模型、晶格尺度与单位
金属含离子实和价电子。自由电子模型把离子实的平均作用吸收到均匀背景中，忽略电子所见的晶格周期势和电子间显式相互作用，只保留 Pauli 不相容原理与 Fermi–Dirac 统计。它能解释金属电子的简并尺度、热容数量级和部分输运关系，却不能产生能带隙，也不能可靠描述多带、强关联或显著各向异性材料。
取晶体体积 V = N c Ω c V=N_c\Omega_c V = N c Ω c O m e g a c Omega_c O m e g a c m a t h r m m 3 mathrm{m^3} ma t h r m m 3 a a a 1 A ˚ = 10 − 10 m 1\,\text{Å}=10^{-10}\,\mathrm m 1 A ˚ = 1 0 − 10 m z z z
n = N V = z Ω c , n=\frac NV=\frac z{\Omega_c}, n = V N = Ω c z , 单位 m a t h r m m − 3 mathrm{m^{-3}} ma t h r m m − 3 k \boldsymbol k k m a t h r m m − 1 mathrm{m^{-1}} ma t h r m m − 1 p = ℏ k \boldsymbol p=\hbar\boldsymbol k p = ℏ k m a t h r m k g m s − 1 mathrm{kg\,m\,s^{-1}} ma t h r m k g m s − 1
1 e V = 1.602 , 176 , 634 × 10 − 19 J . 1\,\mathrm{eV}=1.602,176,634\times10^{-19}\,\mathrm J. 1 eV = 1.602 , 176 , 634 × 1 0 − 19 J . 本章使用电子质量 m e = 9.109 × 10 − 31 k g m_e=9.109\times10^{-31}\,\mathrm{kg} m e = 9.109 × 1 0 − 31 kg ℏ = 1.055 × 10 − 34 J s \hbar=1.055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} ℏ = 1.055 × 1 0 − 34 J s m e m_e m e
例 1：由立方晶胞估算电子数密度
某面心立方金属的常规立方晶胞边长 a = 0.361 n m a=0.361\,\mathrm{nm} a = 0.361 nm
a 3 = ( 3.61 × 10 − 10 m ) 3 = 4.70 × 10 − 29 m 3 , a^3=(3.61\times10^{-10}\,\mathrm m)^3=4.70\times10^{-29}\,\mathrm{m^3}, a 3 = ( 3.61 × 1 0 − 10 m ) 3 = 4.70 × 1 0 − 29 m 3 , 所以
n = 4 a 3 ≈ 8.51 × 10 28 m − 3 . n=\frac4{a^3}\approx8.51\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}. n = a 3 4 ≈ 8.51 × 1 0 28 m − 3 . 这里用的是含四个格点的常规胞；若换用含一个格点的原胞，体积也缩为四分之一，所得密度不变。把“每胞电子数”与另一种晶胞体积混配会造成整数倍错误。
有限盒中的边界条件与允许波矢
先把电子放入边长 L x , L y , L z L_x,L_y,L_z L x , L y , L z
ψ ( r + L i e i ) = ψ ( r ) , \psi(\boldsymbol r+L_i\boldsymbol e_i)=\psi(\boldsymbol r), ψ ( r + L i e i ) = ψ ( r ) , 平面波本征态可归一为
ψ k ( r ) = 1 V e i k ⋅ r , k i = 2 π n i L i , n i ∈ Z . \psi_{\boldsymbol k}(\boldsymbol r)=\frac1{\sqrt V}e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol r},
\qquad
k_i=\frac{2\pi n_i}{L_i},\quad n_i\in\mathbb Z. ψ k ( r ) = V 1 e i k ⋅ r , k i = L i 2 π n i , n i ∈ Z . 归一条件是 ∫ V ∣ ψ ∣ 2 d 3 r = 1 \int_V|\psi|^2\mathrm d^3r=1 ∫ V ∣ ψ ∣ 2 d 3 r = 1 k k k ( 2 π ) 3 / V (2\pi)^3/V ( 2 π ) 3 / V k \boldsymbol k k V → ∞ V\to\infty V → ∞
