学习目标、动机与直觉：先界定问题，再选择方程
经典力学题的困难常常不在某一条公式，而在同一过程需要分阶段、更换系统或组合多种表示。碰撞持续几毫秒，随后物体可能摆动几秒；轮子既平动又转动；卫星既受持续引力又可用能量和角动量描述。若从题目中抓到一个熟悉数字就套公式，往往会在系统边界、方向或适用时间上犯错。
除非另行说明，本章采用地面或行星中心惯性系，使用右手直角坐标；每道例题都会声明正方向。质量、长度、时间分别用千克、米、秒，力用牛顿，能量用焦耳，线动量用千克米每秒，角动量用千克平方米每秒。近地面匀强重力题取 g = 9.81 m , s − 2 g=9.81\,\mathrm{m,s^{-2}} g = 9.81 m , s − 2 μ = G M \mu=GM μ = GM m a t h r m m 3 , s − 2 mathrm{m^3,s^{-2}} ma t h r m m 3 , s − 2
一个可重复的建模流程
面对新问题，可以按以下顺序工作，而不是先搜公式：
画对象与环境。 标出接触、绳、弹簧、支点、重力源和可能交换动量或能量的对象。规定参考系和正方向。 写出原点、坐标轴、时钟与观察时间段，并判断参考系能否近似为惯性系。选择系统边界。 明确哪些对象在系统内；边界外的作用要作为外力、外冲量、外力矩、外功或能量传递记录。分割过程。 力的机制或约束一旦改变，就建立新阶段。例如碰撞阶段和碰撞后上升阶段不能共用同一个守恒声明。选择状态量。 若需要时间和轨迹，优先用运动学与 Newton 方程；若只比较两个位置，能量通常更短；若作用时间短而力随时间复杂，冲量—动量更稳妥；若绕轴效应重要，加入角动量与力矩。交叉检查。 至少做单位、方向、极限与数量级检查；条件允许时再用另一种方法重算同一状态量。
这个流程不是要求每题都写五套方程，而是保证所选方程有清楚的适用对象和时间区间。
五种描述怎样连接
运动学给出 r ( t ) \boldsymbol r(t) r ( t ) v ( t ) \boldsymbol v(t) v ( t ) a ( t ) \boldsymbol a(t) a ( t )
∑ F e x t = d P d t . \sum\boldsymbol F^{\rm ext}=\frac{\mathrm d\boldsymbol P}{\mathrm dt}. ∑ F ext = d t d P . 把它在时间上积分得到冲量—动量定理
Δ P = ∫ t 1 t 2 ∑ F e x t d t , \Delta\boldsymbol P=\int_{t_1}^{t_2}\sum\boldsymbol F^{\rm ext}\,\mathrm dt, Δ P = ∫ t 1 t 2 ∑ F ext d t , 在空间路径上与速度做标量积并积分，则得到功—能关系。若把与位置有关的保守力写入势能，可表成
Δ ( K + U ) = W o t h e r , \Delta(K+U)=W_{\rm other}, Δ ( K + U ) = W other , 其中 W o t h e r W_{\rm other} W other
K = 1 2 M v c m 2 + 1 2 I c m ω 2 , K=\frac12Mv_{\rm cm}^2+\frac12I_{\rm cm}\omega^2, K = 2 1 M v cm 2 + 2 1 I cm ω 2 , 并用 ∑ τ O e x t = d L O / d t \sum\boldsymbol\tau_O^{\rm ext}=\mathrm d\boldsymbol L_O/\mathrm dt ∑ τ O ext = d L O / d t
例 1：同一段运动用四种量交叉核对
质量 m = 2.00 k g m=2.00\,\mathrm{kg} m = 2.00 kg + x +x + x 10.0 N 10.0\,\mathrm N 10.0 N 2.00 N 2.00\,\mathrm N 2.00 N 5.00 m 5.00\,\mathrm m 5.00 m
合力为 8.00 N 8.00\,\mathrm N 8.00 N a x = 4.00 m , s − 2 a_x=4.00\,\mathrm{m,s^{-2}} a x = 4.00 m , s − 2
v 2 = 2 a Δ x = 40.0 m 2 , s − 2 , v = 6.32 m , s − 1 , v^2=2a\Delta x=40.0\,\mathrm{m^2,s^{-2}},
