模型、能量零点与解的分类
研究质量
m m m V ( x ) V(x) V ( x )
− ℏ 2 2 m d 2 ϕ d x 2 + V ( x ) ϕ = E ϕ . -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2\phi}{\mathrm dx^2}
+V(x)\phi=E\phi. − 2 m ℏ 2 d x 2 d 2 ϕ + V ( x ) ϕ = Eϕ . x x x V , E V,E V , E ℏ \hbar ℏ J s \mathrm{J\,s} J s V → V + C V\to V+C V → V + C E → E + C E\to E+C E → E + C E − V E-V E − V
一维归一化束缚波函数单位为
m − 1 / 2 \mathrm{m^{-1/2}} m − 1/2 − ℏ 2 d 2 / ( 2 m d x 2 ) -\hbar^2\mathrm d^2/(2m\,\mathrm dx^2) − ℏ 2 d 2 / ( 2 m d x 2 ) j = ( ℏ / m ) Im ( ϕ ∗ ϕ ′ ) j=(\hbar/m)\operatorname{Im}(\phi^*\phi') j = ( ℏ/ m ) Im ( ϕ ∗ ϕ ′ ) s − 1 \mathrm{s^{-1}} s − 1
在常势区
V ( x ) = V 0 V(x)=V_0 V ( x ) = V 0
若
E > V 0 E>V_0 E > V 0 k = 2 m ( E − V 0 ) / ℏ k=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar k = 2 m ( E − V 0 ) /ℏ m − 1 \mathrm{m^{-1}} m − 1 A e i k x + B e − i k x Ae^{ikx}+Be^{-ikx} A e ik x + B e − ik x
若
E < V 0 E<V_0 E < V 0 κ = 2 m ( V 0 − E ) / ℏ \kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar κ = 2 m ( V 0 − E ) /ℏ m − 1 \mathrm{m^{-1}} m − 1 C e κ x + D e − κ x Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} C e κ x + D e − κ x
若
E = V 0 E=V_0 E = V 0 ϕ ′ ′ = 0 \phi''=0 ϕ ′′ = 0 k = 0 k=0 k = 0
束缚态在无穷远可归一化，能量通常离散；散射态在无穷远含行进波，采用入射流归一化或
δ \delta δ
有限势跳变的匹配条件
在
x = x 0 x=x_0 x = x 0 δ \delta δ x 0 − ε x_0-\varepsilon x 0 − ε x 0 + ε x_0+\varepsilon x 0 + ε
− ℏ 2 2 m [ ϕ ′ ( x 0 + ) − ϕ ′ ( x 0 − ) ] + ∫ x 0 − ε x 0 + ε ( V − E ) ϕ d x = 0. -\frac{\hbar^2}{2m}
\left[\phi'(x_0^+)-\phi'(x_0^-)\right]
+\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}
(V-E)\phi\,\mathrm dx=0. − 2 m ℏ 2 [ ϕ ′ ( x 0 + ) − ϕ ′ ( x 0 − ) ] + ∫ x 0 − ε x 0 + ε ( V − E ) ϕ d x = 0. 当
ε → 0 \varepsilon\to0 ε → 0 ϕ ′ \phi' ϕ ′ ϕ \phi ϕ
ϕ ( x 0 − ) = ϕ ( x 0 + ) , ϕ ′ ( x 0 − ) = ϕ ′ ( x 0 + ) . \phi(x_0^-)=\phi(x_0^+),
\qquad
\phi'(x_0^-)=\phi'(x_0^+). ϕ ( x 0 − ) = ϕ ( x 0 + ) , ϕ ′ ( x 0 − ) = ϕ ′ ( x 0 + ) . 若有效质量分段变化，正确条件取决于 Hamilton 算符的具体自伴形式，不能机械沿用
ϕ ′ \phi' ϕ ′ δ \delta δ
概率流
j = ℏ m Im ( ϕ ∗ ϕ ′ ) j=\frac{\hbar}{m}
\operatorname{Im}(\phi^*\phi') j = m ℏ Im ( ϕ ∗ ϕ ′ ) 在实势、定态散射中跨界面连续。匹配振幅后再检查流，是发现漏掉速度因子的最可靠方法。
无限深方势阱
令
V ( x ) = { 0 , 0 < x < L , ∞ , x ≤ 0 或 x ≥ L . V(x)=
\begin{cases}
0,&0<x<L,\\
\infty,&x\le0\text{ 或 }x\ge L.
