本章路线
运动学只回答物体怎样运动，不先追问是什么力造成这种运动。看似简单的“汽车以 20 m s − 1 20\,\mathrm{m\,s^{-1}} 20 m s − 1
除非另行说明，本章使用地面惯性参考系；二维坐标取水平向右为 + x +x + x + y +y + y g = ( 0 , − 9.81 ) m s − 2 \boldsymbol g=(0,-9.81)\,\mathrm{m\,s^{-2}} g = ( 0 , − 9.81 ) m s − 2
参考系、质点模型与坐标表示
参考系与事件坐标
一个参考系包含用于标记空间位置的参考物、坐标系和时钟。一个事件在该系中由时间 t t t r ( t ) \boldsymbol r(t) r ( t )
质点模型把物体的尺寸、形状和转动暂时忽略，只保留质量集中位置。研究一列长 200 m 200\,\mathrm m 200 m
在直角坐标系中，二维位置写成
r ( t ) = x ( t ) e x + y ( t ) e y , \boldsymbol r(t)=x(t)\,\boldsymbol e_x+y(t)\,\boldsymbol e_y, r ( t ) = x ( t ) e x + y ( t ) e y , 其中 e x , e y \boldsymbol e_x,\boldsymbol e_y e x , e y x , y x,y x , y
位置、位移与路程不是同一个量
位置、位移与路程
质点在时刻 t t t r ( t ) \boldsymbol r(t) r ( t ) t 1 t_1 t 1 t 2 t_2 t 2
Δ r = r ( t 2 ) − r ( t 1 ) , \Delta\boldsymbol r=\boldsymbol r(t_2)-\boldsymbol r(t_1), Δ r = r ( t 2 ) − r ( t 1 ) , 它只依赖起点和终点，是单位为米的矢量。路程 s s s s ≥ ∥ Δ r ∥ s\ge\lVert\Delta\boldsymbol r\rVert s ≥ ∥ Δ r ∥
若跑者沿 400 m 400\,\mathrm m 400 m 400 m 400\,\mathrm m 400 m x = − 3 m x=-3\,\mathrm m x = − 3 m
连续可微轨迹的路程可由速度大小积分得到：
s = ∫ t 1 t 2 ∥ v ( t ) ∥ d t . s=\int_{t_1}^{t_2}\lVert\boldsymbol v(t)\rVert\,\mathrm dt. s = ∫ t 1 t 2 ∥ v ( t )∥ d t . 这里积分的是速率而不是速度矢量。速度矢量积分给位移；先取大小再积分给路程。两种运算通常不可交换。
平均量、瞬时量与导数
速度、速率与加速度
时间区间 Δ t = t 2 − t 1 > 0 \Delta t=t_2-t_1>0 Δ t = t 2 − t 1 > 0
v ‾ = Δ r Δ t . \overline{\boldsymbol v}=\frac{\Delta\boldsymbol r}{\Delta t}. v = Δ t Δ r . 瞬时速度与加速度分别定义为
v ( t ) = d r d t , a ( t ) = d v d t = d 2 r d t 2 . \boldsymbol v(t)=\frac{\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm dt},
\qquad
\boldsymbol a(t)=\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt}
=\frac{\mathrm d^2\boldsymbol r}{\mathrm dt^2}. v ( t ) = d t d r , a ( t ) = d t d v = d t 2 d 2 r . 瞬时速率为 v = ∥ v ∥ v=\lVert\boldsymbol v\rVert v = ∥ v ∥
平均速率是路程除以时间，与平均速度的大小不同。往返运动可有正的平均速率和零平均速度。另一个常见误解是“加速度为负就一定减速”。在一维中，只有速度和加速度方向相反时速率才减小：若 v < 0 v<0 v < 0 a < 0 a<0 a < 0
位置—时间图的割线斜率给平均速度，切线斜率给瞬时速度；速度—时间图的切线斜率给加速度，而曲线与时间轴之间的有向面积给位移。若曲线落在时间轴下方，该段面积对位移贡献为负，但对路程仍应取绝对值后累加。
例 1：从位置函数读出方向、位移和转向
某小车沿直轨运动，以向东为 + x +x + x
x ( t ) = 2.0 m + ( 4.0 m s − 1 ) t − ( 1.0 m s − 2 ) t 2 , x(t)=2.0\,\mathrm m+(4.0\,\mathrm{m\,s^{-1}})t
