学习目标、对象与方向约定
静电学把静止电荷作为源；本章研究时间上不变的电荷流怎样产生磁场，以及磁场怎样改变运动电荷的方向。“稳恒”指宏观电流密度
J ( r ) \boldsymbol J(\boldsymbol r) J ( r ) A = C s − 1 \mathrm A=\mathrm{C\,s^{-1}} A = C s − 1 A m − 2 \mathrm{A\,m^{-2}} A m − 2 B \boldsymbol B B T = N A − 1 m − 1 \mathrm T=\mathrm{N\,A^{-1}\,m^{-1}} T = N A − 1 m − 1
全文采用右手直角坐标系。叉积方向按右手定则；“电流方向”取正电荷定向运动方向。给闭合回路 C C C n ^ \hat{\boldsymbol n} n ^
Lorentz 力：磁场改变方向而不直接做功
电荷 q q q v \boldsymbol v v
F = q ( E + v × B ) . \boldsymbol F=q(\boldsymbol E+\boldsymbol v\times\boldsymbol B). F = q ( E + v × B ) . 磁力大小为
∣ q ∣ v B sin θ |q|vB\sin\theta ∣ q ∣ v B sin θ θ \theta θ v \boldsymbol v v B \boldsymbol B B v × B \boldsymbol v\times\boldsymbol B v × B
F B ⋅ v = q ( v × B ) ⋅ v = 0 , \boldsymbol F_B\cdot\boldsymbol v
=q(\boldsymbol v\times\boldsymbol B)\cdot\boldsymbol v=0, F B ⋅ v = q ( v × B ) ⋅ v = 0 , 纯磁力的瞬时功率为零，不能单独改变粒子速率或动能；它可以改变速度方向。若粒子同时受电场、碰撞或辐射影响，动能仍可能改变。
例 1：带电粒子的方向、力和轨道半径
质子电荷
q = + 1.60 × 10 − 19 C q=+1.60\times10^{-19}\,\mathrm C q = + 1.60 × 1 0 − 19 C m = 1.67 × 10 − 27 k g m=1.67\times10^{-27}\,\mathrm{kg} m = 1.67 × 1 0 − 27 kg v = ( 3.00 × 10 6 m s − 1 ) x ^ \boldsymbol v=(3.00\times10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}})\hat{\boldsymbol x} v = ( 3.00 × 1 0 6 m s − 1 ) x ^ B = ( 0.200 T ) z ^ \boldsymbol B=(0.200\,\mathrm T)\hat{\boldsymbol z} B = ( 0.200 T ) z ^ x ^ × z ^ = − y ^ \hat{\boldsymbol x}\times\hat{\boldsymbol z}=-\hat{\boldsymbol y} x ^ × z ^ = − y ^
F B = − ( 9.60 × 10 − 14 N ) y ^ . \boldsymbol F_B
=-(9.60\times10^{-14}\,\mathrm N)\hat{\boldsymbol y}. F B = − ( 9.60 × 1 0 − 14 N ) y ^ . 速度与磁场垂直，轨道为圆，磁力提供向心力：
r = m v ∣ q ∣ B = 0.157 m . r=\frac{mv}{|q|B}
=0.157\,\mathrm m. r = ∣ q ∣ B m v = 0.157 m . 角频率为
ω c = ∣ q ∣ B / m = 1.92 × 10 7 r a d s − 1 \omega_c=|q|B/m=1.92\times10^7\,\mathrm{rad\,s^{-1}} ω c = ∣ q ∣ B / m = 1.92 × 1 0 7 rad s − 1
稳恒电流、电流密度与守恒
穿过定向曲面 S S S
I = ∫ S J ⋅ n ^ d A . I=\int_S\boldsymbol J\cdot\hat{\boldsymbol n}\,\mathrm dA. I = ∫ S J ⋅ n ^ d A . I > 0 I>0 I > 0 n n n q q q v d \boldsymbol v_d v d J = n q v d \boldsymbol J=nq\boldsymbol v_d J = n q v d q < 0 q<0 q < 0
局域电荷守恒写成
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0. \frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol J=0. ∂ t ∂ ρ + ∇ ⋅ J = 0. 稳恒条件给