\qquad v=6.32\,\mathrm{m,s^{-1}}, v 2 = 2 a Δ x = 40.0 m 2 , s − 2 , v = 6.32 m , s − 1 , 并由 Δ x = 1 2 a t 2 \Delta x=\tfrac12at^2 Δ x = 2 1 a t 2 t = 1.58 s t=1.58\,\mathrm s t = 1.58 s ( 10.0 − 2.00 ) ( 5.00 ) = 40.0 J (10.0-2.00)(5.00)=40.0\,\mathrm J ( 10.0 − 2.00 ) ( 5.00 ) = 40.0 J 1 2 m v 2 = 40.0 J \tfrac12mv^2=40.0\,\mathrm J 2 1 m v 2 = 40.0 J p = m v = 12.6 k g , m , s − 1 p=mv=12.6\,\mathrm{kg,m,s^{-1}} p = m v = 12.6 kg , m , s − 1 ( 8.00 ) ( 1.58 ) (8.00)(1.58) ( 8.00 ) ( 1.58 )
四种计算共享同一地面系、同一滑块系统和同一时间段，所以可以互相核对。若拉力随位置或时间变化，仍可分别积分，但不能继续使用恒加速度公式。
系统边界：守恒量不是物体的永久标签
“动量守恒”完整地说，是选定系统在选定时间段内所受外冲量可忽略；“机械能守恒”则要求系统内能量转化已被所列势能和动能覆盖，且没有遗漏显著的耗散或边界功。系统扩大时，原来的外力可能变成内力；系统缩小时，原来的势能可能需要改写为外功。
系统边界与过程阶段
系统边界规定哪些物体及其内部自由度被纳入记账；穿过边界的作用必须记录为外力、外冲量、外力矩、外功、热或物质交换。过程阶段是一段模型假设和约束保持不变的时间区间。边界或约束一旦改变，就应结束上一阶段并为下一阶段重新列方程。
例如把“物体”单独作为系统，重力是外力并做功；把“物体与地球”作为系统，引力是内力，可以使用引力势能。两种做法都正确，但绝不能在同一条能量方程中既加入重力做功又加入相同的重力势能变化，否则会重复计数。碰撞过程中，机械能常因形变、热和声而不守恒，但若外冲量很小，总动量仍可近似守恒。
例 2：弹道摆必须分成碰撞与上升两阶段
质量 m = 0.0200 k g m=0.0200\,\mathrm{kg} m = 0.0200 kg M = 1.980 k g M=1.980\,\mathrm{kg} M = 1.980 kg h = 0.200 m h=0.200\,\mathrm m h = 0.200 m
先分析碰撞后的上升。把组合体与地球作为系统，机械能给
1 2 ( M + m ) V 2 = ( M + m ) g h , V = 2 g h = 1.98 m , s − 1 . \frac12(M+m)V^2=(M+m)gh,
\qquad V=\sqrt{2gh}=1.98\,\mathrm{m,s^{-1}}. 2 1 ( M + m ) V 2 = ( M + m ) g h , V = 2 g h = 1.98 m , s − 1 . 再回到碰撞阶段。弹丸与木块组成系统，水平方向动量守恒：
m u = ( M + m ) V , u = 2.000 0.0200 ( 1.98 ) = 198 m , s − 1 . mu=(M+m)V,
\qquad
u=\frac{2.000}{0.0200}(1.98)=198\,\mathrm{m,s^{-1}}. m u = ( M + m ) V , u = 0.0200 2.000 ( 1.98 ) = 198 m , s − 1 . 不能把碰撞前动能直接等同于最高点势能，因为嵌入碰撞把一部分机械能转为内能。也不能只对弹丸写动量守恒，因为木块对弹丸的冲量是外冲量。
刚体综合：质心平动与绕质心转动同时存在
对刚体，合外力控制质心运动，关于质心的合外力矩控制转动。能量法可避开理想静摩擦的未知大小，但只有先确认纯滚动约束 v c m = R ∣ ω ∣ v_{\rm cm}=R|\omega| v cm = R ∣ ω ∣
例 3：圆柱滚下时哪些量守恒
均匀实心圆柱质量 M = 3.00 k g M=3.00\,\mathrm{kg} M = 3.00 kg R = 0.200 m R=0.200\,\mathrm m R = 0.200 m h = 0.800 m h=0.800\,\mathrm m h = 0.800 m