-(1.0\,\mathrm{m\,s^{-2}})t^2, x ( t ) = 2.0 m + ( 4.0 m s − 1 ) t − ( 1.0 m s − 2 ) t 2 , 考察 0 ≤ t ≤ 5.0 s 0\le t\le5.0\,\mathrm s 0 ≤ t ≤ 5.0 s
v ( t ) = 4.0 m s − 1 − ( 2.0 m s − 2 ) t , a ( t ) = − 2.0 m s − 2 . v(t)=4.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}-(2.0\,\mathrm{m\,s^{-2}})t,
\qquad a(t)=-2.0\,\mathrm{m\,s^{-2}}. v ( t ) = 4.0 m s − 1 − ( 2.0 m s − 2 ) t , a ( t ) = − 2.0 m s − 2 . 在 t = 2.0 s t=2.0\,\mathrm s t = 2.0 s v = 0 v=0 v = 0 x ( 0 ) = 2.0 m x(0)=2.0\,\mathrm m x ( 0 ) = 2.0 m x ( 5.0 ) = − 3.0 m x(5.0)=-3.0\,\mathrm m x ( 5.0 ) = − 3.0 m − 5.0 m -5.0\,\mathrm m − 5.0 m − 1.0 m s − 1 -1.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} − 1.0 m s − 1 x ( 2.0 ) = 6.0 m x(2.0)=6.0\,\mathrm m x ( 2.0 ) = 6.0 m
∣ 6.0 − 2.0 ∣ m + ∣ − 3.0 − 6.0 ∣ m = 13.0 m . |6.0-2.0|\,\mathrm m+|-3.0-6.0|\,\mathrm m=13.0\,\mathrm m. ∣6.0 − 2.0∣ m + ∣ − 3.0 − 6.0∣ m = 13.0 m . 因此平均速率为 13.0 / 5.0 = 2.6 m s − 1 13.0/5.0=2.6\,\mathrm{m\,s^{-1}} 13.0/5.0 = 2.6 m s − 1 2.0 s 2.0\,\mathrm s 2.0 s
从加速度积分回到速度与位置
微分给局部变化率，积分则把变化率在时间上累积。给定初始时刻 t 0 t_0 t 0 r 0 \boldsymbol r_0 r 0 v 0 \boldsymbol v_0 v 0
v ( t ) = v 0 + ∫ t 0 t a ( τ ) d τ , \boldsymbol v(t)=\boldsymbol v_0+
\int_{t_0}^{t}\boldsymbol a(\tau)\,\mathrm d\tau, v ( t ) = v 0 + ∫ t 0 t a ( τ ) d τ , r ( t ) = r 0 + ∫ t 0 t v ( τ ) d τ . \boldsymbol r(t)=\boldsymbol r_0+
\int_{t_0}^{t}\boldsymbol v(\tau)\,\mathrm d\tau. r ( t ) = r 0 + ∫ t 0 t v ( τ ) d τ . 积分常数正是初始条件；只知道加速度并不能唯一确定轨迹。单位也提供快速检查：a d t \boldsymbol a\,\mathrm dt a d t m s − 1 \mathrm{m\,s^{-1}} m s − 1 v d t \boldsymbol v\,\mathrm dt v d t
若一维加速度在考察区间恒为 a a a t 0 = 0 t_0=0 t 0 = 0
v = v 0 + a t , x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 . v=v_0+at,
\qquad
x=x_0+v_0t+\frac12at^2. v = v 0 + a t , x = x 0 + v 0 t + 2 1 a t 2 . 消去时间还得到
v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) . v^2=v_0^2+2a(x-x_0). v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) . 这些不是任意运动的定义，而是恒加速度模型的推论。若 a a a
例 2：制动距离与反应距离必须分开
汽车相对水平道路以 v 0 = 25.0 m s − 1 v_0=25.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} v 0 = 25.0 m s − 1 0.80 s 0.80\,\mathrm s 0.80 s a = − 6.0 m s − 2 a=-6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}} a = − 6.0 m s − 2