∂ ρ / ∂ t = 0 \partial\rho/\partial t=0 ∂ ρ / ∂ t = 0 ∇ ⋅ J = 0 \boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol J=0 ∇ ⋅ J = 0 J = I / A J=I/A J = I / A
Biot–Savart 定律与方向
细导线中的稳恒电流 I I I r \boldsymbol r r
B ( r ) = μ 0 I 4 π ∫ d ℓ ′ × R ^ R 2 , R = r − r ′ . \boldsymbol B(\boldsymbol r)
=\frac{\mu_0 I}{4\pi}
\int
\frac{\mathrm d\boldsymbol\ell'\times\hat{\boldsymbol R}}{R^2},
\qquad
\boldsymbol R=\boldsymbol r-\boldsymbol r'. B ( r ) = 4 π μ 0 I ∫ R 2 d ℓ ′ × R ^ , R = r − r ′ . 源元方向 d ℓ ′ \mathrm d\boldsymbol\ell' d ℓ ′ R \boldsymbol R R μ 0 \mu_0 μ 0 N A − 2 \mathrm{N\,A^{-2}} N A − 2 R \boldsymbol R R
对沿 + z +z + z
B = μ 0 I 2 π r ϕ ^ . \boldsymbol B
=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\hat{\boldsymbol\phi}. B = 2 π r μ 0 I ϕ ^ . 这里 r r r
例 2：直导线磁场的大小与方向
一根电流
I = 8.00 A I=8.00\,\mathrm A I = 8.00 A + z +z + z x = + 0.0400 m x=+0.0400\,\mathrm m x = + 0.0400 m y = 0 y=0 y = 0 + z +z + z + x +x + x + y +y + y
B = ( 4 π × 10 − 7 N A − 2 ) ( 8.00 A ) 2 π ( 0.0400 m ) y ^ = ( 4.00 × 10 − 5 T ) y ^ . \boldsymbol B
=\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N\,A^{-2}})(8.00\,\mathrm A)}
{2\pi(0.0400\,\mathrm m)}
\hat{\boldsymbol y}
=(4.00\times10^{-5}\,\mathrm T)\hat{\boldsymbol y}. B = 2 π ( 0.0400 m ) ( 4 π × 1 0 − 7 N A − 2 ) ( 8.00 A ) y ^ = ( 4.00 × 1 0 − 5 T ) y ^ . 若只把电流反向，磁场为
− ( 4.00 × 10 − 5 T ) y ^ -(4.00\times10^{-5}\,\mathrm T)\hat{\boldsymbol y} − ( 4.00 × 1 0 − 5 T ) y ^
Ampère 环路定律：先选回路，再数带符号电流
稳恒电流的 Ampère 定律为
∮ C B ⋅ d ℓ = μ 0 I e n c , I e n c = ∫ S J ⋅ n ^ d A . \oint_C\boldsymbol B\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell
=\mu_0 I_{\rm enc},
\qquad
I_{\rm enc}=\int_S\boldsymbol J\cdot\hat{\boldsymbol n}\,\mathrm dA. ∮ C B ⋅ d ℓ = μ 0 I enc , I enc = ∫ S J ⋅ n ^ d A . 回路正向与曲面法向必须按右手规则配套。穿过法向的电流为正，反向穿过为负；位于曲面之外的电流不计入 I e n c I_{\rm enc} I enc B B B
对理想无限长螺线管，取跨越内外区域的矩形回路。外场近似为零，端部效应忽略，内部场为
B = μ 0 n I , B=\mu_0 nI, B = μ 0 n I , 其中 n = N / ℓ n=N/\ell n = N / ℓ m − 1 \mathrm{m^{-1}} m − 1 r r r B = μ 0 N I / ( 2 π r ) B=\mu_0NI/(2\pi r) B = μ 0 N I / ( 2 π r )
例 3：理想螺线管的场和方向
长螺线管每米
n = 1.20 × 10 3 m − 1 n=1.20\times10^3\,\mathrm{m^{-1}} n = 1.20 × 1 0 3 m − 1 I = 0.750 A I=0.750\,\mathrm A I = 0.750 A + z +z + z + z +z + z
B = μ 0 n I z ^ = ( 1.13 × 10 − 3 T ) z ^ . \boldsymbol B
