P03 · 第 4 章 · 第二编波动

一维波动方程：从局部振动到波的传播

从均匀受张力弦推导一维波动方程，严格区分初值、边界与解析采样，并用行波、固定端基频和周期高斯脉冲核验模型。

难度 3/5约 82 分钟草稿 · 待人工审阅最近实质修订 2026-07-11

内容维护与审阅信息

维护角色: One Forth 编辑组
人工审阅者: 未有独立人工审阅

编辑检查待检查
数学检查已自检
数值检查已自检
来源检查已自检
无障碍检查待检查

2026-07-11内容修订按解析实验重写初边值模型、数值边界、例题与练习，加入官方课程脚注；仍为待人工审阅草稿。
2026-07-11样式调整合并重复学习目标，仅保留跨系统模型边界的能力说明。
2026-07-11元数据迁移迁移至 Schema v2，初始化待检查状态并规范关系类型；未改变正文内容。

报告页面错误

预备知识行波、相位、叠加与色散偏导数 Newton 运动定律波的振幅、频率与相位傅里叶级数

本章目标

说明位移、位置、时间和波速的物理单位与量纲。
从小振幅受张力弦模型推导一维波动方程。
区分方程、初始条件、边界条件和数值稳定条件。
验证行波、固定端模态与能量守恒式的适用条件。

页面阅读位置0% · 仅保存在此浏览器

章节未开始

本册完成进度0/6 章 · 0%

本页目录

学习任务与先修检查

本章研究一个具体问题：已知一条均匀细弦在 $t=0$ 的形状与速度，怎样判断之后的位移 $u(x,t)$ ？完成后应能从微元受力得到 PDE，给每个符号标注单位，区分无限直线、固定端区间和周期区间，并判断一张动画展示的是解析解采样还是数值时间推进。

开始前请确认你能使用偏导数和牛顿第二定律，知道振幅、频率与波速的含义，并能识别正弦函数的周期。傅里叶级数用于解释固定端模态和周期高斯表示；暂时不熟悉时，可先接受“正交谐波可以叠加”，再回到对应先修章节补全系数推导。

一维弦方程也能抽象描述某些声学或电磁传播，但每个系统必须重新定义状态量、材料参数和边界条件，不能把弦的张力解释直接复制过去。可迁移的是微分方程结构，不是参数的物理来源。

为什么局部振动会传播

拨动弦的一小段，扰动不会永远停在原处。相邻弦段通过张力相互作用：局部弯曲产生横向合力，使附近弦段开始运动。每一点只直接响应局部曲率，但这种局部耦合随时间把信息传向远处。

“波形向前移动”是宏观观察；波动方程描述的是每个位置的局部加速度如何由附近空间曲率决定。因此 $u_{xx}$ 表示空间耦合产生的恢复效应，不是额外施加的驱动力。

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

位移 u 对时间的二阶偏导等于波速 c 的平方乘 u 对位置的二阶偏导

变量、单位与模型范围

令

$x$ ：沿弦的平衡位置，单位 m；
$t$ ：时间，单位 s；
$u(x,t)$ ：横向位移，单位 m；
$c$ ：波速，单位 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

记号 $u_{tt}$ 与 $u_{xx}$ 分别表示对时间和位置的二阶偏导，不能互换。

一维波动方程是

\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.

左侧量纲是 $\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。右侧 $u_{xx}$ 的量纲是 $\mathrm{m^{-1}}$ ，乘以 $c^2$ 的 $\mathrm{m^2\,s^{-2}}$ 后同样得到 $\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

模型假设弦均匀、张力恒定、横向位移斜率足够小、阻尼可忽略。大振幅、变张力、弯曲刚度或空气阻力会引入额外项，单独调整波速无法涵盖这些机制。

从牛顿第二定律推导

取长度为 $\Delta x$ 的小弦段。设恒定张力为 $T$ ，线密度为 $\mu$ ，分别具有单位 N 和 $\mathrm{kg\,m^{-1}}$ 。小斜率下，张力的横向分量近似为 $T u_x$ 。小段两端横向力之差约为

T\left[u_x(x+\Delta x,t)-u_x(x,t)\right] \approx T u_{xx}(x,t)\Delta x.