边界条件也决定有限尺寸能级间距。最小波矢间隔约 2 π / L 2\pi/L 2 π / L k B T k_BT k B T
例 2：纳米盒中的波矢间距
立方盒边长 L = 10.0 n m = 1.00 × 10 − 8 m L=10.0\,\mathrm{nm}=1.00\times10^{-8}\,\mathrm m L = 10.0 nm = 1.00 × 1 0 − 8 m
Δ k = 2 π L = 6.28 × 10 8 m − 1 . \Delta k=\frac{2\pi}{L}=6.28\times10^8\,\mathrm{m^{-1}}. Δ k = L 2 π = 6.28 × 1 0 8 m − 1 . 最低非零平面波相对 k = 0 k=0 k = 0
Δ E = ℏ 2 ( Δ k ) 2 2 m e ≈ 2.41 × 10 − 21 J ≈ 0.0150 e V . \Delta E=\frac{\hbar^2(\Delta k)^2}{2m_e}
\approx2.41\times10^{-21}\,\mathrm J
\approx0.0150\,\mathrm{eV}. Δ E = 2 m e ℏ 2 ( Δ k ) 2 ≈ 2.41 × 1 0 − 21 J ≈ 0.0150 eV . 室温 k B T ≈ 0.0259 e V k_BT\approx0.0259\,\mathrm{eV} k B T ≈ 0.0259 eV 100 n m 100\,\mathrm{nm} 100 nm L − 2 L^{-2} L − 2
零温费米球与基本尺度
自由电子色散为
E ( k ) = ℏ 2 k 2 2 m e . E(\boldsymbol k)=\frac{\hbar^2k^2}{2m_e}. E ( k ) = 2 m e ℏ 2 k 2 . 在 T = 0 T=0 T = 0 k F k_F k F k F k_F k F
N = 2 V ( 2 π ) 3 4 π k F 3 3 = V k F 3 3 π 2 . N=2\frac{V}{(2\pi)^3}\frac{4\pi k_F^3}{3}
=\frac{Vk_F^3}{3\pi^2}. N = 2 ( 2 π ) 3 V 3 4 π k F 3 = 3 π 2 V k F 3 . 因此
k F = ( 3 π 2 n ) 1 / 3 , E F = ℏ 2 k F 2 2 m e , v F = ℏ k F m e , T F = E F k B . k_F=(3\pi^2n)^{1/3},
\qquad
E_F=\frac{\hbar^2k_F^2}{2m_e},
\qquad
v_F=\frac{\hbar k_F}{m_e},
\qquad
T_F=\frac{E_F}{k_B}. k F = ( 3 π 2 n ) 1/3 , E F = 2 m e ℏ 2 k F 2 , v F = m e ℏ k F , T F = k B E F . k F k_F k F m a t h r m m − 1 mathrm{m^{-1}} ma t h r m m − 1 E F E_F E F v F v_F v F m a t h r m m s − 1 mathrm{m\,s^{-1}} ma t h r m m s − 1 T F T_F T F T ≪ T F T\ll T_F T ≪ T F 3 k B T / 2 3k_BT/2 3 k B T /2
例 3：金属电子的费米尺度
取电子数密度 n = 8.50 × 10 28 m − 3 n=8.50\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}} n = 8.50 × 1 0 28 m − 3
k F = ( 3 π 2 n ) 1 / 3 ≈ 1.36 × 10 10 m − 1 , k_F=(3\pi^2n)^{1/3}\approx1.36\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}, k F = ( 3 π 2 n ) 1/3 ≈ 1.36 × 1 0 10 m − 1 , E F ≈ 1.13 × 10 − 18 J ≈ 7.05 e V , v F ≈ 1.57 × 10 6 m s − 1 , T F ≈ 8.18 × 10 4 K . E_F\approx1.13\times10^{-18}\,\mathrm J\approx7.05\,\mathrm{eV},
\quad
v_F\approx1.57\times10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}},
\quad
