\,s^{-1}} ( 5.00 , 0 ) m s − 1 3.00 m s − 1 3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} 3.00 m s − 1 + x +x + x 53.1 ∘ 53.1^\circ 53. 1 ∘
A 的末动量为
p A , f = 0.200 ( 3.00 ) ( cos 53.1 ∘ , sin 53.1 ∘ ) = ( 0.360 , 0.480 ) k g m s − 1 . \boldsymbol p_{A,f}=0.200(3.00)(\cos53.1^\circ,\sin53.1^\circ)
=(0.360,0.480)\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. p A , f = 0.200 ( 3.00 ) ( cos 53. 1 ∘ , sin 53. 1 ∘ ) = ( 0.360 , 0.480 ) kg m s − 1 . 初总动量为 ( 1.00 , 0 ) k g m s − 1 (1.00,0)\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} ( 1.00 , 0 ) kg m s − 1
p B , f = ( 0.640 , − 0.480 ) k g m s − 1 , \boldsymbol p_{B,f}=(0.640,-0.480)\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}, p B , f = ( 0.640 , − 0.480 ) kg m s − 1 , v B , f = ( 3.20 , − 2.40 ) m s − 1 . \boldsymbol v_{B,f}=(3.20,-2.40)\,\mathrm{m\,s^{-1}}. v B , f = ( 3.20 , − 2.40 ) m s − 1 . B 的速率为 4.00 m s − 1 4.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} 4.00 m s − 1 + x +x + x 36.9 ∘ 36.9^\circ 36. 9 ∘ 1 2 ( 0.200 ) ( 5.00 ) 2 = 2.50 J \tfrac12(0.200)(5.00)^2=2.50\,\mathrm J 2 1 ( 0.200 ) ( 5.00 ) 2 = 2.50 J 1 2 ( 0.200 ) ( 3.00 ) 2 + 1 2 ( 0.200 ) ( 4.00 ) 2 = 2.50 J \tfrac12(0.200)(3.00)^2+\tfrac12(0.200)(4.00)^2=2.50\,\mathrm J 2 1 ( 0.200 ) ( 3.00 ) 2 + 2 1 ( 0.200 ) ( 4.00 ) 2 = 2.50 J
爆炸、反冲与“内力不能改变总动量”
爆炸是碰撞的时间反演式问题：内部储存的化学能或弹性能转为各部分动能。若外冲量可忽略，碎片总动量仍等于爆炸前总动量。一个初始静止的系统爆炸后，各碎片动量矢量和为零，但总动能可以增加。增加的动能来自内部能量，不违反能量守恒。
枪械反冲、人在无摩擦小车上行走和宇航员抛出工具都体现同一原则。内力能改变成员速度和相对运动，但固定质量封闭系统的质心仍保持匀速。若把枪单独作为系统，子弹对枪的作用是外力；若把枪与子弹合为系统，发射力是内力，初始总动量近似为零。
常见误区与适用边界
常见误区
“只要发生碰撞，动量一定守恒。”只有所选系统的总外冲量为零或可忽略时才成立；系统边界或时间区间改变，结论也可能改变。
常见误区
“动量守恒就说明动能守恒。”非弹性碰撞保持总动量，却把部分平动动能转入内部自由度。
常见误区
“碰撞力很大，所以两个物体受力不同。”一对接触力在同一时刻等大反向；两物体加速度不同通常来自质量不同。
常见误区
“完全非弹性碰撞后物体一定静止。”它们只需具有共同速度；共同速度由初始总动量决定，可以不为零。
常见误区
“质心系就是实验室里某个固定点。”质心系以 V c m \boldsymbol V_{\mathrm{cm}} V cm
分析碰撞时先画系统边界和坐标轴，写出碰前、碰后的有向速度；估算外力冲量与内部动量改变量之比；再按分量写动量方程。只有题目明确为弹性或给出恢复系数时，才能增加相应方程。最后核对动量单位、方向、动能是否非负，以及非弹性过程是否错误地产生了平动动能。
探索实验：低摩擦小车的碰撞账本
在水平轨道上放置两辆质量不同的小车，分别贴上可跟踪标记。用电子秤记录 m 1 , m 2 m_1,m_2 m 1 , m 2 120 f r a m e s − 1 120\,\mathrm{frame\,s^{-1}} 120 frame s − 1 + x +x + x
分别安排磁性缓冲近弹性碰撞与粘扣带完全非弹性碰撞。用碰撞前后各一段位置—时间数据拟合速度，避免用接触期间模糊帧直接求瞬时速度。计算
P i = m 1 u 1 + m 2 u 2 , P f = m 1 v 1 + m 2 v 2 , P_i=m_1u_1+m_2u_2,
\qquad