弦段质量为 $\mu\Delta x$ ，横向加速度为 $u_{tt}$ 。牛顿第二定律给出

\mu\Delta x\,u_{tt} =T u_{xx}\Delta x.

约去 $\Delta x$ ：

u_{tt}=\frac{T}{\mu}u_{xx}.

于是

c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.

推导的关键边界是小斜率近似。它不是对任意大变形弦的严格方程；若这一假设失效，横向和纵向运动会耦合。MIT OpenCourseWare 8.03 的第 9 讲把振动弦、波动方程、驻波和傅里叶分解放在同一讲中，可用于逐项核对这里的力学建模与后续模态路线。¹

方程还不够：初始与边界条件

二阶时间方程需要两个初始条件：

u(x,0)=f(x),\qquad u_t(x,0)=g(x).

$f$ 给初始形状， $g$ 给初始速度。只说“初始振幅”通常不足以唯一决定运动。

有限弦还需要边界条件。例如两端固定：

u(0,t)=u(L,t)=0.

自由端、驱动端和吸收边界会产生不同反射行为。相同波动方程配上不同条件，可以得到完全不同的解。

固定端规定 $u=0$ ，入射脉冲反射时位移符号翻转；理想自由端规定 $u_x=0$ ，反射时位移不翻转；周期边界把区间两端连接，适合描述环形介质或计算上的重复单元。所谓“吸收边界”是近似让出射波离开有限计算域，设计不当仍会产生数值反射。边界类型属于模型定义，不能根据动画外观临时切换后仍把结果视为同一问题。

三种解析模型：先声明定义域，再写波形

情形一：无限直线的行波与达朗贝尔公式

实验的“正向行波”使用

u(x,t)=A\sin(kx-\omega t),\qquad \omega=2\pi f,\quad k=\frac{2\pi f}{c},\quad \lambda=\frac cf.

它定义在无限直线上；画面只截取 $0\le x\le\lambda$ 的一个波长作为观察窗，左右端点不是有限弦的边界。初始位移和初始速度分别为

u(x,0)=A\sin(kx),\qquad u_t(x,0)=-A\omega\cos(kx).

在整条实线上，设 $F$ 和 $G$ 为任意足够光滑的函数，则下式给出一组解。两项分别携带向右和向左传播的初始信息：

u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).

第一项以速度 $c$ 向正 $x$ 方向平移，第二项以同样速度向负方向平移。对第一项求导， $u_{tt}=c^2F''(x-ct)$ 、 $u_{xx}=F''(x-ct)$ ；第二项同样成立，所以二者的线性组合满足方程。这个验证依赖二阶导数存在；对尖角或弱解，需要用更一般的函数空间表述。

若初始位移为 $f$ 、初始速度为 $g$ ，达朗贝尔公式写成

u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}2 +\frac1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,\mathrm ds.

令 $t=0$ 可得到 $u(x,0)=f(x)$ ；对时间求导后令 $t=0$ ，可得到 $u_t(x,0)=g(x)$ 。初始位移分成向左、向右传播的两份，初始速度通过不断扩大的影响区间进入位移。这条公式适用于无边界无限弦；有限弦的反射必须通过边界延拓、模态展开或边值求解处理。

传播的有限速度还体现在依赖区间：点 $(x,t)$ 只依赖初始区间 $[x-ct,x+ct]$ 。区间之外的初始扰动在时间 $t$ 前无法影响该点。这是双曲型方程的重要性质，与扩散方程的瞬时全域影响形成区别。

MIT 8.03 第 10 讲直接对 $f(x-vt)$ 求空间和时间二阶导数，并说明 $f(x-vt)$ 向右、 $f(x+vt)$ 向左传播；这正是上述行波验证所用的链式法则。²

情形二：两端固定的基频驻波

选择频率 $f$ 和波速 $c$ 后，实验令

L=\frac{c}{2f},\qquad u(x,t)=A\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\cos(2\pi ft), \qquad 0\le x\le L.