T_F\approx8.18\times10^4\,\mathrm K. E F ≈ 1.13 × 1 0 − 18 J ≈ 7.05 eV , v F ≈ 1.57 × 1 0 6 m s − 1 , T F ≈ 8.18 × 1 0 4 K . 费米波长 λ F = 2 π / k F ≈ 0.462 n m \lambda_F=2\pi/k_F\approx0.462\,\mathrm{nm} λ F = 2 π / k F ≈ 0.462 nm T F T_F T F v F v_F v F
三维态密度与归一
定义总态密度 g ( E ) g(E) g ( E ) g ( E ) d E g(E)\mathrm dE g ( E ) d E [ E , E + d E ] [E,E+\mathrm dE] [ E , E + d E ] m a t h r m J − 1 mathrm{J^{-1}} ma t h r m J − 1 D ( E ) = g ( E ) / V D(E)=g(E)/V D ( E ) = g ( E ) / V m a t h r m J − 1 m − 3 mathrm{J^{-1}m^{-3}} ma t h r m J − 1 m − 3
g ( E ) = V 2 π 2 ( 2 m e ℏ 2 ) 3 / 2 E , g(E)=\frac{V}{2\pi^2}
\left(\frac{2m_e}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt E, g ( E ) = 2 π 2 V ( ℏ 2 2 m e ) 3/2 E , D ( E ) = 1 2 π 2 ( 2 m e ℏ 2 ) 3 / 2 E . D(E)=\frac{1}{2\pi^2}
\left(\frac{2m_e}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt E. D ( E ) = 2 π 2 1 ( ℏ 2 2 m e ) 3/2 E . 若资料写的是“每自旋态密度”，上式需除以二。归一必须与电子密度一致：
n = ∫ 0 E F D ( E ) d E , D ( E F ) = 3 n 2 E F . n=\int_0^{E_F}D(E)\,\mathrm dE,
\qquad
D(E_F)=\frac{3n}{2E_F}. n = ∫ 0 E F D ( E ) d E , D ( E F ) = 2 E F 3 n . 用 eV 作能量自变量时，数值态密度要转换为 m a t h r m e V − 1 m − 3 mathrm{eV^{-1}m^{-3}} ma t h r m e V − 1 m − 3 D E d E = D ε d ε D_E\mathrm dE=D_\varepsilon\mathrm d\varepsilon D E d E = D ε d ε E = ( 1.602 × 10 − 19 J / e V ) ε E=(1.602\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV})\varepsilon E = ( 1.602 × 1 0 − 19 J/eV ) ε 1.602 × 10 − 19 J / e V 1.602\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV} 1.602 × 1 0 − 19 J/eV
例 4：用费米面态密度复核电子数
由 D ( E ) = C E D(E)=C\sqrt E D ( E ) = C E
n = ∫ 0 E F C E d E = 2 3 C E F 3 / 2 = 2 3 D ( E F ) E F . n=\int_0^{E_F}C\sqrt E\,\mathrm dE
=\frac23CE_F^{3/2}
=\frac23D(E_F)E_F. n = ∫ 0 E F C E d E = 3 2 C E F 3/2 = 3 2 D ( E F ) E F . 于是 D ( E F ) = 3 n / ( 2 E F ) D(E_F)=3n/(2E_F) D ( E F ) = 3 n / ( 2 E F ) E F = 1.13 × 10 − 18 J E_F=1.13\times10^{-18}\,\mathrm J E F = 1.13 × 1 0 − 18 J
D ( E F ) ≈ 1.13 × 10 47 J − 1 m − 3 . D(E_F)\approx1.13\times10^{47}\,\mathrm{J^{-1}m^{-3}}. D ( E F ) ≈ 1.13 × 1 0 47 J − 1 m − 3 . 换成每 eV 每立方米约 1.81 × 10 28 e V − 1 m − 3 1.81\times10^{28}\,\mathrm{eV^{-1}m^{-3}} 1.81 × 1 0 28 e V − 1 m − 3 6.24 × 10 18 6.24\times10^{18} 6.24 × 1 0 18