\end{cases} V ( x ) = { 0 , ∞ , 0 < x < L , x ≤ 0 或 x ≥ L . 硬壁边界
ϕ ( 0 ) = ϕ ( L ) = 0 \phi(0)=\phi(L)=0 ϕ ( 0 ) = ϕ ( L ) = 0 A sin k x + B cos k x A\sin kx+B\cos kx A sin k x + B cos k x B = 0 B=0 B = 0 sin k L = 0 \sin kL=0 sin k L = 0
k n = n π L , E n = n 2 π 2 ℏ 2 2 m L 2 , n = 1 , 2 , … k_n=\frac{n\pi}{L},
\qquad
E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2},
\qquad n=1,2,\ldots k n = L nπ , E n = 2 m L 2 n 2 π 2 ℏ 2 , n = 1 , 2 , … 归一化本征态
ϕ n ( x ) = 2 L sin n π x L . \phi_n(x)=\sqrt{\frac2L}
\sin\frac{n\pi x}{L}. ϕ n ( x ) = L 2 sin L nπ x . 没有
n = 0 n=0 n = 0 n = 0 n=0 n = 0 1 / ( m L 2 ) 1/(mL^2) 1/ ( m L 2 ) j = 0 j=0 j = 0
例 1：一纳米盒中的电子能级
电子质量
m e = 9.11 × 10 − 31 k g m_e=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg} m e = 9.11 × 1 0 − 31 kg L = 1.00 n m L=1.00\,\mathrm{nm} L = 1.00 nm
E 1 = π 2 ℏ 2 2 m e L 2 = 6.02 × 10 − 20 J = 0.376 e V . E_1
=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_eL^2}
=6.02\times10^{-20}\,\mathrm J
=0.376\,\mathrm{eV}. E 1 = 2 m e L 2 π 2 ℏ 2 = 6.02 × 1 0 − 20 J = 0.376 eV . E 2 = 4 E 1 = 1.50 e V E_2=4E_1=1.50\,\mathrm{eV} E 2 = 4 E 1 = 1.50 eV E 2 − E 1 = 1.13 e V E_2-E_1=1.13\,\mathrm{eV} E 2 − E 1 = 1.13 eV 1 / 2 1/2 1/2
势阶散射与流归一化
令
V = 0 V=0 V = 0 x < 0 x<0 x < 0 V = V 0 > 0 V=V_0>0 V = V 0 > 0 x > 0 x>0 x > 0 E > V 0 E>V_0 E > V 0
ϕ I = e i k 1 x + r e − i k 1 x , ϕ I I = t e i k 2 x , \phi_I=e^{ik_1x}+r e^{-ik_1x},
\qquad
\phi_{II}=t e^{ik_2x}, ϕ I = e i k 1 x + r e − i k 1 x , ϕ II = t e i k 2 x , k 1 = 2 m E ℏ , k 2 = 2 m ( E − V 0 ) ℏ . k_1=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},
\qquad
k_2=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}. k 1 = ℏ 2 m E , k 2 = ℏ 2 m ( E − V 0 ) . 在
x = 0 x=0 x = 0 ϕ , ϕ ′ \phi,\phi' ϕ , ϕ ′
r = k 1 − k 2 k 1 + k 2 , t = 2 k 1 k 1 + k 2 . r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2},
\qquad
t=\frac{2k_1}{k_1+k_2}. r = k 1 + k 2 k 1 − k 2 , t = k 1 + k 2 2 k 1 . 入射、反射和透射概率流分别与
k 1 k_1 k 1 − ∣ r ∣ 2 k 1 -|r|^2k_1 − ∣ r ∣ 2 k 1 ∣ t ∣ 2 k 2 |t|^2k_2 ∣ t ∣ 2 k 2
R = ∣ r ∣ 2 , T = k 2 k 1 ∣ t ∣ 2 , R + T = 1. R=|r|^2,
\qquad
T=\frac{k_2}{k_1}|t|^2,
\qquad
R+T=1. R = ∣ r ∣ 2 , T = k 1 k 2 ∣ t ∣ 2 , R + T = 1. 透射率不等于
∣ t ∣ 2 |t|^2 ∣ t ∣ 2 E < V 0 E<V_0 E < V 0 t e − κ x t e^{-\kappa x} t e − κ x R = 1 R=1 R = 1 1 / κ 1/\kappa 1/ κ
例 2：高于势阶仍会量子反射
电子能量
E = 4.00 e V E=4.00\,\mathrm{eV} E = 4.00 eV V 0 = 1.00 e V V_0=1.00\,\mathrm{eV} V 0 = 1.00 eV
k 2 k 1 = E − V 0 E = 3 4 = 0.866. \frac{k_2}{k_1}
=\sqrt{\frac{E-V_0}{E}}
=\sqrt{\frac34}=0.866. k 1 k 2 = E E − V 0 = 4 3 = 0.866. 所以
R = ( 1 − 0.866 1 + 0.866 ) 2 = 0.00515 , T = 0.99485. R=\left(\frac{1-0.866}{1+0.866}\right)^2
=0.00515,
\qquad
T=0.99485. R = ( 1 + 0.866 1 − 0.866 ) 2 = 0.00515 , T = 0.99485. 经典粒子在
E > V 0 E>V_0 E > V 0 0.515 % 0.515\% 0.515% E / V 0 E/V_0 E / V 0
矩形势垒与隧穿
令