因为 $2\pi f=c\pi/L$ ，该式满足 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ ；正弦因子还保证 $u(0,t)=u(L,t)=0$ 。这里展示的是固定端基频 $n=1$ ，初始位移为 $A\sin(\pi x/L)$ ，初始速度为零。频率控件同时改变由 $L=c/(2f)$ 决定的显示区间，不是在固定弦长上任意指定一个驻波频率。

情形三：周期区间上的高斯型脉冲

高斯选项固定 $L=10\,\mathrm m$ 、中心 $x_0=3\,\mathrm m$ 、宽度 $\sigma=0.65\,\mathrm m$ ，用 24 个空间谐波构成归一化周期轮廓。归一化后中心峰值为 1：

G_L(\xi)= \frac{1+2\sum_{n=1}^{24} e^{-\frac12(2\pi n\sigma/L)^2} \cos(2\pi n\xi/L)} {1+2\sum_{n=1}^{24}e^{-\frac12(2\pi n\sigma/L)^2}}.

实验计算 $u(x,t)=A G_L(x-x_0-ct)$ 。每个余弦项都是 $x-ct$ 的函数，所以有限谐波和仍是波动方程的解析解；分母使脉冲中心位移恰为 $A$ 。初值为 $u(x,0)=A G_L(x-x_0)$ 、 $u_t(x,0)=-c u_x(x,0)$ ，且 $u(0,t)=u(L,t)$ 。这是周期高斯轮廓的有限傅里叶表示，不是无穷直线高斯的无误差复制。它没有频率参数：切换到高斯后，频率控件和分享状态中的频率字段都会消失。

反例：任意频率不一定满足固定端条件

若仍在 $L=10\,\mathrm m$ 的固定端弦上写 $A\sin(kx)\cos(\omega t)$ ，却任取 $c=1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 、 $f=0.55\,\mathrm{Hz}$ ，则 $k=2\pi f/c\approx1.9199\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$ ，右端正弦因子为 $\sin(kL)=\sin(19.1986)\approx0.3420\ne0$ 。它满足 PDE，却不满足 $u(L,t)=0$ ，因此不能称为这条固定端弦的驻波。方程正确与初边值问题正确是两项独立检查。

交互实验

操作前：先写下预测

先不要播放。对三个选项分别写出定义域、初始速度和边界条件，并预测：振幅加倍会不会改变传播速度；行波频率升高时显示区间怎样变化；驻波为何始终有两个固定端点；高斯选项为何不应出现频率控件。最后区分两个时间量：界面每步增加的 $0.04\,\mathrm s$ 只是解析曲线的动画取样间隔，若真正使用显式有限差分推进，数值时间步还必须与 $\Delta x$ 一起接受稳定性检查。

步骤 0 / 200速度

t: 0.00 s
区间: 0–3.27 m
λ = c/f: 3.27 m
解析式 PDE 复核: 残差 1.9e-5 · 边界不适用

读取当前图形说明

一维波动方程解析解。时间 0.00 秒，区间 0 至 3.27 米，边界解释为无限直线观察窗；振幅参数 0.65 米，频率 0.55 赫兹，波长 3.27 米，波速 1.80 米每秒。当前最大位移绝对值 0.650 米。有限差分只复核解析公式：空间增量 8.18e-3 米、时间增量 1.14e-3 秒、诊断比 cΔt/Δx=0.25，归一化 PDE 残差 1.93e-5，有限端点边界核验不适用；这些增量不用于推进解。无限直线上的解析行波 u=A sin(kx−ωt)；图中区间只是一个波长的观察窗，不施加有限端点边界。初值为 u(x,0)=A sin(kx)、uₜ(x,0)=−Aω cos(kx)。

键盘：空格播放或暂停，左右方向键单步，Home 重置。

无限直线上的解析行波 u=A sin(kx−ωt)；图中区间只是一个波长的观察窗，不施加有限端点边界。初值为 u(x,0)=A sin(kx)、uₜ(x,0)=−Aω cos(kx)。