有限温占据与低温热容
有限温的平均占据为
f ( E ) = 1 e ( E − μ ) / ( k B T ) + 1 , n = ∫ 0 ∞ D ( E ) f ( E ) d E . f(E)=\frac1{e^{(E-\mu)/(k_BT)}+1},
\qquad
n=\int_0^\infty D(E)f(E)\,\mathrm dE. f ( E ) = e ( E − μ ) / ( k B T ) + 1 1 , n = ∫ 0 ∞ D ( E ) f ( E ) d E . 化学势 μ \mu μ T ≪ T F T\ll T_F T ≪ T F k B T k_BT k B T
Sommerfeld 低温展开给单位体积电子热容
c V = π 2 3 D ( E F ) k B 2 T = π 2 2 n k B T T F . c_V=\frac{\pi^2}{3}D(E_F)k_B^2T
=\frac{\pi^2}{2}nk_B\frac{T}{T_F}. c V = 3 π 2 D ( E F ) k B 2 T = 2 π 2 n k B T F T . 它与 T T T T 3 T^3 T 3 C / T C/T C / T T 2 T^2 T 2
T = 0 T=0 T = 0 P = 2 n E F / 5 P=2nE_F/5 P = 2 n E F /5
热与弱外场响应由费米面薄壳控制。宽度约 k B T k_BT k B T D ( E F ) k B T D(E_F)k_BT D ( E F ) k B T
D ( E F ) k B T n = 3 2 T T F . \frac{D(E_F)k_BT}{n}=\frac32\frac{T}{T_F}. n D ( E F ) k B T = 2 3 T F T . 室温金属中这个比例通常不到百分之一，但它们决定电子热容和线性输运。深层电子并非不存在，也不是静止；它们的对称占据缺少邻近空态，在线性小扰动下贡献互相抵消。费米面几何因此比整个费米海体积更直接决定低能响应。
三维的 D ( E ) ∝ E D(E)\propto\sqrt E D ( E ) ∝ E E − 1 / 2 E^{-1/2} E − 1/2
电场、弛豫时间与电导
半经典外场方程为
ℏ d k d t = − e E , \hbar\frac{\mathrm d\boldsymbol k}{\mathrm dt}=-e\boldsymbol E, ℏ d t d k = − e E , 其中 e > 0 e>0 e > 0 − e -e − e τ \tau τ
v d = − e τ m e E . \boldsymbol v_d=-\frac{e\tau}{m_e}\boldsymbol E. v d = − m e e τ E . 电流密度 j = − n e v d \boldsymbol j=-ne\boldsymbol v_d j = − n e v d
j = σ E , σ = n e 2 τ m e , μ e = e τ m e . \boldsymbol j=\sigma\boldsymbol E,
\qquad
\sigma=\frac{ne^2\tau}{m_e},
\qquad
\mu_e=\frac{e\tau}{m_e}. j = σ E , σ = m e n e 2 τ , μ e = m e e τ . σ \sigma σ m a t h r m S m − 1 mathrm{S\,m^{-1}} ma t h r m S m − 1 m u e mu_e m u e m a t h r m m 2 V − 1 s − 1 mathrm{m^2\,V^{-1}s^{-1}} ma t h r m m 2 V − 1 s − 1 ℓ = v F τ \ell=v_F\tau ℓ = v F τ v d τ v_d\tau v d τ
例 5：由电导估计弛豫时间和自由程
仍取 n = 8.50 × 10 28 m − 3 n=8.50\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}} n = 8.50 × 1 0 28 m − 3 τ = 2.50 × 10 − 14 s \tau=2.50\times10^{-14}\,\mathrm s τ = 2.50 × 1 0 − 14 s
σ = n e 2 τ m e ≈ 5.99 × 10 7 S m − 1 . \sigma=\frac{ne^2\tau}{m_e}
