简谐振子、阻尼与受迫共振

本章路线

悬挂在弹簧上的物体、钟摆的小角度摆动、音叉叉臂和电路中的电荷振荡，外观不同，却都可能在平衡点附近遵循同一个二阶方程。本章要回答四个逐层加深的问题：没有摩擦时，周期由什么决定；存在耗散时，振幅怎样衰减；外力周期驱动时，为什么某些频率特别容易激起大响应；驱动力与位移之间的相位差又怎样记录能量输入。

完成本章后，应能从受力图写出方程，而不是从“看起来像正弦”倒推结论；能为质量、刚度、阻尼系数、位移、速度、能量和功率标明 SI 单位；还能区分自由响应、瞬态响应与稳态响应。MIT OpenCourseWare 8.03SC 的振动单元把单振子、阻尼、受迫振动和耦合振子依次组织起来，本章使用同一物理路线，但所有公式都在下文独立推导和复算。¹

为什么许多系统都在平衡点附近变成振子

设一维坐标为 $x$，单位为米（$\mathrm m$），平衡位置取 $x=0\,\mathrm m$。若保守系统的势能为 $U(x)$，单位为焦耳（$\mathrm J$），平衡点满足 $U'(0)=0\,\mathrm N$。在 $x=0\,\mathrm m$ 附近作展开：

稳定平衡要求 $U''(0)>0$。令 $k=U''(0)$，其单位为牛顿每米（$\mathrm{N\,m^{-1}}$）。忽略三次及更高阶项后，力为

因此，“线性弹簧”不只指金属螺旋弹簧；它也代表任意稳定系统在足够小偏离下的首个非零近似。近似范围必须由实验或更完整模型检查：当位移大到高阶项不可忽略时，周期可能随振幅改变，叠加原理也会失效。

建模时还要先找对平衡点。若恒定重力只把竖直弹簧的静态平衡位置下移，那么以新平衡点为原点后，重力常数项与静态伸长相消，角频率仍由 $k/m$ 决定；若把位移误从弹簧原长量起却仍写齐次方程，就会漏掉恒力项。反之，若 $U''(0)<0$，扰动受到的不是回复力而是离开平衡点的力，指数增长不能称为简谐振动。先确认坐标原点和稳定性，才有资格使用后续正弦解。

简谐振子

质量为 $m>0$、单位为千克（$\mathrm{kg}$）的质点，若相对平衡点的位移 $x(t)$（单位 $\mathrm m$）满足

$$m\ddot x+kx=0,$$

其中刚度 $k>0$、单位 $\mathrm{N\,m^{-1}}=\mathrm{kg\,s^{-2}}$，就称为简谐振子。定义固有角频率

$$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},$$

单位为弧度每秒（$\mathrm{rad\,s^{-1}}$）；弧度在量纲上为一，但保留“rad”可以提醒这是相位变化率。

由 牛顿定律，$m\ddot x$ 与 $kx$ 的单位都为牛顿（$\mathrm N$）。又因 $k/m$ 的单位为 $\mathrm{s^{-2}}$，所以 $\omega_0$ 的单位确为 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$。普通频率 $f_0=\omega_0/(2\pi)$，单位为赫兹（$\mathrm{Hz}=\mathrm{s^{-1}}$）；周期 $T_0=1/f_0=2\pi/\omega_0$，单位为秒（$\mathrm s$）。

自由简谐运动：初值、相位与能量

把方程除以质量，得到 $\ddot x+\omega_0^2x=0$。代入试探解 $x=e^{rt}$，特征方程为 $r^2+\omega_0^2=0$，根为 $r=\pm i\omega_0$。实解可写成

$C,D,A$ 的单位都是米（$\mathrm m$），相位 $\phi$ 的单位记为弧度（$\mathrm{rad}$）。若初始位移 $x(0)=x_0$、单位 $\mathrm m$，初始速度 $\dot x(0)=v_0$、单位 $\mathrm{m\,s^{-1}}$，则

必须使用能辨别象限的 $\operatorname{atan2}$；只算普通反正切会在 $x_0<0\,\mathrm m$ 时丢失半周信息。相位不是物体在空间中的角度，而是振荡周期中的位置。