科学说明

模型、验证与适用边界

以下内容记录当前实现与自动复算口径，不代表独立人工审阅。

观察目标: 比较解析行波、固定端驻波和周期高斯脉冲怎样满足 uₜₜ=c²uₓₓ 及各自边界条件。
数学模型: 行波为 A sin(kx−ωt) 的无限直线观察窗；驻波为固定端基频 A sin(πx/L)cos(2πft)，L=c/(2f)；高斯脉冲是在 10 m 周期区间中由 24 个空间谐波表示并以 c 平移的解析轮廓。
假设与适用范围: 介质均匀、波速 c 为正常数且无耗散、驱动和色散；位移、长度、时间分别使用 m、m、s。
高斯模式没有单一频率参数；驻波使用零初速度，行波和高斯的初速度由传播方向确定。
操作步骤: 选择解析解族，调节振幅、波速，以及只在单频模式中有效的频率。
播放或单步时间，比较初始位移、初始速度、区间和边界说明。
读取有限差分对解析公式的 PDE 残差和适用模式的端点误差。
预期现象: 行波以速度 c 平移；固定端驻波两端始终为零；周期脉冲跨过右端后从左端连续出现。
改变振幅线性缩放位移；高斯模式不响应已隐藏的频率参数。
数值验证: 测试复算行波相移、驻波两端节点与周期、高斯周期连续性和初始速度。
中心差分仅诊断解析解的归一化 PDE 残差；动画采样间隔不被描述为求解器步长或 CFL 稳定条件。
局限: 实验不模拟变波速、反射介质、阻尼或非线性；行波视窗没有有限端点边界。
周期高斯由有限 24 项谐波近似轮廓；残差诊断不是离散求解器的收敛证明。
相关正文: 一维波动方程

一维波动方程

正在加载交互实验…

操作后：逐项核对模型，而不只看曲线

选择“正向行波”，记录区间长度。固定 $c$ 增大 $f$ ，核对区间是否按 $\lambda=c/f$ 缩短；再把 $A$ 加倍，波峰高度应加倍而 $c$ 不变。
选择“驻波”，核对显示区间是否变为 $L=c/(2f)$ ，并在任意时刻检查两端位移为零。改变频率会同步改变该基频模型所对应的弦长。
选择“高斯脉冲”，确认频率控件消失，区间固定为 $10\,\mathrm m$ 。令 $c=1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 并前进到 $t=4.00\,\mathrm s$ ：中心应从 $3.00\,\mathrm m$ 移到 $3+1.8\times4=10.20\,\mathrm m$ ，按周期边界回到 $0.20\,\mathrm m$ 。
比较状态摘要。行波和驻波报告波长；高斯报告 $\sigma=0.65\,\mathrm m$ 。三者都报告区间、当前时间、归一化 PDE 复核残差；固定端和周期模型还报告端点条件误差。
暂停、前进、后退、重置，再生成分享链接并尝试 SVG/PNG 导出与全屏。刷新后参数与时间应恢复；高斯分享状态不应携带无意义的频率字段。

实验不是任意初边值问题求解器。它在 161 个空间点直接计算解析公式；另外以中心差分在更细的检查尺度上近似 $u_{tt}-c^2u_{xx}$ ，其中检查增量取 $\Delta x=L/400$ 、 $\Delta t=\Delta x/(4c)$ ，所以诊断比 $c\Delta t/\Delta x=0.25$ 。这个差分只衡量公式与 PDE 的一致性，不参与时间推进，也不能据此宣称已完成网格收敛研究。画布的文本替代会同时给出模型、单位、初值、边界、残差和端点误差。

例题一：按实验参数重算固定端基频

例 1：核对边界、方程与频率

两端固定、长度为 $L$ 的弦有模态解

u_n(x,t) =A\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{n\pi c t}{L}\right), \qquad n=1,2,\ldots

代回方程可核对：

u_{tt} =-\left(\frac{n\pi c}{L}\right)^2u_n, \qquad c^2u_{xx} =-\left(\frac{n\pi c}{L}\right)^2u_n.

边界处正弦因子为零，因此固定端条件成立。角频率 $\omega_n=n\pi c/L$ ，普通频率为

f_n=\frac{\omega_n}{2\pi}=\frac{nc}{2L}.