反应距离为
Δ x r = v 0 t r = ( 25.0 ) ( 0.80 ) m = 20.0 m . \Delta x_r=v_0t_r=(25.0)(0.80)\,\mathrm m=20.0\,\mathrm m. Δ x r = v 0 t r = ( 25.0 ) ( 0.80 ) m = 20.0 m . 制动到 v = 0 v=0 v = 0
0 = ( 25.0 m s − 1 ) 2 + 2 ( − 6.0 m s − 2 ) Δ x b , 0=(25.0\,\mathrm{m\,s^{-1}})^2
+2(-6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}})\Delta x_b, 0 = ( 25.0 m s − 1 ) 2 + 2 ( − 6.0 m s − 2 ) Δ x b , 所以 Δ x b = 52.1 m \Delta x_b=52.1\,\mathrm m Δ x b = 52.1 m 72.1 m 72.1\,\mathrm m 72.1 m 0 = 25.0 − 6.0 t b 0=25.0-6.0t_b 0 = 25.0 − 6.0 t b t b = 4.17 s t_b=4.17\,\mathrm s t b = 4.17 s − 6.0 m s − 2 -6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}} − 6.0 m s − 2 6.0 m s − 2 6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}} 6.0 m s − 2
二维运动：一个时钟、两个分量
在固定直角坐标系中，微分按分量进行：
v = ( x ˙ , y ˙ ) , a = ( x ¨ , y ¨ ) . \boldsymbol v=(\dot x,\dot y),
\qquad
\boldsymbol a=(\ddot x,\ddot y). v = ( x ˙ , y ˙ ) , a = ( x ¨ , y ¨ ) . x x x y y y
近地面抛体在忽略空气阻力、地面可视为平面且 g g g
x ( t ) = x 0 + v 0 cos θ t , x(t)=x_0+v_0\cos\theta\,t, x ( t ) = x 0 + v 0 cos θ t , y ( t ) = y 0 + v 0 sin θ t − 1 2 g t 2 , y(t)=y_0+v_0\sin\theta\,t-\frac12gt^2, y ( t ) = y 0 + v 0 sin θ t − 2 1 g t 2 , 其中 g = 9.81 m s − 2 g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}} g = 9.81 m s − 2 y y y
例 3：从高台斜抛并判断落地速度
小球从距水平地面 y 0 = 20.0 m y_0=20.0\,\mathrm m y 0 = 20.0 m v 0 = 15.0 m s − 1 v_0=15.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} v 0 = 15.0 m s − 1 30.0 ∘ 30.0^\circ 30. 0 ∘ x = 0 x=0 x = 0 y = 0 y=0 y = 0
v 0 x = 15.0 cos 30.0 ∘ = 12.99 m s − 1 , v 0 y = 7.50 m s − 1 . v_{0x}=15.0\cos30.0^\circ=12.99\,\mathrm{m\,s^{-1}},
\qquad
v_{0y}=7.50\,\mathrm{m\,s^{-1}}. v 0 x = 15.0 cos 30. 0 ∘ = 12.99 m s − 1 , v 0 y = 7.50 m s − 1 . 落地时满足
0 = 20.0 + ( 7.50 ) t − 1 2 ( 9.81 ) t 2 . 0=20.0+(7.50)t-\frac12(9.81)t^2. 0 = 20.0 + ( 7.50 ) t − 2 1 ( 9.81 ) t 2 . 二次方程的正根为 t = 2.92 s t=2.92\,\mathrm s t = 2.92 s
x = ( 12.99 ) ( 2.92 ) m = 37.9 m . x=(12.99)(2.92)\,\mathrm m=37.9\,\mathrm m. x = ( 12.99 ) ( 2.92 ) m = 37.9 m . 落地前速度分量是
v x = 12.99 m s − 1 , v y = 7.50 − ( 9.81 ) ( 2.92 ) = − 21.1 m s − 1 . v_x=12.99\,\mathrm{m\,s^{-1}},