动能与势能分别为

单位均为焦耳（$\mathrm J=\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}$）。总能量

保持不变。直接求导也能证明：

在相平面上令横轴为 $x$（单位 $\mathrm m$），纵轴为 $\dot x$（单位 $\mathrm{m\,s^{-1}}$），能量关系给出

这是一条椭圆。它不是物体的真实空间轨迹，而是同一时刻的“位置—速度”状态轨迹。

例 1：由质量与刚度重建完整自由运动

一质量 $m=0.50\,\mathrm{kg}$ 的滑块连接刚度 $k=8.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ 的水平弹簧。忽略摩擦，给定 $x_0=0.12\,\mathrm m$、$v_0=0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

首先

$$\omega_0=\sqrt{8.0/0.50}=4.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad T_0=\frac{2\pi}{4.0}=1.57\,\mathrm s.$$

因初速度为零且初位移为正，$A=0.12\,\mathrm m$、$\phi=0\,\mathrm{rad}$，所以

$$x(t)=0.12\cos(4.0t)\,\mathrm m.$$

最大速率为 $A\omega_0=0.48\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，最大加速度为 $A\omega_0^2=1.92\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。总能量为

$$E=\frac12(8.0)(0.12)^2=0.0576\,\mathrm J.$$

当 $x=0.060\,\mathrm m$ 时，势能为 $0.0144\,\mathrm J$，动能为 $0.0432\,\mathrm J$，速率

$$|\dot x|=\sqrt{2K/m}=0.416\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

它小于最大速率并与能量守恒一致，完成了独立核验。

阻尼：三种回到平衡的方式

现实系统常受到与速度反向、在低速范围近似正比于速度的阻力 $F_d=-b\dot x$。阻尼系数 $b$ 的单位为 $\mathrm{kg\,s^{-1}}$，因为 $b\dot x$ 必须是牛顿。自由阻尼方程为

定义

其中 $\gamma$ 是衰减率，$\zeta$ 是无量纲阻尼比。特征根为

• 当 $0<\zeta<1$ 时为欠阻尼， $x=e^{-\gamma t}[C\cos(\omega_dt)+D\sin(\omega_dt)]$，其中 $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$，单位 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$。系统过零振荡，振幅包络按 $e^{-\gamma t}$ 衰减。
• 当 $\zeta=1$ 时为临界阻尼， $x=(C+Dt)e^{-\omega_0t}$。在不发生振荡的线性模型中，它给出最快的渐近回稳。
• 当 $\zeta>1$ 时为过阻尼，两个负实指数相加。系统不振荡，但较慢的指数项使回稳通常比临界情形慢。

阻尼能量变化率为

机械能减少不是“消失”，而是流向未建模的内能、流体扰动或声等自由度。在线性黏滞阻尼模型中，欠阻尼位移包络的时间常数为 $1/\gamma$，单位 $\mathrm s$；能量平均包络因与振幅平方成正比，约按 $e^{-2\gamma t}$ 衰减。

例 2：判断阻尼区间并计算半衰时间

取 $m=0.50\,\mathrm{kg}$、$k=8.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}$、$b=1.0\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$。固有角频率仍为 $4.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$，衰减率为

$$\gamma=\frac{1.0}{2(0.50)}=1.0\,\mathrm{s^{-1}},$$

阻尼比为 $\zeta=\gamma/\omega_0=0.25$，因此属于欠阻尼。阻尼角频率

$$\omega_d=\sqrt{4.0^2-1.0^2}=3.87\,\mathrm{rad\,s^{-1}},$$

阻尼周期为 $2\pi/\omega_d=1.62\,\mathrm s$。振幅包络减半满足 $e^{-\gamma t_{1/2}}=1/2$，故

$$t_{1/2}=\frac{\ln2}{1.0\,\mathrm{s^{-1}}}=0.693\,\mathrm s.$$

临界阻尼系数应为

$$b_c=2\sqrt{mk}=2\sqrt{(0.50)(8.0)}=4.0\,\mathrm{kg\,s^{-1}}.$$

给定的 $1.0\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ 确实小于 $b_c$，与阻尼比判断一致。

正弦受迫：稳态振幅、共振与相位

再施加外力 $F(t)=F_0\cos(\omega t)$，其中 $F_0$ 的单位为牛顿（$\mathrm N$），驱动角频率 $\omega$ 的单位为 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$：