取实验默认值 $A=0.65\,\mathrm m$ 、 $f=0.55\,\mathrm{Hz}$ 、 $c=1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。基频区间长度必须是

L=\frac{c}{2f}=\frac{1.8}{1.10} \approx1.6364\,\mathrm m.

于是 $k=\pi/L\approx1.9199\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$ ， $\omega=2\pi f\approx3.4558\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ，并且 $ck\approx3.4558=\omega$ 。在弦中点 $x=L/2$ 、时刻 $t=0.40\,\mathrm s$ ，空间正弦因子为 1，因此

u(L/2,0.40) =0.65\cos(3.4558\times0.40) \approx0.1218\,\mathrm m.

此时 $u_{tt}=-\omega^2u\approx-1.4545\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ，而 $c^2u_{xx}=-(ck)^2u$ 得到同一数值；两端仍因正弦因子为零。这同时核对了数值、PDE 与边界。

这组复算也解释了画面为何随 $f$ 改变横轴终点：该选项固定的是“基频解”，不是固定长度的同一根弦。若要保持 $L$ 不变，只能选择离散的 $f_n=nc/(2L)$ 。

例题二：静止三角脉冲怎样分成两列行波

例 2：用达朗贝尔公式读取传播方向

设无限弦初始速度为零，初始位移是以原点为中心、半宽为 $a$ 的三角脉冲。它只在 $[-a,a]$ 内非零，具体写成

f(x)= \begin{cases} A(1-|x|/a),& |x|\le a,\\ 0,& |x|>a. \end{cases}

因为 $g(x)=0$ ，达朗贝尔公式化为

u(x,t)=\frac12f(x-ct)+\frac12f(x+ct).

初始脉冲立即分成两个形状相同、振幅为 $A/2$ 的脉冲，分别以速度 $c$ 向右和向左移动。两脉冲尚未分离时会线性叠加，在 $t=0$ 恰好恢复原振幅 $A$ 。该结论依赖无限弦与零初速度；有限弦到达边界后会反射，有阻尼时振幅还会衰减。

若观察点固定在 $x_0>0$ ，右行脉冲只在 $|x_0-ct|\le a$ 的时间窗口影响该点。最早到达时间为 $(x_0-a)/c$ ，前提是 $x_0>a$ 。这直接体现有限传播速度，也可作为时间演示中测量到达时刻的解析基准。

具体取 $A=0.40\,\mathrm m$ 、 $a=0.25\,\mathrm m$ 、 $c=2.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，在 $x_0=1.50\,\mathrm m$ 观察。右行脉冲的影响区间是

\frac{x_0-a}{c}=0.625\,\mathrm s \le t\le \frac{x_0+a}{c}=0.875\,\mathrm s.

当 $t=x_0/c=0.750\,\mathrm s$ 时，右行脉冲中心到达，位移为 $f(0)/2=0.20\,\mathrm m$ ；左行项的自变量是 $x_0+ct=3.0\,\mathrm m$ ，落在支撑区间外，贡献为零。到达、峰值和离开三个时刻彼此一致，完成了数值复算。

数值离散

在均匀网格 $x_j=j\Delta x$ 、 $t^n=n\Delta t$ 上，用中心差分近似可得

u_j^{n+1} =2u_j^n-u_j^{n-1} +\lambda^2 \left(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n\right), \qquad \lambda=\frac{c\Delta t}{\Delta x}.

对这一标准显式格式，一维稳定性通常要求 $\lambda\le1$ 。在解足够光滑时，该中心格式对时间和空间都是二阶截断精度；但“满足 CFL”只控制线性稳定性，不能替代网格加密、相位误差和边界误差检查。MIT OpenCourseWare 18.325 的官方附录专门讨论波动方程有限差分，可作为这一区分的计算参考。³

这是离散算法的条件，不是连续波动方程限制波速的物理定律。交互实验没有执行这条递推式；它的 $0.04\,\mathrm s$ 动画间隔不可代入 $\lambda$ 冒充数值步长。实验显示的中心差分残差只是对解析函数取样后的独立诊断。

