约定、单位与有限盒
本章采用 Minkowski 度规
η μ ν = diag ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) , \eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1), η μν = diag ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) , 并在推导中取自然单位 ℏ = c = 1 \hbar=c=1 ℏ = c = 1 E p = p 2 c 2 + m 2 c 4 E_{\boldsymbol p}=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} E p = p 2 c 2 + m 2 c 4 ( E t − p ⋅ x ) / ℏ (Et-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)/\hbar ( Et − p ⋅ x ) /ℏ c c c ℏ \hbar ℏ
为避免连续 delta 函数的形式发散，先把场放在体积 V = L x L y L z V=L_xL_yL_z V = L x L y L z
ϕ ( t , x + L i e i ) = ϕ ( t , x ) . \phi(t,\boldsymbol x+L_i\boldsymbol e_i)=\phi(t,\boldsymbol x). ϕ ( t , x + L i e i ) = ϕ ( t , x ) . 允许波矢 k i = 2 π n i / L i k_i=2\pi n_i/L_i k i = 2 π n i / L i p = ℏ k \boldsymbol p=\hbar\boldsymbol k p = ℏ k p \boldsymbol p p
1 V ∑ p l o n g r i g h t a r r o w ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 \frac1V\sum_{\boldsymbol p}longrightarrow
\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3} V 1 p ∑ l o n g r i g h t a rro w ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p 的连续极限。周期边界是体态计数工具，真实边界或曲面会改变模函数和零点能谱，不能在研究边界效应时继续忽略。
自由实标量场是无穷多个振子
实标量场 Lagrange 密度取
L = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − 1 2 m 2 ϕ 2 . \mathcal L=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi
-\frac12m^2\phi^2. L = 2 1 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − 2 1 m 2 ϕ 2 . 共轭动量为 π = ∂ L / ∂ ϕ ˙ = ϕ ˙ \pi=\partial\mathcal L/\partial\dot\phi=\dot\phi π = ∂ L / ∂ ϕ ˙ = ϕ ˙
H = 1 2 π 2 + 1 2 ( ∇ ϕ ) 2 + 1 2 m 2 ϕ 2 . \mathcal H=\frac12\pi^2+\frac12(\nabla\phi)^2+\frac12m^2\phi^2. H = 2 1 π 2 + 2 1 ( ∇ ϕ ) 2 + 2 1 m 2 ϕ 2 . 场方程 ( □ + m 2 ) ϕ = 0 (\Box+m^2)\phi=0 ( □ + m 2 ) ϕ = 0
E p = p 2 + m 2 . E_{\boldsymbol p}=\sqrt{\boldsymbol p^2+m^2}. E p = p 2 + m 2 . 由于实场满足 Fourier 系数的共轭条件，正频和负频部分不是两套独立自由度。量子化后的连续模展开选为
ϕ ( x ) = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 1 2 E p [ a ( p ) e − i p ⋅ x + a † ( p ) e i p ⋅ x ] , \phi(x)=\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3}
\frac1{\sqrt{2E_{\boldsymbol p}}}
\left[a(\boldsymbol p)e^{-ip\cdot x}
+a^\dagger(\boldsymbol p)e^{ip\cdot x}\right], ϕ ( x ) = ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p 2 E p 1 [ a ( p ) e − i p ⋅ x + a † ( p ) e i p ⋅ x ] , 其中 p 0 = E p > 0 p^0=E_{\boldsymbol p}>0 p 0 = E p > 0 p ⋅ x = E t − p ⋅ x p\cdot x=Et-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x p ⋅ x = Et − p ⋅ x 1 / 2 E 1/\sqrt{2E} 1/ 2 E