圆柱与地球组成系统时，机械能守恒：
M g h = 1 2 M v 2 + 1 2 ( 1 2 M R 2 ) v 2 R 2 = 3 4 M v 2 . Mgh=\frac12Mv^2+\frac12\left(\frac12MR^2\right)\frac{v^2}{R^2}
=\frac34Mv^2. M g h = 2 1 M v 2 + 2 1 ( 2 1 M R 2 ) R 2 v 2 = 4 3 M v 2 . 于是 v = 4 g h / 3 = 3.24 m , s − 1 v=\sqrt{4gh/3}=3.24\,\mathrm{m,s^{-1}} v = 4 g h /3 = 3.24 m , s − 1 ∣ ω ∣ = v / R = 16.2 r a d , s − 1 |\omega|=v/R=16.2\,\mathrm{rad,s^{-1}} ∣ ω ∣ = v / R = 16.2 rad , s − 1 15.7 J 15.7\,\mathrm J 15.7 J 7.85 J 7.85\,\mathrm J 7.85 J 23.5 J 23.5\,\mathrm J 23.5 J M g h Mgh M g h
万有引力、势能与圆轨道的推导
两个质点质量为 M M M m m m r r r
F = G M m r 2 , F=\frac{GMm}{r^2}, F = r 2 GM m , 方向沿连线相互吸引。若 M M M F r = − G M m / r 2 F_r=-GMm/r^2 F r = − GM m / r 2
U ( r ) = − G M m r = − μ m r . U(r)=-\frac{GMm}{r}=-\frac{\mu m}{r}. U ( r ) = − r GM m = − r μ m . 负号表示有限距离的束缚状态相对无穷远具有较低势能。近地面公式 U ≈ m g h U\approx mgh U ≈ m g h h h h − μ m / r -\mu m/r − μ m / r
质量可忽略的卫星在半径 r r r
μ m r 2 = m v c 2 r , v c = μ r , T = 2 π r 3 μ . \frac{\mu m}{r^2}=\frac{mv_c^2}{r},
\qquad
v_c=\sqrt{\frac\mu r},
\qquad
T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\mu}}. r 2 μ m = r m v c 2 , v c = r μ , T = 2 π μ r 3 . 圆轨道机械能为
E = 1 2 m v c 2 − μ m r = − μ m 2 r . E=\frac12mv_c^2-\frac{\mu m}{r}
=-\frac{\mu m}{2r}. E = 2 1 m v c 2 − r μ m = − 2 r μ m . 从半径 r r r v e s c = 2 μ / r = 2 v c v_{\rm esc}=\sqrt{2\mu/r}=\sqrt2\,v_c v esc = 2 μ / r = 2 v c
角动量、有效势与 Kepler 轨道
中心力始终沿径向，关于中心的外力矩为零，因此单位质量角动量 h = r 2 ϕ ˙ h=r^2\dot\phi h = r 2 ϕ ˙
ε = 1 2 r ˙ 2 + h 2 2 r 2 − μ r = 1 2 r ˙ 2 + V e f f ( r ) . \varepsilon
=\frac12\dot r^2+\frac{h^2}{2r^2}-\frac\mu r
=\frac12\dot r^2+V_{\rm eff}(r). ε = 2 1 r ˙ 2 + 2 r 2 h 2 − r μ = 2 1 r ˙ 2 + V eff ( r ) . 有效势 V e f f = h 2 / ( 2 r 2 ) − μ / r V_{\rm eff}=h^2/(2r^2)-\mu/r V eff = h 2 / ( 2 r 2 ) − μ / r
例 4：圆轨道速度、周期与逃逸阈值