代码：一次有限差分时间步

下面函数只实现固定端网格的内部更新，并在入口检查 Courant 数。它要求调用者已经准备好相邻两个时刻的数组；初始第一步、误差估计和其他边界类型不在函数职责内。

export function stepWaveEquation(
  previous: readonly number[],
  current: readonly number[],
  waveSpeedMetresPerSecond: number,
  deltaTimeSeconds: number,
  deltaXMetres: number,
): number[] {
  if (previous.length !== current.length || current.length < 3) {
    throw new Error("Wave states must have the same grid with at least 3 points.");
  }
  const courant = (waveSpeedMetresPerSecond * deltaTimeSeconds) / deltaXMetres;
  if (!(courant > 0 && courant <= 1)) {
    throw new Error("The explicit 1D scheme requires 0 < c*dt/dx <= 1.");
  }

  const next = new Array<number>(current.length).fill(0);
  for (let index = 1; index < current.length - 1; index += 1) {
    next[index] =
      2 * current[index] -
      previous[index] +
      courant * courant * (current[index + 1] - 2 * current[index] + current[index - 1]);
  }
  return next;
}

首尾元素保持零，表示固定端。代码没有生成实验结果，也没有处理阻尼、变网格或吸收边界；这些扩展必须改变模型或边界实现，而不只是修改标签。

即使函数没有抛错，也只能说明输入满足这里写出的基本契约。要报告数值精度，还必须至少用两个网格比较位移、相位或能量误差。

能量守恒与边界功率

对长度为 $L$ 的理想均匀弦，定义总能量

E(t)=\frac\mu2\int_0^L u_t(x,t)^2\,\mathrm dx +\frac T2\int_0^L u_x(x,t)^2\,\mathrm dx.

第一项是横向动能，第二项是在小斜率近似下的弹性势能。 $\mu u_t^2\,\mathrm dx$ 的单位为焦耳， $T u_x^2\,\mathrm dx$ 也为焦耳。对时间求导并使用 $\mu u_{tt}=T u_{xx}$ ：

\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt} =T\int_0^L(u_tu_{xx}+u_xu_{xt})\,\mathrm dx =T\,[u_tu_x]_0^L.

积分内部两项合成空间导数，能量变化只由边界功率决定。固定端在所有时刻满足 $u=0$ ，因而端点速度 $u_t=0$ ；自由端满足 $u_x=0$ ；周期边界两端贡献相消。这些理想边界都给出 $\mathrm dE/\mathrm dt=0$ 。驱动端可以向系统输入能量，阻尼项会把机械能耗散，吸收边界则允许能量流出计算域。

数值格式满足 CFL 条件只说明线性稳定性的必要结构，并不保证离散能量精确守恒。网格加密时应比较相位、振幅和离散能量误差；稳定但色散明显的计算仍可能在长时间后让波峰位置偏离解析解。

分离变量、傅里叶级数与简正模

固定端问题可以尝试乘积解 $u(x,t)=X(x)q(t)$ 。代入方程并除以 $c^2Xq$ ，得到

\frac{X''(x)}{X(x)} =\frac{q''(t)}{c^2q(t)}=-k^2.

空间方程 $X''+k^2X=0$ 配合 $X(0)=X(L)=0$ ，只有 $k_n=n\pi/L$ 时存在非零解 $X_n(x)=\sin(n\pi x/L)$ 。时间方程为

q_n''+\omega_n^2q_n=0, \qquad \omega_n=ck_n.

线性叠加给出一般模态展开

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(A_n\cos\omega_nt+B_n\sin\omega_nt\right) \sin\frac{n\pi x}{L}.

初始位移和速度通过正交积分决定 $A_n$ 与 $B_n$ 。这正是傅里叶级数在波动初值问题中的作用：边界条件先选择允许的空间谐波，初始状态再决定每个模态的权重。MIT 18.03 的官方“傅里叶级数基础”单元给出周期函数、系数与正交关系的课程材料，适合复核这里省略的投影积分。⁴ 若线密度随位置改变，允许振型通常不再是普通正弦函数，需要 Sturm–Liouville 本征函数及相应权重内积。