例 1：有限盒中一个标量模的频率与能量阶梯
一维周期长度 L L L k n = 2 π n / L k_n=2\pi n/L k n = 2 πn / L c c c ℏ \hbar ℏ m m m n n n
E n = ( ℏ c k n ) 2 + m 2 c 4 . E_n=\sqrt{(\hbar ck_n)^2+m^2c^4}. E n = ( ℏ c k n ) 2 + m 2 c 4 . 该模等价于角频率 ω n = E n / ℏ \omega_n=E_n/\hbar ω n = E n /ℏ r = 0 , 1 , 2 , … r=0,1,2,\ldots r = 0 , 1 , 2 , …
E n , r = ( r + 1 2 ) E n . \mathcal E_{n,r}=\left(r+\frac12\right)E_n. E n , r = ( r + 2 1 ) E n . n n n r r r n n n r r r
等时对易关系固定模算符代数
把经典场提升为算符值分布，并在同一时刻施加
[ ϕ ( t , x ) , π ( t , y ) ] = i δ ( 3 ) ( x − y ) , [\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol y)]
=i\delta^{(3)}(\boldsymbol x-\boldsymbol y), [ ϕ ( t , x ) , π ( t , y )] = i δ ( 3 ) ( x − y ) , [ ϕ ( t , x ) , ϕ ( t , y ) ] = 0 , [ π ( t , x ) , π ( t , y ) ] = 0. [\phi(t,\boldsymbol x),\phi(t,\boldsymbol y)]=0,
\qquad
[\pi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol y)]=0. [ ϕ ( t , x ) , ϕ ( t , y )] = 0 , [ π ( t , x ) , π ( t , y )] = 0. 代入模展开得到
[ a ( p ) , a † ( q ) ] = ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( p − q ) , [a(\boldsymbol p),a^\dagger(\boldsymbol q)]
=(2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol p-\boldsymbol q), [ a ( p ) , a † ( q )] = ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( p − q ) , 其余同类对易为零。这里 delta 函数单位为动量的负三次方，正好补偿连续模算符的归一维度。有限盒中对应 [ a p , a q † ] = δ p q [a_{\boldsymbol p},a^\dagger_{\boldsymbol q}]=\delta_{\boldsymbol p\boldsymbol q} [ a p , a q † ] = δ p q
对空间分离的两点，局域相对论理论要求场可观测量相容，标量场对易子在类空间隔处为零。正频部分单独并不满足这一点；正、负频贡献共同恢复微观因果性。因此不能只保留“粒子波”一半模而仍声称得到完整局域实场。
例 2：模归一如何再现等时 delta 函数
对模展开求时间导数得到 π = ϕ ˙ \pi=\dot\phi π = ϕ ˙ [ a , a † ] [a,a^\dagger] [ a , a † ] t t t
[ ϕ ( t , x ) , π ( t , y ) ] = i 2 ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 [ e i p ⋅ ( x − y ) + e − i p ⋅ ( x − y ) ] . [\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol y)]
=\frac i2\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3}
\left[e^{i\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol y)}
+e^{-i\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol y)}\right]. [ ϕ ( t , x ) , π ( t , y )] = 2 i ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p [ e i p ⋅ ( x − y ) + e − i p ⋅ ( x − y ) ] . 两个积分经 p → − p \boldsymbol p\to-\boldsymbol p p → − p
i ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 e i p ⋅ ( x − y ) = i δ ( 3 ) ( x − y ) . i\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3}
e^{i\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol y)}