\qquad
v_y=7.50-(9.81)(2.92)=-21.1\,\mathrm{m\,s^{-1}}. v x = 12.99 m s − 1 , v y = 7.50 − ( 9.81 ) ( 2.92 ) = − 21.1 m s − 1 . 故速率约为 24.8 m s − 1 24.8\,\mathrm{m\,s^{-1}} 24.8 m s − 1 + x +x + x 58.4 ∘ 58.4^\circ 58. 4 ∘
交互实验：同一时钟下的两个分量
从抛出点与落点同高的情形开始。先按分量方程写预测：射程 R = v 0 2 sin 2 θ / g R=v_0^2\sin2\theta/g R = v 0 2 sin 2 θ / g H = ( v 0 sin θ ) 2 / ( 2 g ) H=(v_0\sin\theta)^2/(2g) H = ( v 0 sin θ ) 2 / ( 2 g ) T = 2 v 0 sin θ / g T=2v_0\sin\theta/g T = 2 v 0 sin θ / g θ = 40 ∘ \theta=40^\circ θ = 4 0 ∘ θ = 50 ∘ \theta=50^\circ θ = 5 0 ∘ g = 9.80665 m s − 2 g=9.80665\,\mathrm{m\,s^{-2}} g = 9.80665 m s − 2 9.81 9.81 9.81 v 0 v_0 v 0 [ 12 , 28 ] m / s [12,28]\,\mathrm{m/s} [ 12 , 28 ] m/s
调整发射角 θ \theta θ y = x tan θ − g x 2 / ( 2 v 0 2 cos 2 θ ) y=x\tan\theta-gx^2/(2v_0^2\cos^2\theta) y = x tan θ − g x 2 / ( 2 v 0 2 cos 2 θ ) 1 2 ( v x 2 + v y 2 ) + g y = 1 2 v 0 2 \tfrac12(v_x^2+v_y^2)+gy=\tfrac12v_0^2 2 1 ( v x 2 + v y 2 ) + g y = 2 1 v 0 2 θ \theta θ 90 ∘ − θ 90^\circ-\theta 9 0 ∘ − θ 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
曲线运动：加速度可以垂直于速度
速度总沿轨迹切线方向。对速率 v v v R R R
a = a t e t + a n e n , a t = d v d t , a n = v 2 R . \boldsymbol a=a_t\boldsymbol e_t+a_n\boldsymbol e_n,
\qquad
a_t=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt},
\qquad
a_n=\frac{v^2}{R}. a = a t e t + a n e n , a t = d t d v , a n = R v 2 . e n \boldsymbol e_n e n a t = 0 a_t=0 a t = 0 a n = v 2 / R a_n=v^2/R a n = v 2 / R R = 25.0 m R=25.0\,\mathrm m R = 25.0 m 10.0 m s − 1 10.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} 10.0 m s − 1 4.00 m s − 2 4.00\,\mathrm{m\,s^{-2}} 4.00 m s − 2
相对运动与 Galilean 速度变换
设参考系 S ′ S' S ′ S S S V \boldsymbol V V
r ′ = r − V t , v ′ = v − V , a ′ = a . \boldsymbol r'=\boldsymbol r-\boldsymbol Vt,
\qquad
\boldsymbol v'=\boldsymbol v-\boldsymbol V,
\qquad
\boldsymbol a'=\boldsymbol a. r ′ = r − V t , v ′ = v − V , a ′ = a . 这里的加速度相等依赖 V \boldsymbol V V S ′ S' S ′
例 4：横渡河流的地面速度
河水相对河岸以 3.0 m s − 1 3.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} 3.0 m s − 1 5.0 m s − 1 5.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} 5.0 m s − 1 + x +x + x + y +y + y