总解是会随阻尼消退的自由瞬态与持续存在的稳态之和。设稳态为

代回并分别比较与驱动力同相、正交的分量，得到

$k-m\omega^2$ 与 $b\omega$ 的单位都是 $\mathrm{N\,m^{-1}}$，所以 $F_0$ 除以分母得到米，量纲正确。低频极限下 $A\to F_0/k$、$\delta\to0\,\mathrm{rad}$；高频极限下惯性主导，位移相对驱动力趋近落后 $\pi\,\mathrm{rad}$；在 $k\approx m\omega^2$ 附近，阻尼项限制响应。

位移振幅的峰值频率在 $\gamma<\omega_0/\sqrt2$ 时为

它一般略低于 $\omega_0$。因此“共振频率必定等于固有频率”只在弱阻尼近似中成立。弱阻尼品质因数

无量纲；$Q$ 越大，峰越高且越窄。稳态平均输入功率等于平均耗散功率：

单位为瓦特（$\mathrm W$）。它在相位约为 $\pi/2\,\mathrm{rad}$ 的区域最容易达到较大值，因为此时驱动力更接近与速度同相。

还可用复数记号独立核验稳态公式。把真实驱动力看作 $F_0e^{i\omega t}$ 的实部，并设复位移为 $\widetilde x=\widetilde A e^{i\omega t}$，其中 $\widetilde A$ 的单位为米（$\mathrm m$）。代入方程得到

分母称为动态刚度，单位为 $\mathrm{N\,m^{-1}}$。它的模给出前述振幅分母，辐角给出位移相对驱动力的负相位。复数只压缩同频正弦分量的代数运算，最终可观测位移仍取实部。这个方法也明确说明：稳态只含驱动频率 $\omega$，固有频率 $\omega_0$ 决定的是响应系数与会衰减的瞬态，而不是在稳态中额外叠加一条永不消失的自由振荡。

例 3：计算受迫振子的振幅、相位和平均功率

设 $m=1.0\,\mathrm{kg}$、$k=25\,\mathrm{N\,m^{-1}}$、$b=2.0\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$，驱动力振幅 $F_0=3.0\,\mathrm N$，驱动角频率 $\omega=4.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。

此时 $\omega_0=5.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$、$\gamma=1.0\,\mathrm{s^{-1}}$。分母的两个分量为

$$k-m\omega^2=9.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}, \qquad b\omega=8.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}.$$

所以

$$A=\frac{3.0}{\sqrt{9.0^2+8.0^2}}=0.249\,\mathrm m, \qquad \delta=\operatorname{atan2}(8.0,9.0)=0.727\,\mathrm{rad}.$$

平均耗散功率为

$$\overline P =\frac12(2.0)(4.0)^2(0.249)^2 =0.993\,\mathrm W.$$

位移峰的理论角频率为 $\omega_r=\sqrt{5.0^2-2(1.0)^2}=4.80\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$，故当前 $4.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 尚在峰值左侧。上述 $A$ 是稳态振幅；若系统刚启动，还必须叠加由初值决定、按阻尼衰减的瞬态。

相位图怎样连接三类模型

无阻尼自由振子的相轨道是闭合椭圆，每一圈的机械能相同。加入阻尼后，轨道向原点螺旋或沿实特征方向靠近原点，表示机械能持续减少。加入周期驱动后，长时间轨道通常趋向一个与驱动周期相同的闭合极限响应；这不是非线性系统意义下自发形成的极限环，而是外部时钟持续维持的稳态。

若把横轴和纵轴直接画成相同数值尺度，米与米每秒的单位不同，椭圆外观没有独立物理意义。可改用无量纲坐标 $X=x/A$、$V=\dot x/(A\omega_0)$，无阻尼轨道才成为单位圆。图形展示必须标注轴量、单位、初值与参数，否则无法比较两条轨道代表的是不同能量、不同频率还是仅仅不同缩放。

常见误区

常见误区

“回复力为零时速度也为零。”简谐振子经过平衡点 $x=0\,\mathrm m$ 时回复力与加速度为零，但速率达到最大值 $A\omega_0$；在端点 $x=\pm A$ 时速度才为零。

常见误区

“加阻尼后角频率还是 $\omega_0$。”欠阻尼振荡角频率是 $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$；临界和过阻尼系统甚至不再周期过零。

常见误区

“共振意味着振幅无限大。”只有理想无阻尼模型在精确共振并无限驱动时出现线性增长。任何非零阻尼都会给出有限稳态峰；真实系统还会受非线性、材料极限和驱动能力约束。

常见误区

“看到正弦曲线就证明是简谐振子。”有限时间内许多信号都能近似正弦。仍需检验力是否在所用振幅范围内近似 $-kx$、频率是否与振幅无关，以及能量或相位关系是否符合模型。