=\mu_0nI\,\hat{\boldsymbol z}
=(1.13\times10^{-3}\,\mathrm T)\hat{\boldsymbol z}. B = μ 0 n I z ^ = ( 1.13 × 1 0 − 3 T ) z ^ . 若取 Ampère 回路的法向为 + z +z + z N I NI N I
圆电流轴线场、载流导线受力
半径 R R R x y xy x y + z +z + z
B ( z ) = μ 0 I R 2 2 ( R 2 + z 2 ) 3 / 2 z ^ . \boldsymbol B(z)
=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}
\hat{\boldsymbol z}. B ( z ) = 2 ( R 2 + z 2 ) 3/2 μ 0 I R 2 z ^ . 中心场为 μ 0 I / ( 2 R ) \mu_0I/(2R) μ 0 I / ( 2 R ) N N N N N N μ 0 I / R \mu_0I/R μ 0 I / R N A − 1 m − 1 = T \mathrm{N\,A^{-1}\,m^{-1}}=\mathrm T N A − 1 m − 1 = T
从线元积分核对轴线公式
把圆环源点写成
r ′ = ( R cos φ , R sin φ , 0 ) \boldsymbol r'=(R\cos\varphi,R\sin\varphi,0) r ′ = ( R cos φ , R sin φ , 0 )
d ℓ ′ = R ( − sin φ , cos φ , 0 ) d φ . \mathrm d\boldsymbol\ell'
=R(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)\,\mathrm d\varphi. d ℓ ′ = R ( − sin φ , cos φ , 0 ) d φ . 轴上场点为 ( 0 , 0 , z ) (0,0,z) ( 0 , 0 , z ) R = ( − R cos φ , − R sin φ , z ) \boldsymbol R=(-R\cos\varphi,-R\sin\varphi,z) R = ( − R cos φ , − R sin φ , z ) R 2 + z 2 \sqrt{R^2+z^2} R 2 + z 2 z z z R 2 d φ R^2\,\mathrm d\varphi R 2 d φ x , y x,y x , y cos φ \cos\varphi cos φ sin φ \sin\varphi sin φ 0 0 0 2 π 2\pi 2 π
B z = μ 0 I 4 π ( R 2 + z 2 ) 3 / 2 ∫ 0 2 π R 2 d φ = μ 0 I R 2 2 ( R 2 + z 2 ) 3 / 2 . B_z
=\frac{\mu_0I}{4\pi(R^2+z^2)^{3/2}}
\int_0^{2\pi}R^2\,\mathrm d\varphi
=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}. B z = 4 π ( R 2 + z 2 ) 3/2 μ 0 I ∫ 0 2 π R 2 d φ = 2 ( R 2 + z 2 ) 3/2 μ 0 I R 2 . 这个推导同时给出方向与大小。若先靠“对称”断定全部分量都消失，会错误地把轴向分量也删掉；对称性只让相反源元的横向分量抵消。当
z ≫ R z\gg R z ≫ R z 3 z^3 z 3 1 / z 3 1/z^3 1/ z 3 1 / r 1/r 1/ r
外磁场对细载流线元的力为
d F = I d ℓ × B . \mathrm d\boldsymbol F
=I\,\mathrm d\boldsymbol\ell\times\boldsymbol B. d F = I d ℓ × B . 对两根相距 d d d
F L = μ 0 I 1 I 2 2 π d . \frac FL=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}. L F = 2 π d μ 0 I 1 I 2 . 同向电流相吸，反向电流相斥。判断方向时应分两步：先求导线一在导线二处产生的
B 1 \boldsymbol B_1 B 1 I 2 d ℓ 2 × B 1 I_2\mathrm d\boldsymbol\ell_2\times\boldsymbol B_1 I 2 d ℓ 2 × B 1
例 4：平行电流之间的力
两根平行长导线相距
d = 0.0200 m d=0.0200\,\mathrm m d = 0.0200 m I 1 = 5.00 A I_1=5.00\,\mathrm A I 1 = 5.00 A I 2 = 3.00 A I_2=3.00\,\mathrm A I 2 = 3.00 A
F L = ( 4 π × 10 − 7 ) ( 5.00 ) ( 3.00 ) 2 π ( 0.0200 ) = 1.50 × 10 − 4 N m − 1 . \frac FL