线性叠加还意味着两个解的线性组合仍是解，只要它们满足同一齐次边界条件。非线性弦、大振幅几何效应或状态相关波速会让模态之间交换能量，独立谐波演化不再成立。

常见误区

“图上的波峰向右移动，所以弦上的材料也一直向右移动。”在横波模型中，弦元主要上下振动；传播的是相位与能量模式，不是整段材料随波峰平移。

常见误区

“波速越大，振幅越大。”在线性方程中 $c$ 控制传播时空尺度，振幅由初始/边界条件决定。二者可以独立改变。

常见误区

“数值图看起来平滑就说明算法正确。”不稳定误差可能尚未显现，数值色散也可能在平滑图中改变相位。需要检查 CFL、收敛性、守恒量和网格加密结果。

参数实验

这一节针对真正的有限差分实现，而不是上面的解析动画。固定 $L=1\,\mathrm m$ ，使用同一初始脉冲，并为每组实验保存网格、步长和误差指标：

令 $c=0.5,1,2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，测量脉冲中心走过 $0.25\,\mathrm m$ 所需时间。
保持 $c$ 不变，把振幅加倍，比较到达时间。
固定 $\Delta x$ ，逐渐增大 $\Delta t$ 直到 $\lambda>1$ ，记录数值异常，但不要把不稳定轨迹解释成物理爆炸。
改用一个正常模态初始形状，比较数值周期与 $2L/(nc)$ 。

记录时至少给出到达时间、最大位移和一个网格加密对照；只有截图而没有参数表，无法判断差异来自物理参数还是离散误差。

练习

四题依次检查量纲、固定端解析解、周期脉冲和数值稳定性。先独立计算，再展开提示与核验解答；“标记完成”只保存个人进度，不代表答案经过人工审阅。

练习 1：从受力到波速单位

所属知识: 弦微元推导与量纲
难度: 2/5

从 $\mu\Delta x\,u_{tt}=T u_{xx}\Delta x$ 出发，推导 $c=\sqrt{T/\mu}$ ，并证明 $c$ 与方程两侧的单位一致。

查看提示

先分别写出张力 T 与线密度 μ 的 SI 基本单位，再处理平方根。

查看解答

核验：T 的单位为 kg·m·s⁻²，μ 的单位为 kg·m⁻¹，因此 T/μ 的单位为 m²·s⁻²；开平方得到 m·s⁻¹。代回 PDE 时，c²u_xx 的单位为 (m²·s⁻²)(m⁻¹)=m·s⁻²，与 u_tt 相同。

练习 2：重算固定端基频

所属知识: 固定端边界与正常模态
难度: 3/5

使用 $A=0.65\,\mathrm m$ 、 $f=0.55\,\mathrm{Hz}$ 、 $c=1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，求实验固定端基频模型的 $L$ 、 $k$ 、 $\omega$ ，以及 $x=L/2$ 、 $t=0.40\,\mathrm s$ 的位移。

查看提示

基频必须同时满足 f=c/(2L) 与 k=π/L；中点的空间正弦因子等于 1。

查看解答

核验：L=1.8/(2×0.55)=1.63636 m，k=π/L=1.91986 rad·m⁻¹，ω=2πf=3.45575 rad·s⁻¹，且 ck=ω。t=0.40 s 时，中点位移为 0.65 cos(3.45575×0.40)=0.12180 m；两个端点始终为零。

练习 3：追踪周期高斯脉冲

所属知识: 周期边界与初始速度
难度: 3/5

高斯选项取 $L=10\,\mathrm m$ 、 $x_0=3\,\mathrm m$ 、 $c=1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。求 $t=4.00\,\mathrm s$ 时的脉冲中心，并说明应怎样核验周期边界、初始速度和“频率无关”。

查看提示

先在实线上计算 x₀+ct，再对区间长度 10 m 取模；频率不进入该模型。

查看解答

核验：中心位置为 (3+1.8×4) mod 10=10.2 mod 10=0.20 m。周期轮廓满足 u(0,t)=u(10,t)，且平移解的初速度为 u_t=-c u_x。频率不出现在 G_L(x-x₀-ct) 中，因此改变先前保存的频率不能改变高斯曲线。