参数探索：把曲线变成可核验的数据

可以用电子表格、计算器或自写短程序扫描受迫响应，但不应只保存截图。建议固定 $m=1.0\,\mathrm{kg}$、$k=25\,\mathrm{N\,m^{-1}}$、$F_0=1.0\,\mathrm N$，分别取 $b=0.50,1.0,2.0\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$，让驱动角频率从 $1.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 递增到 $8.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$，步长为 $0.10\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。每一点记录 $A$（$\mathrm m$）、$\delta$（$\mathrm{rad}$）和 $\overline P$（$\mathrm W$）。

探索应完成四项检查：低频端是否接近 $F_0/k=0.040\,\mathrm m$；阻尼减小时峰是否变高、变窄；峰值位置是否接近各自的 $\omega_r$；相位是否从接近 $0\,\mathrm{rad}$ 连续越过约 $\pi/2\,\mathrm{rad}$ 并趋向 $\pi\,\mathrm{rad}$。再把驱动力在 $t=0\,\mathrm s$ 突然开启，用完整微分方程计算至少 $10\,\mathrm s$，比较早期瞬态与稳态公式。数值积分步长应另行做减半检查，例如比较 $0.002\,\mathrm s$ 与 $0.001\,\mathrm s$；两条曲线重合的外观不能替代最大位移差和相位差的数值报告。

若做真实弹簧实验，应分别测量质量 $m$（$\mathrm{kg}$）、静态伸长 $\Delta x$（$\mathrm m$）和周期 $T$（$\mathrm s$）。由 $k=mg/\Delta x$ 与 $k=4\pi^2m/T^2$ 得到两份刚度估计，再报告测量分辨率和振幅范围。两者不一致时，先检查弹簧自身质量、摩擦、支架运动与大振幅非线性，不要直接把差异写成“实验误差”。

练习

练习 1：由初值求振幅与相位标记完成

所属知识

自由简谐运动

难度

2/5

质量 $m=2.0\,\mathrm{kg}$、刚度 $k=18\,\mathrm{N\,m^{-1}}$，初始位移 $x_0=0.040\,\mathrm m$、初始速度 $v_0=0.060\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。求 $A$、$\phi$ 并写出 $x(t)$。

查看提示

先算 $\omega_0$，再用 $C=x_0$、$D=v_0/\omega_0$；相位要用 $\operatorname{atan2}(-D,C)$。

查看解答

核验：$\omega_{0}=\sqrt{18/2}=3.0 rad\cdot s^{-1}$，$C=0.040\,\mathrm{m}$，$D=0.060/3.0=0.020\,\mathrm{m}$。$A=\sqrt{0.040^{2}+0.020^{2}}=0.0447\,\mathrm{m}$，$\phi=\operatorname{atan2}(-0.020,0.040)=-0.464 rad$。因此 $x(t)=0.0447 \cos(3.0t-0.464) m$。

练习 2：用能量求指定位置的速率标记完成

所属知识

机械能守恒

难度

2/5

一无阻尼振子取 $m=1.0\,\mathrm{kg}$、$k=12\,\mathrm{N\,m^{-1}}$、振幅 $A=0.10\,\mathrm m$。求它经过 $x=0.060\,\mathrm m$ 时的速率，并说明为什么仅靠位置不能确定速度符号。

查看提示

总能量由端点振幅 A 决定，再从 E-K-U 关系解出速率。

查看解答

核验：$E=(1/2)kA^{2}=0.5\times 12\times 0.10^{2}=0.060 J$。在 $x=0.060\,\mathrm{m}$ 处，$U=0.5\times 12\times 0.060^{2}=0.0216 J$，K=0.0384 J；由 $|v|=\sqrt{2K/m}$ 得 $|v|=0.277\,\mathrm{m}\cdot s^{-1}$。正负号取决于当时运动方向。

练习 3：设计临界阻尼标记完成

所属知识

阻尼区间

难度

3/5

门闭合器可近似为 $m=0.80\,\mathrm{kg}$、$k=20\,\mathrm{N\,m^{-1}}$、$b=5.0\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ 的线性系统。判断阻尼类型，并求达到临界阻尼还需增加多少阻尼系数。