=i\delta^{(3)}(\boldsymbol x-\boldsymbol y). i ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p e i p ⋅ ( x − y ) = i δ ( 3 ) ( x − y ) . 若模展开漏掉 1 / 2 E 1/\sqrt{2E} 1/ 2 E
真空与玻色 Fock 空间
真空定义为
a ( p ) ∣ 0 ⟩ = 0 a(\boldsymbol p)|0\rangle=0 a ( p ) ∣0 ⟩ = 0 对所有动量成立。有限盒中单模数算符 N p = a p † a p N_{\boldsymbol p}=a^\dagger_{\boldsymbol p}a_{\boldsymbol p} N p = a p † a p
∣ n p ⟩ = ( a p † ) n n ! ∣ 0 ⟩ . |n_{\boldsymbol p}\rangle
=\frac{(a^\dagger_{\boldsymbol p})^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle. ∣ n p ⟩ = n ! ( a p † ) n ∣0 ⟩ . 梯算符作用为
a † ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩ , a ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ . a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle,
\qquad
a|n\rangle=\sqrt n|n-1\rangle. a † ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩ , a ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ . 全 Fock 空间是所有动量模占据数组的直和，允许粒子总数改变。相同标量粒子的多粒子波函数自动对称；这不是另加的统计假设，而是产生算符彼此对易的结果。
连续归一下 ∣ p ⟩ = a † ( p ) ∣ 0 ⟩ |\boldsymbol p\rangle=a^\dagger(\boldsymbol p)|0\rangle ∣ p ⟩ = a † ( p ) ∣0 ⟩
⟨ q ∣ p ⟩ = ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( p − q ) . \langle\boldsymbol q|\boldsymbol p\rangle
=(2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol p-\boldsymbol q). ⟨ q ∣ p ⟩ = ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( p − q ) . 散射理论也常用协变归一 ⟨ q ∣ p ⟩ = ( 2 π ) 3 2 E p δ ( 3 ) ( p − q ) \langle q|p\rangle=(2\pi)^32E_{\boldsymbol p}\delta^{(3)}(\boldsymbol p-\boldsymbol q) ⟨ q ∣ p ⟩ = ( 2 π ) 3 2 E p δ ( 3 ) ( p − q )
例 3：两模玻色 Fock 态的能量和占据
有限盒中取两个不同模 p \boldsymbol p p q \boldsymbol q q
∣ 2 p , 1 q ⟩ = ( a p † ) 2 2 ! a q † ∣ 0 ⟩ . |2_{\boldsymbol p},1_{\boldsymbol q}\rangle
=\frac{(a^\dagger_{\boldsymbol p})^2}{\sqrt{2!}}
a^\dagger_{\boldsymbol q}|0\rangle. ∣ 2 p , 1 q ⟩ = 2 ! ( a p † ) 2 a q † ∣0 ⟩ . 数算符给 N p = 2 N_{\boldsymbol p}=2 N p = 2 N q = 1 N_{\boldsymbol q}=1 N q = 1
E = 2 E p + E q , E=2E_{\boldsymbol p}+E_{\boldsymbol q}, E = 2 E p + E q , 总动量为 2 p + q 2\boldsymbol p+\boldsymbol q 2 p + q p \boldsymbol p p 1 / 2 ! 1/\sqrt{2!} 1/ 2 !
复标量场、反粒子与守恒荷
实标量场等于自身共轭，一个产生算符族已经包含全部粒子。带全局 U ( 1 ) U(1) U ( 1 )
ϕ ( x ) = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 2 E p [ a ( p ) e − i p x + b † ( p ) e i p x ] , \phi(x)=\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3\sqrt{2E_{\boldsymbol p}}}
\left[a(\boldsymbol p)e^{-ipx}+b^\dagger(\boldsymbol p)e^{ipx}\right], ϕ ( x ) = ∫ ( 2 π ) 3 2 E p d 3 p [ a ( p ) e − i p x + b † ( p ) e i p x ] , a † a^\dagger a † b † b^\dagger b †