\approx5.99\times10^7\,\mathrm{S\,m^{-1}}. σ = m e n e 2 τ ≈ 5.99 × 1 0 7 S m − 1 . 用 v F = 1.57 × 10 6 m s − 1 v_F=1.57\times10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}} v F = 1.57 × 1 0 6 m s − 1
ℓ = v F τ ≈ 3.93 × 10 − 8 m = 39.3 n m . \ell=v_F\tau\approx3.93\times10^{-8}\,\mathrm m=39.3\,\mathrm{nm}. ℓ = v F τ ≈ 3.93 × 1 0 − 8 m = 39.3 nm . 若样品厚度已接近这个尺度，表面散射会使体材料单一 τ \tau τ ℓ \ell ℓ
弛豫时间概括了杂质、缺陷、声子和电子间碰撞对动量分布的作用。低温残余电阻常由静态无序控制，升温后声子散射增强。简单 Matthiessen 规则写成 1 / τ t o t ≈ ∑ i 1 / τ i 1/\tau_{\rm tot}\approx\sum_i1/\tau_i 1/ τ tot ≈ ∑ i 1/ τ i
各向同性单一 τ \tau τ τ ( k ) \tau(\boldsymbol k) τ ( k )
无序金属常用 k F ℓ k_F\ell k F ℓ k F ℓ ≫ 1 k_F\ell\gg1 k F ℓ ≫ 1 k F ℓ k_F\ell k F ℓ ℓ / L \ell/L ℓ / L
哪些电子真正承担响应
平衡态中，费米球内各方向速度成对抵消，总电流为零。电场只把占据分布轻微偏移，净电流来自费米面附近不再完全抵消的薄层。说“所有电子以漂移速度向一边移动”是经典化简；微观上每个波包仍有接近能带群速度的运动，漂移是巨大对称背景上的小偏置。
单一电子型抛物线带给 Hall 系数 R H = − 1 / ( n e ) R_H=-1/(ne) R H = − 1/ ( n e ) 1 / ( e ∣ R H ∣ ) 1/(e|R_H|) 1/ ( e ∣ R H ∣ )
若散射在费米面附近近似弹性且弛豫时间能量依赖较弱，电子热导率与电导率满足 Wiedemann–Franz 关系
κ σ T ≈ L 0 , L 0 = π 2 k B 2 3 e 2 . \frac\kappa{\sigma T}\approx L_0,
\qquad
L_0=\frac{\pi^2k_B^2}{3e^2}. σ T κ ≈ L 0 , L 0 = 3 e 2 π 2 k B 2 . 强非弹性散射、多带或低维效应可导致偏离。该关系说明相同费米面准粒子同时输运电荷与能量，但并不包括声子热导。
费米面态密度也控制弱磁场自旋响应。忽略相互作用且采用总双自旋态密度时，Pauli 磁化率量级为
χ P = μ 0 μ B 2 D ( E F ) , \chi_P=\mu_0\mu_B^2D(E_F), χ P = μ 0 μ B 2 D ( E F ) , 其中 D ( E F ) D(E_F) D ( E F ) μ B \mu_B μ B
近似边界与检查顺序
使用自由电子模型时先写电子数密度如何由原胞和价电子数得到，再写边界条件、自旋简并和态密度是总量还是单位体积量。随后检查 T / T F T/T_F T / T F τ \tau τ
费米能是电子在室温下获得的热能
费米能主要来自 Pauli 填充，金属中通常远大于
k B T k_BT k B T ；温度只模糊费米面附近占据。
态密度公式不需要注明归一
总态密度、单位体积态密度和每自旋态密度相差体积或二倍，能量用 J 与 eV 时数值也不同。
高费米速度意味着平衡金属有巨大电流
各方向占据对称时电流抵消；电流由外场造成的微小分布偏移产生。
练习
练习 1：波矢计数
所属知识 边界条件
难度 2/5 查看提示 周期边界给每方向间隔
2 π / L 2\pi/L 2 π / L ，每个 k 点有两个自旋态。
查看解答 k i = 2 π n i / L i k_i=2\pi n_i/L_i k i = 2 π n i / L i ；每个 k 点占 k 空间体积
( 2 π ) 3 / V (2\pi)^{3}/V ( 2 π ) 3 / V ，并容纳两个自旋态。硬壁有限尺寸谱不同，但热力学极限体项相同。
练习 2：由原胞得到费米能
所属知识 费米尺度
难度 3/5 给定原胞体积与每胞电子数，写出费米能计算流程和单位。
查看提示 先算
n = z / Ω c n=z/\Omega_c n = z / Ω c ，再依次算
k F k_F k F 与
E F E_F E F 。
查看解答 n = z / Ω c n=z/\Omega_c n = z / Ω c ，