v 船 / 岸 = v 船 / 水 + v 水 / 岸 = ( 3.0 , 5.0 ) m s − 1 . \boldsymbol v_{\text{船}/\text{岸}}
=\boldsymbol v_{\text{船}/\text{水}}+\boldsymbol v_{\text{水}/\text{岸}}
=(3.0,5.0)\,\mathrm{m\,s^{-1}}. v 船 / 岸 = v 船 / 水 + v 水 / 岸 = ( 3.0 , 5.0 ) m s − 1 . 其速率为 3.0 2 + 5.0 2 = 5.83 m s − 1 \sqrt{3.0^2+5.0^2}=5.83\,\mathrm{m\,s^{-1}} 3. 0 2 + 5. 0 2 = 5.83 m s − 1 arctan ( 3 / 5 ) = 31.0 ∘ \arctan(3/5)=31.0^\circ arctan ( 3/5 ) = 31. 0 ∘ 120 m 120\,\mathrm m 120 m 120 / 5.0 = 24.0 s 120/5.0=24.0\,\mathrm s 120/5.0 = 24.0 s 3.0 × 24.0 = 72.0 m 3.0\times24.0=72.0\,\mathrm m 3.0 × 24.0 = 72.0 m 5.83 m s − 1 5.83\,\mathrm{m\,s^{-1}} 5.83 m s − 1
常见误区与诊断顺序
常见误区
“位置为零就表示物体静止。”位置为零只表示物体此刻经过原点；是否静止要看该时刻的速度。
常见误区
“加速度方向总与速度方向相同。”制动时二者相反，匀速圆周运动时二者垂直；加速度由速度矢量的变化决定。
常见误区
“抛体到最高点时加速度为零。”最高点只有竖直速度分量瞬时为零，重力加速度仍为 ( 0 , − 9.81 ) m s − 2 (0,-9.81)\,\mathrm{m\,s^{-2}} ( 0 , − 9.81 ) m s − 2
遇到运动学题，可依次检查：参考系与对象是否明确；坐标轴与正方向是否标出；已知量是否带 SI 单位；矢量分量是否来自同一基底；使用的恒加速度或质点近似是否成立；结果的单位、方向和极限是否合理。画草图和写分量通常比先搜索公式更可靠。
探索实验：用手机视频重建一维运动
把一条带米制刻度的纸带固定在水平桌边，令小车沿纸带运动。相机保持静止，使镜头光轴尽量垂直于运动平面，并在画面中保留至少 1.00 m 1.00\,\mathrm m 1.00 m 60 f r a m e s − 1 60\,\mathrm{frame\,s^{-1}} 60 frame s − 1 1 / 60 s 1/60\,\mathrm s 1/60 s x = 0 x=0 x = 0
每隔若干帧读取一次 x ( t ) x(t) x ( t )
v i ≈ x i + 1 − x i − 1 t i + 1 − t i − 1 , v_i\approx\frac{x_{i+1}-x_{i-1}}{t_{i+1}-t_{i-1}}, v i ≈ t i + 1 − t i − 1 x i + 1 − x i − 1 , 再以相邻速度差估计加速度。绘制 x x x t t t v v v t t t
这个实验的主要误差可能来自透视、运动模糊、选点不一致和有限帧率。不要把差分结果的小幅跳动立即解释成真实加速度突变；先改变取样间隔并比较结果稳定性。实验产出应包含坐标约定、原始位置表、单位、计算公式和不确定来源，而不只是轨迹截图。
练习
练习
所属知识 位移与路程
难度 1/5 行人沿东西直线运动，取向东为正。他从 x = 2.0 m x=2.0\,\mathrm m x = 2.0 m x = − 5.0 m x=-5.0\,\mathrm m x = − 5.0 m x = 1.0 m x=1.0\,\mathrm m x = 1.0 m 13.0 s 13.0\,\mathrm s 13.0 s
查看提示 先在数轴上标出 2.0 m、-5.0 m 和 1.0 m，再分别累加每段长度。
查看解答 位移为 1.0 − 2.0 = − 1.0 m 1.0-2.0=-1.0\,\mathrm m 1.0 − 2.0 = − 1.0 m 1.0 m 1.0\,\mathrm m 1.0 m ∣ − 5.0 − 2.0 ∣ + ∣ 1.0 − ( − 5.0 ) ∣ = 13.0 m |-5.0-2.0|+|1.0-(-5.0)|=13.0\,\mathrm m ∣ − 5.0 − 2.0∣ + ∣1.0 − ( − 5.0 ) ∣ = 13.0 m − 1.0 / 13.0 = − 0.0769 m s − 1 -1.0/13.0=-0.0769\,\mathrm{m\,s^{-1}} − 1.0/13.0 = − 0.0769 m s − 1 13.0 / 13.0 = 1.00 m s − 1 13.0/13.0=1.00\,\mathrm{m\,s^{-1}} 13.0/13.0 = 1.00 m s − 1