查看提示

临界值满足 $b_c=2\sqrt{mk}$，再比较现有 b 与 $b_c$。

查看解答

核验：$b_c=2\sqrt{0.80\times 20}=8.0 kg\cdot s^{-1}$。现有 $b=5.0 kg\cdot s^{-1}$ 小于 $b_c$，故为欠阻尼；若保持 m 与 k 不变，应把阻尼系数增加 $3.0 kg\cdot s^{-1}$ 才到临界值。

练习 4：比较两个驱动频率标记完成

所属知识

稳态受迫响应

难度

3/5

取 $m=1.0\,\mathrm{kg}$、$k=16\,\mathrm{N\,m^{-1}}$、$b=1.0\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$、$F_0=2.0\,\mathrm N$。分别求 $\omega=2.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 与 $4.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 的稳态位移振幅。

查看提示

分别代入振幅公式，并同时比较 $k-m\omega^{2}$ 与 $b\omega$；不要只比较 $\omega$ 和 $\omega_{0}$。

查看解答

核验：$\omega_{0}=4.0 rad\cdot s^{-1}$。$\omega=2.0 rad\cdot s^{-1}$ 时分母为 $\sqrt{(16-4)^{2}+2^{2}}=12.17 N\cdot m^{-1}$，$A=0.164\,\mathrm{m}$；$\omega=4.0 rad\cdot s^{-1}$ 时分母为 $4.0 N\cdot m^{-1}$，$A=0.500\,\mathrm{m}$。因此第二种稳态振幅较大，但仍有限。

练习 5：从衰减包络反推阻尼标记完成

所属知识

实验参数辨识

难度

4/5

一欠阻尼振子质量 $m=0.60\,\mathrm{kg}$。同方向峰值在相隔 $3.0\,\mathrm s$ 的两次测量中由 $0.080\,\mathrm m$ 降到 $0.020\,\mathrm m$。估计 $\gamma$ 与 $b$，并写出推断成立所需的模型假设。

查看提示

欠阻尼振幅比满足 $A(t_{2})/A(t_{1})=\exp[-\gamma(t_{2}-t_{1})]$，再由 $b=2m\gamma$。

查看解答

核验：$0.020/0.080=1/4=\exp(-\gamma \times 3.0\,\mathrm{s})$，故 $\gamma=\ln 4/3.0=0.462\,\mathrm{s}^{-1}$。$b=2m\gamma=2\times 0.60\times 0.462=0.555 kg\cdot s^{-1}$。该结论依赖线性黏滞阻尼和测得的是同类峰值包络。

与其他知识的关系

• 牛顿定律 把回复力、阻尼力与驱动力统一连接到加速度。
• 常微分方程 提供特征根、齐次解、特解与初值匹配的方法。
• 三角函数 负责振幅—相位变换和同频正弦量的合成。
• 耦合振子与简正模 把多个线性振子变换成若干独立模态。
• 行波、相位、叠加与色散 把单点的时间振荡推广为空间中传播的相位场。
• 一维波动方程 分离变量后产生一族不同固有频率的时间振子。

资源

课程 · 2016

MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves

Yen-Jie Lee

连接波动方程的数学解、边界条件、驻波和物理观测。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.03SC 的官方课程材料从单自由度振动进入耦合振动和波，适合按“建模—推导—实验”顺序复核本章。资源卡是课程入口；使用时应优先查看课程中机械振动部分的讲义、例题和题集，并自行核对所采用的符号约定。

课程 · 2011

MIT 18.03SC Differential Equations

Arthur Mattuck, Haynes Miller

为傅里叶方法、模态分解及其微分方程应用提供连续课程背景。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.03SC《Differential Equations》支撑本章二阶常系数方程的完整解法：特征根区分欠阻尼、临界阻尼与过阻尼，复指数或相量给出正弦驱动的稳态特解，初始条件则决定暂态系数。该来源具体支持解的构造与线性叠加，也限定共振幅值公式必须随阻尼和驱动约定重新推导，不能脱离原方程记忆使用。

后续学习

下一章进入 耦合振子与简正模：一个振子的标量方程会升级为质量矩阵和刚度矩阵方程，固有频率由广义本征值决定。之后学习 行波、相位、叠加与色散，将 $\omega t+\phi$ 推广为 $kx-\omega t+\phi$，再到 一维波动方程 理解连续介质为何具有无限多个模态。

Footnotes

1. MIT OpenCourseWare, 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves，课程官方页面提供振动、耦合振子和波动主题的讲义与题集；访问于 2026-07-14。 ↩