某球对称天体的引力参数取 μ = 3.986 × 10 14 m 3 , s − 2 \mu=3.986\times10^{14}\,\mathrm{m^3,s^{-2}} μ = 3.986 × 1 0 14 m 3 , s − 2 r = 7.00 × 10 6 m r=7.00\times10^6\,\mathrm m r = 7.00 × 1 0 6 m
圆轨道速率为
v c = μ / r = 7.55 × 10 3 m , s − 1 . v_c=\sqrt{\mu/r}=7.55\times10^3\,\mathrm{m,s^{-1}}. v c = μ / r = 7.55 × 1 0 3 m , s − 1 . 周期
T = 2 π r 3 / μ = 5.83 × 10 3 s , T=2\pi\sqrt{r^3/\mu}=5.83\times10^3\,\mathrm s, T = 2 π r 3 / μ = 5.83 × 1 0 3 s , 约为 97.1 m i n 97.1\,\mathrm{min} 97.1 min ε = − μ / ( 2 r ) = − 2.85 × 10 7 J , k g − 1 \varepsilon=-\mu/(2r)=-2.85\times10^7\,\mathrm{J,kg^{-1}} ε = − μ / ( 2 r ) = − 2.85 × 1 0 7 J , k g − 1 v e s c = 2 v c = 1.07 × 10 4 m , s − 1 v_{\rm esc}=\sqrt2v_c=1.07\times10^4\,\mathrm{m,s^{-1}} v esc = 2 v c = 1.07 × 1 0 4 m , s − 1
常见误区
常见误区
“只要题目出现碰撞，就全程动量守恒。”动量守恒只适用于外冲量可忽略的系统和时间段；碰撞后摆动或滑行阶段通常受显著外力冲量。
常见误区
“摩擦一定使机械能减少。”滑动摩擦常把机械能转为内能；静摩擦在固定接触面纯滚动时可不做功；运动传送带上的摩擦还可能向物体输入机械能。必须说明系统和接触点位移。
常见误区
“卫星圆周运动速度不变，所以没有加速度和合力。”速率恒定不等于速度矢量恒定；向心加速度大小为 v 2 / r v^2/r v 2 / r
常见误区
“守恒律能决定所有细节。”守恒律常连接初末状态，却未必给出经历时间、轨迹方向或接触力；这些量仍需运动学、受力方程和约束条件。
探索活动：碰撞后压缩弹簧的两阶段审计
在水平低摩擦轨道上，让质量已知的小车 A 撞上静止小车 B，并使两车通过粘扣连接；随后组合体压缩已标定的弹簧。取轨道向右为 + x +x + x u A u_A u A V V V x max x_{\max} x m a x m a t h r m m , s − 1 mathrm{m,s^{-1}} ma t h r m m , s − 1 m a t h r m N , m − 1 mathrm{N,m^{-1}} ma t h r m N , m − 1
碰撞阶段检验
m A u A ≈ ( m A + m B ) V , m_Au_A\approx(m_A+m_B)V, m A u A ≈ ( m A + m B ) V , 并比较碰撞前后动能，记录损失而不强行令其为零。压缩阶段则检验
1 2 ( m A + m B ) V 2 ≈ 1 2 k x max 2 + W l o s s . \frac12(m_A+m_B)V^2
\approx\frac12kx_{\max}^2+W_{\rm loss}. 2 1 ( m A + m B ) V 2 ≈ 2 1 k x m a x 2 + W loss . 至少做五次重复，报告质量、速度、压缩量、时间分辨率与估计不确定度。若两阶段残差不同，应分别检查碰撞外冲量、轨道坡度、弹簧预紧、滚动阻力和视频标定。活动的重点不是得到漂亮的守恒百分比，而是让每个守恒声明都对应明确系统与时间窗。
练习
练习
所属知识 多方法核对
难度 2/5 质量 3.00 k g 3.00\,\mathrm{kg} 3.00 kg 12.0 N 12.0\,\mathrm N 12.0 N 3.00 N 3.00\,\mathrm N 3.00 N 6.00 m 6.00\,\mathrm m 6.00 m
查看提示 先由合力求加速度，再分别用运动学和净功求末速度。