=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5.00)(3.00)}
{2\pi(0.0200)}
=1.50\times10^{-4}\,\mathrm{N\,m^{-1}}. L F = 2 π ( 0.0200 ) ( 4 π × 1 0 − 7 ) ( 5.00 ) ( 3.00 ) = 1.50 × 1 0 − 4 N m − 1 . 对长度 L = 0.500 m L=0.500\,\mathrm m L = 0.500 m 7.50 × 10 − 5 N 7.50\times10^{-5}\,\mathrm N 7.50 × 1 0 − 5 N
磁偶极矩、力矩与势能
N N N A A A I I I
m = N I A n ^ , \boldsymbol m=NIA\,\hat{\boldsymbol n}, m = N I A n ^ , 单位为 A m 2 \mathrm{A\,m^2} A m 2
τ = m × B , U = − m ⋅ B . \boldsymbol\tau=\boldsymbol m\times\boldsymbol B,
\qquad
U=-\boldsymbol m\cdot\boldsymbol B. τ = m × B , U = − m ⋅ B . 力矩倾向让 m \boldsymbol m m B \boldsymbol B B τ \boldsymbol\tau τ
例如 N = 100 N=100 N = 100 I = 0.200 A I=0.200\,\mathrm A I = 0.200 A A = 4.00 × 10 − 3 m 2 A=4.00\times10^{-3}\,\mathrm{m^2} A = 4.00 × 1 0 − 3 m 2 m = 0.0800 A m 2 m=0.0800\,\mathrm{A\,m^2} m = 0.0800 A m 2 B = 0.300 T B=0.300\,\mathrm T B = 0.300 T 30.0 ∘ 30.0^\circ 30. 0 ∘ τ = 0.0120 N m \tau=0.0120\,\mathrm{N\,m} τ = 0.0120 N m U = − 0.0208 J U=-0.0208\,\mathrm J U = − 0.0208 J m × B \boldsymbol m\times\boldsymbol B m × B
磁矢势与磁通
因为磁场无孤立源，满足
∇ ⋅ B = 0 , \boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol B=0, ∇ ⋅ B = 0 , 可以局部引入磁矢势
B = ∇ × A . \boldsymbol B=\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol A. B = ∇ × A . A \boldsymbol A A T m = W b m − 1 \mathrm{T\,m}=\mathrm{Wb\,m^{-1}} T m = Wb m − 1
Φ B = ∫ S B ⋅ n ^ d A = ∮ ∂ S A ⋅ d ℓ , \Phi_B=\int_S\boldsymbol B\cdot\hat{\boldsymbol n}\,\mathrm dA
=\oint_{\partial S}\boldsymbol A\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell, Φ B = ∫ S B ⋅ n ^ d A = ∮ ∂ S A ⋅ d ℓ , 磁通单位为韦伯
W b = T m 2 \mathrm{Wb}=\mathrm{T\,m^2} Wb = T m 2 n ^ \hat{\boldsymbol n} n ^
矢势不唯一：
A ′ = A + ∇ χ \boldsymbol A'=\boldsymbol A+\boldsymbol\nabla\chi A ′ = A + ∇ χ B \boldsymbol B B ∇ ⋅ A = 0 \boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol A=0 ∇ ⋅ A = 0
A ( r ) = μ 0 4 π ∫ J ( r ′ ) ∣ r − r ′ ∣ d 3 r ′ . \boldsymbol A(\boldsymbol r)
=\frac{\mu_0}{4\pi}\int
\frac{\boldsymbol J(\boldsymbol r')}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|}
\,\mathrm d^3r'. A ( r ) = 4 π μ 0 ∫ ∣ r − r ′ ∣ J ( r ′ ) d 3 r ′ . 它与静电势积分形式相似，但源是矢量电流密度，最后还要取旋度得到磁场。
局部方程与电流薄层边界
稳恒真空场的两条局部方程是