P_f=m_1v_1+m_2v_2, P i = m 1 u 1 + m 2 u 2 , P f = m 1 v 1 + m 2 v 2 , 以及 K i , K f K_i,K_f K i , K f ∣ P f − P i ∣ / max ( ∣ P i ∣ , m 1 ∣ u 1 ∣ + m 2 ∣ u 2 ∣ ) |P_f-P_i|/\max(|P_i|,m_1|u_1|+m_2|u_2|) ∣ P f − P i ∣/ max ( ∣ P i ∣ , m 1 ∣ u 1 ∣ + m 2 ∣ u 2 ∣ ) P i P_i P i Δ t \Delta t Δ t F r F_r F r F r Δ t F_r\Delta t F r Δ t
近弹性组应比较 K f / K i K_f/K_i K f / K i
练习
练习
所属知识 冲量
难度 1/5 沿 + x +x + x 0.0200 s 0.0200\,\mathrm s 0.0200 s 300 N 300\,\mathrm N 300 N 0.0100 s 0.0100\,\mathrm s 0.0100 s 300 N 300\,\mathrm N 300 N
查看提示 冲量是力—时间图的有向面积；矩形和三角形分别计算。
查看解答 上升段冲量为三角形面积 1 2 ( 0.0200 ) ( 300 ) = 3.00 N s \tfrac12(0.0200)(300)=3.00\,\mathrm{N\,s} 2 1 ( 0.0200 ) ( 300 ) = 3.00 N s ( 0.0100 ) ( 300 ) = 3.00 N s (0.0100)(300)=3.00\,\mathrm{N\,s} ( 0.0100 ) ( 300 ) = 3.00 N s + 6.00 N s +6.00\,\mathrm{N\,s} + 6.00 N s + x +x + x
练习
所属知识 外冲量
难度 2/5 质量 4.00 k g 4.00\,\mathrm{kg} 4.00 kg + x +x + x 1.50 m s − 1 1.50\,\mathrm{m\,s^{-1}} 1.50 m s − 1 5.00 m s − 1 5.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} 5.00 m s − 1 2.00 s 2.00\,\mathrm s 2.00 s
查看提示 先算系统动量变化，再由
J e x t = Δ P J_{ext}=\Delta P J e x t = Δ P 求平均外力。
查看解答 Δ p x = 4.00 ( 5.00 − 1.50 ) = + 14.0 k g m s − 1 \Delta p_x=4.00(5.00-1.50)=+14.0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} Δ p x = 4.00 ( 5.00 − 1.50 ) = + 14.0 kg m s − 1 + 14.0 N s +14.0\,\mathrm{N\,s} + 14.0 N s 14.0 / 2.00 = + 7.00 N 14.0/2.00=+7.00\,\mathrm N 14.0/2.00 = + 7.00 N
练习
所属知识 完全非弹性碰撞
难度 2/5 水平光滑轨道上，0.500 k g 0.500\,\mathrm{kg} 0.500 kg + 6.00 m s − 1 +6.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} + 6.00 m s − 1 1.00 k g 1.00\,\mathrm{kg} 1.00 kg
查看提示 碰后共同速度相同；只对两滑块系统写总动量守恒。
查看解答 共同速度 v = ( 0.500 ) ( 6.00 ) / ( 1.50 ) = + 2.00 m s − 1 v=(0.500)(6.00)/(1.50)=+2.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} v = ( 0.500 ) ( 6.00 ) / ( 1.50 ) = + 2.00 m s − 1 9.00 J 9.00\,\mathrm J 9.00 J 1 2 ( 1.50 ) ( 2.00 ) 2 = 3.00 J \tfrac12(1.50)(2.00)^2=3.00\,\mathrm J 2 1 ( 1.50 ) ( 2.00 ) 2 = 3.00 J 6.00 J 6.00\,\mathrm J 6.00 J
练习
所属知识 质心系
难度 3/5 质量 2.00 k g 2.00\,\mathrm{kg} 2.00 kg + 5.00 m s − 1 +5.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} + 5.00 m s − 1 3.00 k g 3.00\,\mathrm{kg} 3.00 kg − 1.00 m s − 1 -1.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} − 1.00 m s − 1
查看提示 先用
V c m = P / M V_{cm}=P/M V c m = P / M ，再从每个实验室系速度减去
V c m V_{cm} V c m 。