练习
所属知识 速度与加速度
难度 2/5 一维位置为 x ( t ) = ( 1.0 m ) + ( 3.0 m s − 1 ) t − ( 0.50 m s − 3 ) t 3 x(t)=(1.0\,\mathrm m)+(3.0\,\mathrm{m\,s^{-1}})t-(0.50\,\mathrm{m\,s^{-3}})t^3 x ( t ) = ( 1.0 m ) + ( 3.0 m s − 1 ) t − ( 0.50 m s − 3 ) t 3 t = 2.0 s t=2.0\,\mathrm s t = 2.0 s
查看提示 对位置函数逐次求导；判断加速或减速时比较 v 与 a 的符号。
查看解答 v ( t ) = 3.0 m s − 1 − ( 1.50 m s − 3 ) t 2 v(t)=3.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}-(1.50\,\mathrm{m\,s^{-3}})t^2 v ( t ) = 3.0 m s − 1 − ( 1.50 m s − 3 ) t 2 a ( t ) = − ( 3.0 m s − 3 ) t a(t)=-(3.0\,\mathrm{m\,s^{-3}})t a ( t ) = − ( 3.0 m s − 3 ) t t = 2.0 s t=2.0\,\mathrm s t = 2.0 s x = 3.0 m x=3.0\,\mathrm m x = 3.0 m v = − 3.0 m s − 1 v=-3.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} v = − 3.0 m s − 1 a = − 6.0 m s − 2 a=-6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}} a = − 6.0 m s − 2
练习
所属知识 速度图像
难度 2/5 质点在 0 0 0 4.0 s 4.0\,\mathrm s 4.0 s 0 0 0 8.0 m s − 1 8.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} 8.0 m s − 1 4.0 4.0 4.0 6.0 s 6.0\,\mathrm s 6.0 s − 4.0 m s − 1 -4.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} − 4.0 m s − 1
查看提示 位移是 v-t 图的有向面积；路程需把负面积的绝对值也计入。
查看解答 第一段 a 1 = ( 8.0 − 0 ) / 4.0 = 2.0 m s − 2 a_1=(8.0-0)/4.0=2.0\,\mathrm{m\,s^{-2}} a 1 = ( 8.0 − 0 ) /4.0 = 2.0 m s − 2 a 2 = ( − 4.0 − 8.0 ) / 2.0 = − 6.0 m s − 2 a_2=(-4.0-8.0)/2.0=-6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}} a 2 = ( − 4.0 − 8.0 ) /2.0 = − 6.0 m s − 2 16.0 m 16.0\,\mathrm m 16.0 m ( 8.0 − 4.0 ) ( 2.0 ) / 2 = 4.0 m (8.0-4.0)(2.0)/2=4.0\,\mathrm m ( 8.0 − 4.0 ) ( 2.0 ) /2 = 4.0 m 20.0 m 20.0\,\mathrm m 20.0 m 8.0 8.0 8.0 6.0 m s − 1 6.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} 6.0 m s − 1 t = 4.0 + 8.0 / 6.0 = 5.33 s t=4.0+8.0/6.0=5.33\,\mathrm s t = 4.0 + 8.0/6.0 = 5.33 s
练习
所属知识 自由落体
难度 2/5 从地面竖直向上抛出小球，初速度为 19.6 m s − 1 19.6\,\mathrm{m\,s^{-1}} 19.6 m s − 1
查看提示 向上为正时 a=-g；到达最高点只令 v=0，不令 a=0。
查看解答 v = v 0 − g t v=v_0-gt v = v 0 − g t v = 0 v=0 v = 0 t = 19.6 / 9.81 = 2.00 s t=19.6/9.81=2.00\,\mathrm s t = 19.6/9.81 = 2.00 s v 2 = v 0 2 − 2 g Δ y v^2=v_0^2-2g\Delta y v 2 = v 0 2 − 2 g Δ y Δ y = v 0 2 / ( 2 g ) = 19.6 m \Delta y=v_0^2/(2g)=19.6\,\mathrm m Δ y = v 0 2 / ( 2 g ) = 19.6 m − 9.81 m s − 2 -9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}} − 9.81 m s − 2