∇ ⋅ B = 0 , ∇ × B = μ 0 J . \boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol B=0,
\qquad
\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol J. ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × B = μ 0 J . 第二式经 Stokes 定理在定向曲面上积分，就得到 Ampère 环路定律；第一式经 Gauss 定理说明任意闭合曲面的净磁通为零。它并不要求闭合曲面上每一点的磁场为零，而是所有带符号法向分量积分相消。
若一张理想电流薄层的面电流密度为
K \boldsymbol K K A m − 1 \mathrm{A\,m^{-1}} A m − 1 n ^ \hat{\boldsymbol n} n ^
n ^ × ( B 2 − B 1 ) = μ 0 K . \hat{\boldsymbol n}\times
(\boldsymbol B_2-\boldsymbol B_1)
=\mu_0\boldsymbol K. n ^ × ( B 2 − B 1 ) = μ 0 K . 同时
n ^ ⋅ ( B 2 − B 1 ) = 0 \hat{\boldsymbol n}\cdot(\boldsymbol B_2-\boldsymbol B_1)=0 n ^ ⋅ ( B 2 − B 1 ) = 0 n ^ \hat{\boldsymbol n} n ^ J \boldsymbol J J
这些局部式仍是假定场和源不随时间变化。若电场通量随时间改变，只写
∇ × B = μ 0 J \boldsymbol\nabla\times\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol J ∇ × B = μ 0 J
单位、方向与极限的三重核验
磁场计算最常见的错误不是积分本身，而是源点、场点和方向混在一起。可按固定顺序审计：先在图上标出约定电流；再从每个源点画
R = r − r ′ \boldsymbol R=\boldsymbol r-\boldsymbol r' R = r − r ′ d ℓ ′ × R ^ \mathrm d\boldsymbol\ell'\times\hat{\boldsymbol R} d ℓ ′ × R ^
数值结果至少接受三个极限检查。把 I I I z = 0 z=0 z = 0 μ 0 I / ( 2 R ) \mu_0I/(2R) μ 0 I / ( 2 R ) μ 0 I d ℓ / R 2 \mu_0I\,\mathrm d\ell/R^2 μ 0 I d ℓ / R 2 I d ℓ B I\,\mathrm d\ell\,B I d ℓ B
方向还可用相互作用复核：同向平行电流应相吸；磁矩在均匀场中的力矩应降低
U = − m ⋅ B U=-\boldsymbol m\cdot\boldsymbol B U = − m ⋅ B
常见误区与边界
常见误区
“磁场线是带电粒子的轨迹。”粒子切向速度与磁场平行时磁力为零；垂直时轨迹绕磁场线弯曲。场线只表示
B \boldsymbol B B
常见误区
“Ampère 定律总能直接写成 B L = μ 0 I BL=\mu_0I B L = μ 0 I B B B
常见误区
“磁矢势是唯一的物理速度。”A \boldsymbol A A m s − 1 \mathrm{m\,s^{-1}} m s − 1 B \boldsymbol B B
环路包围零净电流不推出每点磁场为零
一条 Ampère 回路可能同时穿过大小相等、方向相反的两股电流，所以
I e n c = 0 I_{\rm enc}=0 I enc = 0 ∮ B ⋅ d ℓ = 0 \oint\boldsymbol B\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell=0 ∮ B ⋅ d ℓ = 0
数据探索：检验直导线的反距离律
设长直导线电流固定为
I = 2.00 A I=2.00\,\mathrm A I = 2.00 A r = 0.0100 , 0.0200 , 0.0400 , 0.0800 m r=0.0100,0.0200,0.0400,0.0800\,\mathrm m r = 0.0100 , 0.0200 , 0.0400 , 0.0800 m B = μ 0 I / ( 2 π r ) B=\mu_0I/(2\pi r) B = μ 0 I / ( 2 π r ) 40.0 , 20.0 , 10.0 , 5.00 μ T 40.0,20.0,10.0,5.00\,\mathrm{\mu T} 40.0 , 20.0 , 10.0 , 5.00 μ T log 10 ( B / T ) \log_{10}(B/\mathrm T) log 10 ( B / T ) log 10 ( r / m ) \log_{10}(r/\mathrm m) log 10 ( r / m ) − 1 -1 − 1