Q = q ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 [ a † a − b † b ] . Q=q\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3}
\left[a^\dagger a-b^\dagger b\right]. Q = q ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p [ a † a − b † b ] . 粒子和反粒子质量相同、荷相反。正负频模式都需要保留，但“负频”不等于探测器测得负能量；Hamiltonian 中两类占据都贡献正的 E p E_{\boldsymbol p} E p U ( 1 ) U(1) U ( 1 )
荷算符与场的对易生成相位变换，说明内部对称性和粒子量子数由同一算符代数联系。若相互作用保持该 U ( 1 ) U(1) U ( 1 )
场的量纲与经典波极限
自然单位中作用量 S = ∫ d 4 x L S=\int\mathrm d^4x\,\mathcal L S = ∫ d 4 x L 3 / 2 3/2 3/2 ℏ , c \hbar,c ℏ , c
玻色场的经典波行为可由相干态描述。单模相干态满足
a ∣ α ⟩ = α ∣ α ⟩ , a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle, a ∣ α ⟩ = α ∣ α ⟩ , 其平均占据 ⟨ N ⟩ = ∣ α ∣ 2 \langle N\rangle=|\alpha|^2 ⟨ N ⟩ = ∣ α ∣ 2 1 / ⟨ N ⟩ 1/\sqrt{\langle N\rangle} 1/ ⟨ N ⟩
费米模因占据最多一，不能以同样单模大占据构造经典 c 数场。费米路径积分使用 Grassmann 变量只是计算表示，不表示实验中的 Dirac 场取普通反交换数值。
Hamiltonian、零点能与正规序
把模展开代入 Hamiltonian，有限盒形式为
H = ∑ p E p ( a p † a p + 1 2 ) . H=\sum_{\boldsymbol p}E_{\boldsymbol p}
\left(a^\dagger_{\boldsymbol p}a_{\boldsymbol p}+\frac12\right). H = p ∑ E p ( a p † a p + 2 1 ) . 真空能 E 0 = 1 2 ∑ p E p E_0=\frac12\sum_{\boldsymbol p}E_{\boldsymbol p} E 0 = 2 1 ∑ p E p
: H : = ∑ p E p a p † a p , :H:=\sum_{\boldsymbol p}E_{\boldsymbol p}a^\dagger_{\boldsymbol p}a_{\boldsymbol p}, : H := p ∑ E p a p † a p , 相当于在平直时空自由理论中选择真空能零点。没有引力且只比较能量差时，常数平移不影响动力学。边界改变造成的真空能差、弯曲时空应力能张量以及引力对绝对能量密度的响应不能靠一句“正规序为零”普遍解决，需要一致正则化、重整化和物理参考态。
正规序也不是把所有量子修正删除。相互作用理论的真空泡、质量修正和复合算符仍会出现发散；后续需要按可观测量定义重整化条件。
任何实际正则化都要附加尺度：动量截断 Λ \Lambda Λ
Dirac 场为何使用反对易关系
自由 Dirac 场含粒子和反粒子模：
ψ ( x ) = ∑ s ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 1 2 E p [ b s ( p ) u s ( p ) e − i p ⋅ x + d s † ( p ) v s ( p ) e i p ⋅ x ] . \psi(x)=\sum_s\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3}
\frac1{\sqrt{2E_{\boldsymbol p}}}
\left[b_s(\boldsymbol p)u_s(\boldsymbol p)e^{-ip\cdot x}
+d_s^\dagger(\boldsymbol p)v_s(\boldsymbol p)e^{ip\cdot x}\right]. ψ ( x ) = s ∑ ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p 2 E p 1 [ b s ( p ) u s ( p ) e − i p ⋅ x + d s † ( p ) v s ( p ) e i p ⋅ x ] . b d a g g e r b^dagger b d a gg er d d a g g e r d^dagger d d a gg er s s s
{ ψ α ( t , x ) , ψ β † ( t , y ) } = δ α β δ ( 3 ) ( x − y ) , \{\psi_\alpha(t,\boldsymbol x),
\psi_\beta^\dagger(t,\boldsymbol y)\}
=\delta_{\alpha\beta}\delta^{(3)}(\boldsymbol x-\boldsymbol y), { ψ α ( t , x ) , ψ β † ( t , y )} = δ α β δ ( 3 ) ( x − y ) , 从而