练习
所属知识 抛体分量
难度 3/5 小球从地面以 20.0 m s − 1 20.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} 20.0 m s − 1 45.0 ∘ 45.0^\circ 45. 0 ∘
查看提示 落地时间由竖直方程决定；水平位移使用同一个时间。
查看解答 v 0 x = v 0 y = 20.0 / 2 = 14.14 m s − 1 v_{0x}=v_{0y}=20.0/\sqrt2=14.14\,\mathrm{m\,s^{-1}} v 0 x = v 0 y = 20.0/ 2 = 14.14 m s − 1 T = 2 v 0 y / g = 2.88 s T=2v_{0y}/g=2.88\,\mathrm s T = 2 v 0 y / g = 2.88 s v 0 y 2 / ( 2 g ) = 10.2 m v_{0y}^2/(2g)=10.2\,\mathrm m v 0 y 2 / ( 2 g ) = 10.2 m v 0 x T = 40.8 m v_{0x}T=40.8\,\mathrm m v 0 x T = 40.8 m g g g
练习
所属知识 相对速度
难度 3/5 汽车 A 相对地面以 18.0 m s − 1 18.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} 18.0 m s − 1 12.0 m s − 1 12.0\,\mathrm{m\,s^{-1}} 12.0 m s − 1 + x +x + x + y +y + y
查看提示 先写
v A / B = v A / v_A/B=v_A/ v A / B = v A / 地
− v B / -v_B/ − v B / 地，并在东西、南北分量上分别相减。
查看解答 v A / B = v A / 地 − v B / 地 = ( 18.0 , − 12.0 ) m s − 1 \boldsymbol v_{A/B}=\boldsymbol v_{A/\text{地}}-\boldsymbol v_{B/\text{地}}=(18.0,-12.0)\,\mathrm{m\,s^{-1}} v A / B = v A / 地 − v B / 地 = ( 18.0 , − 12.0 ) m s − 1 18.0 2 + 12.0 2 = 21.6 m s − 1 \sqrt{18.0^2+12.0^2}=21.6\,\mathrm{m\,s^{-1}} 18. 0 2 + 12. 0 2 = 21.6 m s − 1 arctan ( 12.0 / 18.0 ) = 33.7 ∘ \arctan(12.0/18.0)=33.7^\circ arctan ( 12.0/18.0 ) = 33. 7 ∘ v B / A \boldsymbol v_{B/A} v B / A
关系、资源与后续学习
课程 · 2016 Classical Mechanics Deepto Chakrabarty, Peter Dourmashkin, Michelle Tomasik, Anna Frebel, Vladan Vuletic
用于核对 P01 的受力模型、守恒定律、参考系约定、转动公式、完整例题和练习。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.01SC《Classical Mechanics》系统组织一维与二维运动学、相对运动及后续动力学。本章据此保持参考系、矢量分量和适用条件的统一口径；资源卡用于追溯课程来源，不替代正文中的推导和数值核对。
完成本章后，应进入 Newton 运动定律 ：先画受力图，再用合力解释本章得到的加速度。随后在 功、势能与机械能守恒 中用路径和速度组织能量变化，并在 动量、冲量与碰撞 中处理短时相互作用与系统运动。
课程 · 2014 Classical Mechanics III Iain Stewart
用于核对 P02 的变分条件、约束处理、Hamilton 形式、Poisson 括号、正则变换和混沌例题。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.09《Classical Mechanics III》支撑本章把初等运动学推广到广义坐标的边界：无论使用直角坐标、极坐标还是随时间变化的参数化坐标，速度都必须由位置对时间的全导数得到，加速度还要包含基底变化项。该来源在本章具体用于核对坐标变换后的运动学恒等式，而不是提前把动力学方程当作位置曲线本身的定义。