查看解答 取向右为正，合力 9.00 N 9.00\,\mathrm N 9.00 N a = 3.00 m , s − 2 a=3.00\,\mathrm{m,s^{-2}} a = 3.00 m , s − 2 6.00 = 1 2 ( 3.00 ) t 2 6.00=\tfrac12(3.00)t^2 6.00 = 2 1 ( 3.00 ) t 2 t = 2.00 s t=2.00\,\mathrm s t = 2.00 s v = a t = 6.00 m , s − 1 v=at=6.00\,\mathrm{m,s^{-1}} v = a t = 6.00 m , s − 1 ( 12.0 − 3.00 ) ( 6.00 ) = 54.0 J (12.0-3.00)(6.00)=54.0\,\mathrm J ( 12.0 − 3.00 ) ( 6.00 ) = 54.0 J 1 2 m v 2 \tfrac12mv^2 2 1 m v 2
练习
所属知识 冲量
难度 2/5 质量 0.150 k g 0.150\,\mathrm{kg} 0.150 kg 20.0 m , s − 1 20.0\,\mathrm{m,s^{-1}} 20.0 m , s − 1 30.0 m , s − 1 30.0\,\mathrm{m,s^{-1}} 30.0 m , s − 1 0.0100 s 0.0100\,\mathrm s 0.0100 s
查看提示 冲量等于动量变化；先规定来球方向为正。
查看解答 取向右为正，Δ p = 0.150 ( − 30.0 − 20.0 ) = − 7.50 k g , m , s − 1 \Delta p=0.150(-30.0-20.0)=-7.50\,\mathrm{kg,m,s^{-1}} Δ p = 0.150 ( − 30.0 − 20.0 ) = − 7.50 kg , m , s − 1 F ‾ = Δ p / Δ t = − 750 N \overline F=\Delta p/\Delta t=-750\,\mathrm N F = Δ p /Δ t = − 750 N 750 N 750\,\mathrm N 750 N 0.0147 N , s 0.0147\,\mathrm{N,s} 0.0147 N , s
练习
所属知识 完全非弹性碰撞
难度 3/5 质量 2.00 k g 2.00\,\mathrm{kg} 2.00 kg 4.00 m , s − 1 4.00\,\mathrm{m,s^{-1}} 4.00 m , s − 1 3.00 k g 3.00\,\mathrm{kg} 3.00 kg
查看提示 碰撞阶段守恒动量；共同速度求出后再比较动能。
查看解答 V = ( 2.00 × 4.00 ) / ( 5.00 ) = 1.60 m , s − 1 V=(2.00\times4.00)/(5.00)=1.60\,\mathrm{m,s^{-1}} V = ( 2.00 × 4.00 ) / ( 5.00 ) = 1.60 m , s − 1 16.0 J 16.0\,\mathrm J 16.0 J 1 2 ( 5.00 ) ( 1.60 ) 2 = 6.40 J \tfrac12(5.00)(1.60)^2=6.40\,\mathrm J 2 1 ( 5.00 ) ( 1.60 ) 2 = 6.40 J 9.60 J 9.60\,\mathrm J 9.60 J
练习
所属知识 碰撞后上升
难度 3/5 质量 0.0500 k g 0.0500\,\mathrm{kg} 0.0500 kg 12.0 m , s − 1 12.0\,\mathrm{m,s^{-1}} 12.0 m , s − 1 0.950 k g 0.950\,\mathrm{kg} 0.950 kg
查看提示 先用碰撞动量求共同速度，再在上升阶段用机械能。
查看解答 碰撞动量守恒给 V = ( 0.0500 × 12.0 ) / ( 1.000 ) = 0.600 m , s − 1 V=(0.0500\times12.0)/(1.000)=0.600\,\mathrm{m,s^{-1}} V = ( 0.0500 × 12.0 ) / ( 1.000 ) = 0.600 m , s − 1 1 2 V 2 = g h \tfrac12V^2=gh 2 1 V 2 = g h h = V 2 / ( 2 g ) = 0.0183 m h=V^2/(2g)=0.0183\,\mathrm m h = V 2 / ( 2 g ) = 0.0183 m
练习
所属知识 滚动能量