{ b s ( p ) , b s ′ † ( q ) } = ( 2 π ) 3 δ s s ′ δ ( 3 ) ( p − q ) , \{b_s(\boldsymbol p),b_{s'}^\dagger(\boldsymbol q)\}
=(2\pi)^3\delta_{ss'}\delta^{(3)}(\boldsymbol p-\boldsymbol q), { b s ( p ) , b s ′ † ( q )} = ( 2 π ) 3 δ s s ′ δ ( 3 ) ( p − q ) , d d d ( b d a g g e r ) 2 = 0 (b^dagger)^2=0 ( b d a gg er ) 2 = 0
费米算符换序会产生负号。多费米子态必须固定算符排序约定；交换两个外部费米子会改变振幅符号。概率仍由完整振幅绝对值平方得到，符号通过不同过程的干涉产生可观测影响。
例 4：一个费米模只有空与占据两态
设单模满足 { b , b † } = 1 \{b,b^\dagger\}=1 { b , b † } = 1 b ∣ 0 ⟩ = 0 b|0\rangle=0 b ∣0 ⟩ = 0 ∣ 1 ⟩ = b † ∣ 0 ⟩ |1\rangle=b^\dagger|0\rangle ∣1 ⟩ = b † ∣0 ⟩
( b † ) 2 = 1 2 { b † , b † } = 0. (b^\dagger)^2
=\frac12\{b^\dagger,b^\dagger\}=0. ( b † ) 2 = 2 1 { b † , b † } = 0. 数算符 N = b † b N=b^\dagger b N = b † b N ∣ 0 ⟩ = 0 N|0\rangle=0 N ∣0 ⟩ = 0 N ∣ 1 ⟩ = ∣ 1 ⟩ N|1\rangle=|1\rangle N ∣1 ⟩ = ∣1 ⟩ d d d
时间有序二点函数与自由传播子
实标量 Feynman 传播子定义为
D F ( x − y ) = ⟨ 0 ∣ T { ϕ ( x ) ϕ ( y ) } ∣ 0 ⟩ . D_F(x-y)=\langle0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rangle. D F ( x − y ) = ⟨ 0∣ T { ϕ ( x ) ϕ ( y )} ∣0 ⟩ . 按本章约定，它的动量表示为
D F ( x − y ) = ∫ d 4 p ( 2 π ) 4 i e − i p ⋅ ( x − y ) p 2 − m 2 + i ϵ . D_F(x-y)=\int\frac{\mathrm d^4p}{(2\pi)^4}
\frac{i\,e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon}. D F ( x − y ) = ∫ ( 2 π ) 4 d 4 p p 2 − m 2 + i ϵ i e − i p ⋅ ( x − y ) . i ϵ i\epsilon i ϵ
( □ x + m 2 ) D F ( x − y ) = − i δ ( 4 ) ( x − y ) . (\Box_x+m^2)D_F(x-y)=-i\delta^{(4)}(x-y). ( □ x + m 2 ) D F ( x − y ) = − i δ ( 4 ) ( x − y ) . 传播子是自由场算符二点相关和线性算符的 Green 函数，不是一个可直接测量的经典粒子概率。其极点 p 2 = m 2 p^2=m^2 p 2 = m 2
Dirac 传播子为
S F ( x − y ) = ∫ d 4 p ( 2 π ) 4 i ( ̸ p + m ) e − i p ⋅ ( x − y ) p 2 − m 2 + i ϵ , S_F(x-y)=\int\frac{\mathrm d^4p}{(2\pi)^4}
\frac{i(\not\!p+m)e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon}, S F ( x − y ) = ∫ ( 2 π ) 4 d 4 p p 2 − m 2 + i ϵ i ( p + m ) e − i p ⋅ ( x − y ) , 并满足相应一阶 Dirac Green 方程。分子 ̸ p + m \not\!p+m p + m
例 5：传播子作用一次场算符得到点源
对标量动量积分作用 ( □ x + m 2 ) (\Box_x+m^2) ( □ x + m 2 )
□ x e − i p ⋅ ( x − y ) = − p 2 e − i p ⋅ ( x − y ) , \Box_x e^{-ip\cdot(x-y)}=-p^2e^{-ip\cdot(x-y)}, □ x e − i p ⋅ ( x − y ) = − p 2 e − i p ⋅ ( x − y ) , 积分核被乘以 m 2 − p 2 m^2-p^2 m 2 − p 2 i ϵ i\epsilon i ϵ
− i ∫ d 4 p ( 2 π ) 4 e − i p ⋅ ( x − y ) = − i δ ( 4 ) ( x − y ) . -i\int\frac{\mathrm d^4p}{(2\pi)^4}e^{-ip\cdot(x-y)}
=-i\delta^{(4)}(x-y). − i ∫ ( 2 π ) 4 d 4 p e − i p ⋅ ( x − y ) = − i δ ( 4 ) ( x − y ) . 等式说明传播子反演的是带 Feynman 边界条件的 Klein–Gordon 算符。若采用把传播子定义多乘或少乘 i i i
粒子解释的边界
自由、平直且具有全局时间平移对称的时空允许按正频率唯一选择真空，并把 a † a^\dagger a †