k F = ( 3 π 2 n ) 1 / 3 k_F=(3\pi^{2}n)^{1/3} k F = ( 3 π 2 n ) 1/3 ，
E F = ℏ 2 k F 2 / ( 2 m e ) E_F=\hbar^{2}k_F^{2}/(2m_e) E F = ℏ 2 k F 2 / ( 2 m e ) ；
Ω c \Omega_c Ω c 必须换为
m 3 m^{3} m 3 ，最后可把 J 除以元电荷数值换成 eV。
练习 3：态密度归一
所属知识 态密度
难度 3/5 从三维 D ( E ) ∝ E D(E)\propto\sqrt E D ( E ) ∝ E D ( E F ) = 3 n / ( 2 E F ) D(E_F)=3n/(2E_F) D ( E F ) = 3 n / ( 2 E F )
查看提示 积分
C E C\sqrt{E} C E 并令上限为
E F E_F E F 。
查看解答 ∫ 0 E F C E d E = ( 2 / 3 ) C E F 3 / 2 = n \int_{0}^{E_F}C\sqrt{E} dE=(2/3)CE_F^{3/2}=n ∫ 0 E F C E d E = ( 2/3 ) C E F 3/2 = n ，因此
D ( E F ) = C E F = 3 n / ( 2 E F ) D(E_F)=C\sqrt{E_F}=3n/(2E_F) D ( E F ) = C E F = 3 n / ( 2 E F ) 。若 D 是总态密度，右侧应换成 N。
练习 4：低温热容比例
所属知识 Sommerfeld 展开
难度 3/5 估算 T / T F = 10 − 3 T/T_F=10^{-3} T / T F = 1 0 − 3 n k B nk_B n k B
查看提示 使用
c V / ( n k B ) = π 2 T / ( 2 T F ) c_V/(nk_B)=\pi^{2}T/(2T_F) c V / ( n k B ) = π 2 T / ( 2 T F ) 。
查看解答 T / T F = 10 − 3 T/T_F=10^{-3} T / T F = 1 0 − 3 时
c V / ( n k B ) = π 2 × 10 − 3 / 2 ≈ 4.93 × 10 − 3 c_V/(nk_B)=\pi^{2}\times 10^{-3}/2\approx 4.93\times 10^{-3} c V / ( n k B ) = π 2 × 1 0 − 3 /2 ≈ 4.93 × 1 0 − 3 ，远小于经典每粒子常数量级。
练习 5：电导与平均自由程
所属知识 输运
难度 3/5 由测得的 s i g m a sigma s i g ma n n n v F v_F v F
查看提示 先由
σ = n e 2 τ / m \sigma=ne^{2}\tau/m σ = n e 2 τ / m 求
τ \tau τ ，再用 ℓ
= v F τ =v_F\tau = v F τ 。
查看解答 τ = m e σ / ( n e 2 ) \tau=m_e\sigma/(ne^{2}) τ = m e σ / ( n e 2 ) ，ℓ
= v F m e σ / ( n e 2 ) =v_{F}m_e\sigma/(ne^{2}) = v F m e σ / ( n e 2 ) 。结果应与晶格常数和样品尺寸比较，才能判断体散射近似是否合理。
练习 6：模型失效诊断
所属知识 适用域
难度 4/5 为半导体薄膜列出不能直接采用自由电子气公式的原因。
查看提示 依次检查周期势、多带、相互作用、尺寸、温度和散射。
查看解答 出现能隙或强各向异性需能带；多种载流子需多带输运；ℓ 接近样品尺寸需边界散射；强关联或非准粒子响应不能用单一自由电子
τ \tau τ 描述。
关系与资源
课程 · 2006 Physics of Solids I Xiao-Gang Wen
用于核对 P10 的晶格记号、倒易空间、声子色散、电子态密度、Bloch 能带和半导体例题。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.231 覆盖自由电子、态密度、费米面与固体输运，可用于核对本章波矢计数、归一和能量单位。材料数据若未给出，本章只保留模型量或明确示例参数，不把近自由电子数值当成所有金属的实测常数。
课程 · 2009 Theory of Solids II Patrick Lee
用于核对 P10 的 London 与 Ginzburg–Landau 描述、超导准粒子、交换磁性、输运响应和集体相例题。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.512《Theory of Solids II》支撑本章评估自由电子参照系的失效位置：库仑相互作用可引入屏蔽与准粒子重整化，晶格和集体模则改变寿命与输运系数，所以由 k F k_F k F E F E_F E F