若使用磁强计实测，应先记录环境背景矢量，再在相同位置把电流反向；两次读数之差的一半可抑制近似恒定背景。每个点都要报告电流、距离、传感器轴向和不确定度。导线有限、位置未对准、附近铁磁物和传感器零偏都会破坏理想
1 / r 1/r 1/ r
练习
练习
所属知识 Lorentz 力
难度 2/5 电子以
2.00 × 10 6 m s − 1 2.00\times10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}} 2.00 × 1 0 6 m s − 1 + y +y + y 0.150 T 0.150\,\mathrm T 0.150 T + z +z + z − 1.60 × 10 − 19 C -1.60\times10^{-19}\,\mathrm C − 1.60 × 1 0 − 19 C
查看提示 先用右手定则求
v × B v\times B v × B ，再乘带符号电荷；磁力大小含
sin θ \sin\theta sin θ 。
查看解答 y ^ × z ^ = x ^ \hat{\boldsymbol y}\times\hat{\boldsymbol z}
=\hat{\boldsymbol x} y ^ × z ^ = x ^ + x +x + x − x -x − x ∣ q ∣ v B = ( 1.60 × 10 − 19 ) ( 2.00 × 10 6 ) ( 0.150 ) = 4.80 × 10 − 14 N |q|vB=(1.60\times10^{-19})(2.00\times10^6)(0.150)
=4.80\times10^{-14}\,\mathrm N ∣ q ∣ v B = ( 1.60 × 1 0 − 19 ) ( 2.00 × 1 0 6 ) ( 0.150 ) = 4.80 × 1 0 − 14 N F = − 4.80 × 10 − 14 x ^ N \boldsymbol F=-4.80\times10^{-14}\hat{\boldsymbol x}\,\mathrm N F = − 4.80 × 1 0 − 14 x ^ N
练习
所属知识 电流密度
难度 2/5 半径 R = 1.00 m m R=1.00\,\mathrm{mm} R = 1.00 mm J = 2.50 × 10 6 A m − 2 J=2.50\times10^6\,\mathrm{A\,m^{-2}} J = 2.50 × 1 0 6 A m − 2
查看提示 均匀且垂直截面时
I = J A I=JA I = J A ；圆面积是
π R 2 \pi R^{2} π R 2 。
查看解答 A = π ( 1.00 × 10 − 3 ) 2 = 3.14 × 10 − 6 m 2 A=\pi(1.00\times10^{-3})^2
=3.14\times10^{-6}\,\mathrm{m^2} A = π ( 1.00 × 1 0 − 3 ) 2 = 3.14 × 1 0 − 6 m 2 I = J A = 7.85 A I=JA=7.85\,\mathrm A I = J A = 7.85 A − 7.85 A -7.85\,\mathrm A − 7.85 A
练习
所属知识 直导线磁场
难度 3/5 电流 I = 6.00 A I=6.00\,\mathrm A I = 6.00 A − z -z − z x = + 0.0300 m x=+0.0300\,\mathrm m x = + 0.0300 m
查看提示 先算
μ 0 I / ( 2 π r ) \mu_{0}I/(2\pi r) μ 0 I / ( 2 π r ) ，再用电流方向和场点位置判定方位方向。
查看解答 B = ( 4 π × 10 − 7 ) ( 6.00 ) / ( 2 π × 0.0300 ) = 4.00 × 10 − 5 T B=(4\pi\times10^{-7})(6.00)/(2\pi\times0.0300)
=4.00\times10^{-5}\,\mathrm T B = ( 4 π × 1 0 − 7 ) ( 6.00 ) / ( 2 π × 0.0300 ) = 4.00 × 1 0 − 5 T + z +z + z + y +y + y B = − ( 4.00 × 10 − 5 T ) y ^ \boldsymbol B=-(4.00\times10^{-5}\,\mathrm T)\hat{\boldsymbol y} B = − ( 4.00 × 1 0 − 5 T ) y ^
练习
所属知识 圆电流轴线场
难度 3/5 半径 R = 0.100 m R=0.100\,\mathrm m R = 0.100 m I = 4.00 A I=4.00\,\mathrm A I = 4.00 A + z +z + z z = 0.100 m z=0.100\,\mathrm m z = 0.100 m
查看提示 使用
B = μ 0 I R 2 / [ 2 ( R 2 + z 2 ) ( 3 / 2 ) ] B=\mu_{0}IR^{2}/[2(R^{2}+z^{2})^(3/2)] B = μ 0 I R 2 / [ 2 ( R 2 + z 2 ) ( 3/2 )] ；方向由线圈电流的右手法向确定。