时变背景或一般弯曲时空中，正负频率分解可能依赖观察者和所选时间，两个自然真空可由 Bogoliubov 变换联系并给出不同粒子数。规范场还含冗余分量，物理 Hilbert 空间必须施加约束或处理规范固定与幽灵；不能把四个势分量都当独立可观测粒子偏振。
场本身比粒子概念更基础：局域相关函数、守恒荷和散射可观测量在粒子解释模糊时仍可定义。粒子数算符也通常不是相互作用相对论场论中的局域守恒量。
量子化就是把经典场值改成离散数
量子化提升的是场及共轭动量的算符代数；场幅本征值可连续，离散的是给定自由模的占据数。
正规序证明真空没有任何物理效应
正规序选择了特定自由真空的能量零点，边界差、引力耦合和相互作用重整化仍需单独处理。
传播子表示粒子以某概率沿一条经典路径传播
传播子是时间有序二点函数和 Green 函数；内部动量可离壳，最终概率来自完整振幅及相空间。
练习
练习 1：有限盒归一
所属知识 模计数
难度 2/5 查看提示 周期边界给
k i = 2 π n i / L i k_i=2\pi n_i/L_i k i = 2 π n i / L i ，连续极限每态占
( 2 π ) 3 / V (2\pi)^{3}/V ( 2 π ) 3 / V 。
查看解答 允许动量格点间隔由盒长决定，
( 1 / V ) Σ p (1/V)\Sigma_p ( 1/ V ) Σ p 在大盒极限变为
∫ d 3 p / ( 2 π ) 3 \int d^{3}p/(2\pi)^{3} ∫ d 3 p / ( 2 π ) 3 ；边界改变时有限尺寸谱会变。
练习 2：玻色梯算符
所属知识 Fock 空间
难度 3/5 查看提示 反复使用
[ a , a † ] = 1 [a,a^{\dagger}]=1 [ a , a † ] = 1 把 a 移过
( a † ) n (a^{\dagger})^n ( a † ) n 。
查看解答 a ( a † ) n ∣ 0 ⟩ = n ( a † ) n − 1 ∣ 0 ⟩ a(a^{\dagger})^n|0\rangle=n(a^{\dagger})^{n-1}|0\rangle a ( a † ) n ∣0 ⟩ = n ( a † ) n − 1 ∣0 ⟩ ，结合
1 / n ! 1/\sqrt{n!} 1/ n ! 归一得
a ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle a ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ ，产生算符同理给
n + 1 \sqrt{n+1} n + 1 。
练习 3：真空能
所属知识 正规序
难度 3/5 查看提示 每个自由玻色模贡献
E p / 2 E_p/2 E p /2 ，再讨论能量差与引力。
查看解答 E 0 = ( 1 / 2 ) Σ p E p E_{0}=(1/2)\Sigma_p E_p E 0 = ( 1/2 ) Σ p E p 在连续极限发散；平直自由理论中正规序减去该常数，但边界真空能差和引力源不能据此自动置零。
练习 4：费米占据
所属知识 反对易
难度 2/5 查看提示 由
b † , b † = 0 {b^{\dagger},b^{\dagger}}=0 b † , b † = 0 得
( b † ) 2 = 0 (b^{\dagger})^{2}=0 ( b † ) 2 = 0 。
查看解答 同一模连续产生两次为零，数算符本征值只有零和一；反粒子是独立 d 模，也各自满足 Pauli 限制。
练习 5：传播子方程
所属知识 Green 函数
难度 3/5 查看提示 让 □
+ m 2 +m^{2} + m 2 作用在指数并与分母
p 2 − m 2 p^{2}-m^{2} p 2 − m 2 比较。
查看解答 按本章定义得到 (□
+ m 2 ) D F = − i δ 4 +m^{2})D_F=-i\delta^{4} + m 2 ) D F = − i δ 4 ；若传播子定义改变整体 i，点源方程也要同步改变。
练习 6：粒子概念何时可靠
所属知识 适用边界
难度 4/5 查看提示 检查时间平移、渐近自由态、稳定极点和规范约束。
查看解答 平直静态背景的自由稳定场最清楚；强相互作用、时变背景、弯曲时空、不稳定共振和规范冗余都要求用相关函数或物理子空间细化。
关系与资源
课程 · 2023 Relativistic Quantum Field Theory I Hong Liu
用于核对 P12 的场作用量、相对论场方程、自由场量子化、相互作用展开、散射规则和规范不变性。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.323 覆盖自由标量与 Dirac 场、正则量子化、传播子和微扰理论，可用于核对本章度规、模归一和 i ϵ i\epsilon i ϵ i i i
课程 · 2020 Introduction to Nuclear and Particle Physics Markus Klute
用于核对 P12 标准模型概述、散射可观测量、量子数与守恒律，并保持理论陈述与实验建立范围一致。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.701《Introduction to Nuclear and Particle Physics》支撑本章对量子场激发的可观测解释：粒子种类由质量、自旋和内部量子数标记，产生湮灭算符建立的渐近态最终通过散射截面、衰变率和探测器能量—动量沉积接受检验。该来源具体连接 Fock 空间标签与实验粒子内容，同时限定内部虚线或短寿命共振不能与稳定、可直接探测的自由粒子混为一谈。