难度 3/5 薄圆环从高度 h = 0.500 m h=0.500\,\mathrm m h = 0.500 m v = 2 g h v=\sqrt{2gh} v = 2 g h
查看提示 圆环
I = M R 2 I=MR^{2} I = M R 2 ，纯滚动时
ω = v / R \omega=v/R ω = v / R 。
查看解答 M g h = 1 2 M v 2 + 1 2 M R 2 ( v / R ) 2 = M v 2 Mgh=\tfrac12Mv^2+\tfrac12MR^2(v/R)^2=Mv^2 M g h = 2 1 M v 2 + 2 1 M R 2 ( v / R ) 2 = M v 2 v = g h = 2.21 m , s − 1 v=\sqrt{gh}=2.21\,\mathrm{m,s^{-1}} v = g h = 2.21 m , s − 1 2 g h = 3.13 m , s − 1 \sqrt{2gh}=3.13\,\mathrm{m,s^{-1}} 2 g h = 3.13 m , s − 1
练习
所属知识 圆轨道
难度 4/5 某天体引力参数为 μ = 4.00 × 10 12 m 3 , s − 2 \mu=4.00\times10^{12}\,\mathrm{m^3,s^{-2}} μ = 4.00 × 1 0 12 m 3 , s − 2 r = 2.00 × 10 6 m r=2.00\times10^6\,\mathrm m r = 2.00 × 1 0 6 m
查看提示 先用
v = μ / r v=\sqrt{\mu/r} v = μ / r ，再由
T = 2 π r / v T=2\pi r/v T = 2 π r / v ；逃逸速率是圆轨道速率的
2 \sqrt{2} 2 倍。
查看解答 v c = μ / r = 1.41 × 10 3 m , s − 1 v_c=\sqrt{\mu/r}=1.41\times10^3\,\mathrm{m,s^{-1}} v c = μ / r = 1.41 × 1 0 3 m , s − 1 T = 2 π r / v c = 8.89 × 10 3 s T=2\pi r/v_c=8.89\times10^3\,\mathrm s T = 2 π r / v c = 8.89 × 1 0 3 s v e s c = 2 v c = 2.00 × 10 3 m , s − 1 v_{\rm esc}=\sqrt2v_c=2.00\times10^3\,\mathrm{m,s^{-1}} v esc = 2 v c = 2.00 × 1 0 3 m , s − 1
关系、资源与后续学习
课程 · 2016 Classical Mechanics Deepto Chakrabarty, Peter Dourmashkin, Michelle Tomasik, Anna Frebel, Vladan Vuletic
用于核对 P01 的受力模型、守恒定律、参考系约定、转动公式、完整例题和练习。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.01SC《Classical Mechanics》覆盖运动学、Newton 定律、功与能、动量、转动、万有引力和轨道。本章只引用这一已登记课程资源作为复习与继续练习入口；所有系统选择、模型假设、公式推导和数值计算均在正文中给出，读者可按阶段独立核对。
完成本章后，应能把“选系统—分阶段—选方法—交叉核对”作为统一习惯。下一步可进入解析力学，以广义坐标和变分原理重新组织约束系统；也可在振动与波章节研究连续介质。新形式不会取消本章的边界意识：参考系、单位、外部作用与近似条件仍是任何可靠模型的起点。
课程 · 2014 Classical Mechanics III Iain Stewart
用于核对 P02 的变分条件、约束处理、Hamilton 形式、Poisson 括号、正则变换和混沌例题。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.09《Classical Mechanics III》支撑本章从 Newton 形式过渡到 Lagrange 与 Hamilton 形式的综合判断：约束系统可先用自由体图确认外力和守恒边界，再用广义坐标减少冗余自由度，最终所得运动必须与同一初值下的经典方程一致。该课程在本章支持的是方法之间的等价条件与适用层级，不是用高阶形式替代系统选择、单位和近似检查。