练习 4：区分动画间隔与 CFL 时间步

所属知识: 显式有限差分稳定性
难度: 4/5

设 $c=1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 、 $\Delta x=0.05\,\mathrm m$ 。求标准显式中心格式允许的最大 $\Delta t$ ，并分别判断 $\Delta t=0.02\,\mathrm s$ 与 $0.04\,\mathrm s$ 。最后解释为什么交互实验仍可以每步前进 $0.04\,\mathrm s$ 。

查看提示

分别计算 ν=cΔt/Δx；不要因为实验每步前进 0.04 s，就假定它在运行有限差分。

查看解答

核验：Δx=0.05 m 时，显式中心格式要求 Δt≤Δx/c=0.02778 s。Δt=0.02 s 给 ν=1.8×0.02/0.05=0.72，满足必要稳定条件；Δt=0.04 s 给 ν=1.44，不满足。实验的 0.04 s 只改变解析解取样时刻，所以不受这条 CFL 限制。

与其他知识的关系

偏导数分别度量位移场沿空间和时间方向的局部变化。
牛顿定律把微元横向合力与加速度连接，给出方程的力学来源。
波的振幅、频率与相位提供行波参数，并由 $c=f\lambda$ 连接时空周期。
傅里叶级数把初始形状投影到固定端允许的正弦模态。
波动边界条件区分固定、自由、周期与近似吸收边界的反射行为。
简正模把分离变量得到的本征振型组织成可独立演化的坐标。

已核实资源

以下两项的元数据和官方链接均已登记；正文脚注进一步指向实际使用的课程讲次或讲义页面。引用卡片用于追溯来源，关键公式仍在正文中逐步核验。

课程 · 2011

MIT 18.03SC Differential Equations

Arthur Mattuck, Haynes Miller

为傅里叶方法、模态分解及其微分方程应用提供连续课程背景。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.03SC 提供傅里叶级数定义、系数、正交关系、练习与解答，可用于核对模态系数的计算；它在此处承担数学方法来源，不替代弦模型的物理推导。

课程 · 2016

MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves

Yen-Jie Lee

连接波动方程的数学解、边界条件、驻波和物理观测。

打开官方来源

MIT 8.03SC 第 9、10 讲直接覆盖振动弦、波动方程、驻波、傅里叶分解和行波，可用于核对本章三个解析案例的物理口径。课程页面还提供讲义和题集，便于继续复算。

后续学习

先阅读傅里叶级数，把任意初始位移分解为正弦模态；随后进入波动边界条件与简正模，系统比较固定端、自由端和其他本征问题。研究波包传播时可继续到色散关系，区分相速度、群速度与数值色散。

MIT OpenCourseWare, 8.03SC 第 9 讲：波动方程、驻波与傅里叶级数，官方页面列出振动弦、波动方程、驻波、傅里叶级数和分解，并提供讲义与题集；访问于 2026-07-11。 ↩
MIT OpenCourseWare, 8.03SC 第 10 讲：行波，讲义第 1 页对 $f(x-vt)$ 求导并核验波动方程，同时辨别左右传播方向；访问于 2026-07-11。 ↩
MIT OpenCourseWare, 18.325 附录 B：波动方程的有限差分方法，官方研究生课程讲义条目；访问于 2026-07-11。 ↩
MIT OpenCourseWare, 18.03SC 傅里叶级数基础，页面提供周期函数、傅里叶系数、正交关系、练习和解答；访问于 2026-07-11。 ↩

学习任务与先修检查

为什么局部振动会传播

变量、单位与模型范围

从牛顿第二定律推导

方程还不够：初始与边界条件

三种解析模型：先声明定义域，再写波形

情形一：无限直线的行波与达朗贝尔公式

情形二：两端固定的基频驻波

情形三：周期区间上的高斯型脉冲

交互实验

操作前：先写下预测

一维波动方程

操作后：逐项核对模型，而不只看曲线

例题一：按实验参数重算固定端基频

例题二：静止三角脉冲怎样分成两列行波

数值离散

代码：一次有限差分时间步

能量守恒与边界功率

分离变量、傅里叶级数与简正模

常见误区

参数实验

练习

与其他知识的关系

已核实资源

MIT 18.03SC Differential Equations

MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves

后续学习

Footnotes