查看解答 B = ( 4 π × 10 − 7 ) ( 4.00 ) ( 0.100 ) 2 / { 2 [ ( 0.100 ) 2 + ( 0.100 ) 2 ] 3 / 2 } = 8.89 × 10 − 6 T B=(4\pi\times10^{-7})(4.00)(0.100)^2/
\{2[(0.100)^2+(0.100)^2]^{3/2}\}
=8.89\times10^{-6}\,\mathrm T B = ( 4 π × 1 0 − 7 ) ( 4.00 ) ( 0.100 ) 2 / { 2 [( 0.100 ) 2 + ( 0.100 ) 2 ] 3/2 } = 8.89 × 1 0 − 6 T + z +z + z + z +z + z
练习
所属知识 Ampère 定律
难度 3/5 理想长螺线管每米 900 m − 1 900\,\mathrm{m^{-1}} 900 m − 1 1.50 A 1.50\,\mathrm A 1.50 A
查看提示 理想长螺线管内部
B = μ 0 n I B=\mu_{0}nI B = μ 0 n I ；先由电流绕向确定轴向。
查看解答 B = μ 0 n I = ( 4 π × 10 − 7 ) ( 900 ) ( 1.50 ) = 1.70 × 10 − 3 T B=\mu_0nI=(4\pi\times10^{-7})(900)(1.50)
=1.70\times10^{-3}\,\mathrm T B = μ 0 n I = ( 4 π × 1 0 − 7 ) ( 900 ) ( 1.50 ) = 1.70 × 1 0 − 3 T
练习
所属知识 磁偶极力矩
难度 4/5 50 50 50 2.00 × 10 − 3 m 2 2.00\times10^{-3}\,\mathrm{m^2} 2.00 × 1 0 − 3 m 2 0.400 A 0.400\,\mathrm A 0.400 A 0.250 T 0.250\,\mathrm T 0.250 T 60.0 ∘ 60.0^\circ 60. 0 ∘
查看提示 先由 m=NIA 求磁矩，再分别用
τ = m B sin θ \tau=mB\sin \theta τ = m B sin θ 与
U = − m B cos θ U=-mB\cos \theta U = − m B cos θ 。
查看解答 m = N I A = 50 ( 0.400 ) ( 2.00 × 10 − 3 ) = 0.0400 A m 2 m=NIA=50(0.400)(2.00\times10^{-3})
=0.0400\,\mathrm{A\,m^2} m = N I A = 50 ( 0.400 ) ( 2.00 × 1 0 − 3 ) = 0.0400 A m 2 τ = m B sin 60 ∘ = 8.66 × 10 − 3 N m \tau=mB\sin60^\circ
=8.66\times10^{-3}\,\mathrm{N\,m} τ = m B sin 6 0 ∘ = 8.66 × 1 0 − 3 N m U = − m B cos 60 ∘ = − 5.00 × 10 − 3 J U=-mB\cos60^\circ=-5.00\times10^{-3}\,\mathrm J U = − m B cos 6 0 ∘ = − 5.00 × 1 0 − 3 J m × B \boldsymbol m\times\boldsymbol B m × B
关系、资源与后续学习
课程 · 2007 Physics II: Electricity and Magnetism 暂无可核实信息
用于核对 P04 的场与势定义、积分定律方向、边界条件、电路暂态、Maxwell 方程和波动例题。
作者未在已核验来源中明确提供，登记为“暂无可核实信息”；未作推测性补写。 打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.02《Physics II: Electricity and Magnetism》覆盖电流、Lorentz 力、Biot–Savart 定律、Ampère 定律、磁偶极与后续感应内容，可作为复习本章模型并衔接电磁感应的课程入口。
下一章进入 电磁感应、位移电流与电路响应 ，把固定磁通改为随时间变化的磁通，并保持同一套回路正向、法向和带符号积分约定。随后学习 Maxwell 方程与电磁波 ，理解为何时间变化的电场也必须成为磁场环量的来源。
课程 · 2016 MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves Yen-Jie Lee
连接波动方程的数学解、边界条件、驻波和物理观测。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare《Vibrations and Waves》支撑本章从稳恒磁场过渡到时变系统时使用的振荡语言：线性响应中的幅值、相位、固有频率和叠加将用于理解线圈—电容回路以及由时变场产生的传播解。该来源在本章只承担这一后续动力学接口；Biot–Savart 与 Ampère 定律的稳恒电流假设仍由电磁学推导和边界条件独立限定。