查看解答 实验室系总动量为 2.00 ( 5.00 ) + 3.00 ( − 1.00 ) = 7.00 k g m s − 1 2.00(5.00)+3.00(-1.00)=7.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} 2.00 ( 5.00 ) + 3.00 ( − 1.00 ) = 7.00 kg m s − 1 V c m = 7.00 / 5.00 = + 1.40 m s − 1 V_{\mathrm{cm}}=7.00/5.00=+1.40\,\mathrm{m\,s^{-1}} V cm = 7.00/5.00 = + 1.40 m s − 1 + 3.60 +3.60 + 3.60 − 2.40 m s − 1 -2.40\,\mathrm{m\,s^{-1}} − 2.40 m s − 1 2.00 ( 3.60 ) + 3.00 ( − 2.40 ) = 0 2.00(3.60)+3.00(-2.40)=0 2.00 ( 3.60 ) + 3.00 ( − 2.40 ) = 0
练习
所属知识 一维弹性碰撞
难度 3/5 两个质量均为 0.250 k g 0.250\,\mathrm{kg} 0.250 kg + 8.00 m s − 1 +8.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} + 8.00 m s − 1
查看提示 等质量且一个初始静止的理想一维弹性碰撞会交换速度，也可联立动量和动能方程验证。
查看解答 等质量特例中两球交换速度，所以 v A = 0 v_A=0 v A = 0 v B = + 8.00 m s − 1 v_B=+8.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} v B = + 8.00 m s − 1 2.00 k g m s − 1 2.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} 2.00 kg m s − 1 8.00 J 8.00\,\mathrm J 8.00 J
练习
所属知识 二维动量
难度 3/5 质量 0.100 k g 0.100\,\mathrm{kg} 0.100 kg ( 6.00 , 2.00 ) m s − 1 (6.00,2.00)\,\mathrm{m\,s^{-1}} ( 6.00 , 2.00 ) m s − 1 ( 2.00 , 3.00 ) m s − 1 (2.00,3.00)\,\mathrm{m\,s^{-1}} ( 2.00 , 3.00 ) m s − 1
查看提示 分别写 x、y 两个动量分量；不要守恒速度大小。
查看解答 等质量使速度矢量可直接按动量差求得：v 2 f = ( 6.00 , 2.00 ) − ( 2.00 , 3.00 ) = ( 4.00 , − 1.00 ) m s − 1 \boldsymbol v_{2f}=(6.00,2.00)-(2.00,3.00)=(4.00,-1.00)\,\mathrm{m\,s^{-1}} v 2 f = ( 6.00 , 2.00 ) − ( 2.00 , 3.00 ) = ( 4.00 , − 1.00 ) m s − 1 1 2 ( 0.100 ) ( 6.00 2 + 2.00 2 ) = 2.00 J \tfrac12(0.100)(6.00^2+2.00^2)=2.00\,\mathrm J 2 1 ( 0.100 ) ( 6.0 0 2 + 2.0 0 2 ) = 2.00 J 1 2 ( 0.100 ) [ 2.00 2 + 3.00 2 + 4.00 2 + ( − 1.00 ) 2 ] = 1.50 J \tfrac12(0.100)[2.00^2+3.00^2+4.00^2+(-1.00)^2]=1.50\,\mathrm J 2 1 ( 0.100 ) [ 2.0 0 2 + 3.0 0 2 + 4.0 0 2 + ( − 1.00 ) 2 ] = 1.50 J 0.500 J 0.500\,\mathrm J 0.500 J
关系、资源与后续学习
课程 · 2016 Classical Mechanics Deepto Chakrabarty, Peter Dourmashkin, Michelle Tomasik, Anna Frebel, Vladan Vuletic
用于核对 P01 的受力模型、守恒定律、参考系约定、转动公式、完整例题和练习。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.01SC《Classical Mechanics》系统覆盖动量、冲量、质心、碰撞与相关守恒定律。本章依据该经典力学范围组织推导和例题，同时显式补充系统边界、参考系、SI 单位、外冲量近似与弹性边界；资源卡用于追溯课程来源，不代替正文的守恒条件核对。
接下来学习 刚体转动、角动量与转动惯量 ：线动量决定质心平移，角动量则描述相对选定原点或质心的转动。完成两者后，在 引力、轨道与经典力学综合复习 中联合选择受力、能量或动量方法，并说明每条守恒定律各自依赖的系统边界和外界通量条件。
课程 · 2014 Classical Mechanics III Iain Stewart
用于核对 P02 的变分条件、约束处理、Hamilton 形式、Poisson 括号、正则变换和混沌例题。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.09《Classical Mechanics III》支撑本章将碰撞看成相空间中的短时跃迁：平移对称性给出总线动量守恒，转动对称性则在外力矩冲量可忽略时给出角动量守恒。这个视角具体解释了为何非弹性碰撞仍可守恒动量却损失质心系动能，并限定守恒结论必须对应明确的系统边界与对称性。