V = V 0 V=V_0 V = V 0 0 < x < a 0<x<a 0 < x < a V = 0 V=0 V = 0 0 < E < V 0 0<E<V_0 0 < E < V 0 x = 0 , a x=0,a x = 0 , a ϕ , ϕ ′ \phi,\phi' ϕ , ϕ ′
T = [ 1 + V 0 2 sinh 2 ( κ a ) 4 E ( V 0 − E ) ] − 1 , T
=\left[
1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}
{4E(V_0-E)}
\right]^{-1}, T = [ 1 + 4 E ( V 0 − E ) V 0 2 sinh 2 ( κa ) ] − 1 , 其中
κ = 2 m ( V 0 − E ) ℏ . \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}. κ = ℏ 2 m ( V 0 − E ) . 当
κ a ≫ 1 \kappa a\gg1 κa ≫ 1
T ≈ 16 E ( V 0 − E ) V 0 2 e − 2 κ a . T\approx
\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}
e^{-2\kappa a}. T ≈ V 0 2 16 E ( V 0 − E ) e − 2 κa . 指数
2 κ a 2\kappa a 2 κa e − 2 κ a e^{-2\kappa a} e − 2 κa R + T = 1 R+T=1 R + T = 1
例 3：电子穿过亚纳米矩形势垒
电子
E = 1.00 e V E=1.00\,\mathrm{eV} E = 1.00 eV V 0 = 3.00 e V V_0=3.00\,\mathrm{eV} V 0 = 3.00 eV a = 0.500 n m a=0.500\,\mathrm{nm} a = 0.500 nm 2.00 e V 2.00\,\mathrm{eV} 2.00 eV
κ = 2 m e ( 2.00 e V ) ℏ = 7.24 n m − 1 , κ a = 3.62. \kappa
=\frac{\sqrt{2m_e(2.00\,\mathrm{eV})}}{\hbar}
=7.24\,\mathrm{nm^{-1}},
\qquad
\kappa a=3.62. κ = ℏ 2 m e ( 2.00 eV ) = 7.24 n m − 1 , κa = 3.62. 代入精确式，
T = [ 1 + 9 8 sinh 2 ( 3.62 ) ] − 1 ≈ 2.55 × 10 − 3 . T
=\left[1+\frac9{8}\sinh^2(3.62)\right]^{-1}
\approx2.55\times10^{-3}. T = [ 1 + 8 9 sinh 2 ( 3.62 ) ] − 1 ≈ 2.55 × 1 0 − 3 . 约
0.255 % 0.255\% 0.255% 0.100 n m 0.100\,\mathrm{nm} 0.100 nm e − 2 κ ( 0.100 n m ) = e − 1.448 = 0.235 e^{-2\kappa(0.100\,\mathrm{nm})}
=e^{-1.448}=0.235 e − 2 κ ( 0.100 nm ) = e − 1.448 = 0.235
有限深对称势阱
取
V = 0 V=0 V = 0 ∣ x ∣ < a |x|<a ∣ x ∣ < a V = V 0 V=V_0 V = V 0 ∣ x ∣ ≥ a |x|\ge a ∣ x ∣ ≥ a 0 < E < V 0 0<E<V_0 0 < E < V 0
k = 2 m E ℏ , κ = 2 m ( V 0 − E ) ℏ , k 2 + κ 2 = 2 m V 0 ℏ 2 . k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},
\qquad
\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar},
\qquad
k^2+\kappa^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2}. k = ℏ 2 m E , κ = ℏ 2 m ( V 0 − E ) , k 2 + κ 2 = ℏ 2 2 m V 0 . 在
x = a x=a x = a
k tan ( k a ) = κ （偶态） , k\tan(ka)=\kappa
\quad\text{（偶态）}, k tan ( ka ) = κ （偶态） , − k cot ( k a ) = κ （奇态） . -k\cot(ka)=\kappa
\quad\text{（奇态）}. − k cot ( ka ) = κ （奇态） . 这是超越方程，允许根的数量有限。解可用无量纲变量
z = k a z=ka z = ka z 0 = a 2 m V 0 / ℏ z_0=a\sqrt{2mV_0}/\hbar z 0 = a 2 m V 0 /ℏ z 0 z_0 z 0
偶基态无节点，随后奇偶交替；一维普通束缚态在温和条件下不简并。数值求根后仍需构造分段波函数、匹配振幅并对全空间归一化，只找到
E E E
无量纲根与束缚态数量
定义
z = k a , z 0 = a 2 m V 0 ℏ , y = κ a = z 0 2 − z 2 . z=ka,
\qquad
z_0=\frac{a\sqrt{2mV_0}}{\hbar},
\qquad
y=\kappa a=\sqrt{z_0^2-z^2}. z = ka , z 0 = ℏ a 2 m V 0 , y = κa = z 0 2 − z 2 . 偶、奇条件分别变成
z tan z = z 0 2 − z 2 , − z cot z = z 0 2 − z 2 , z\tan z=\sqrt{z_0^2-z^2},
\qquad
-z\cot z=\sqrt{z_0^2-z^2}, z tan z = z 0 2 − z 2 , − z cot z = z 0 2 − z 2 , 且
0 < z < z 0 0<z<z_0 0 < z < z 0 tan z \tan z tan z cot z \cot z cot z E = ℏ 2 z 2 / ( 2 m a 2 ) E=\hbar^2z^2/(2ma^2) E = ℏ 2 z 2 / ( 2 m a 2 )
一维有限吸引势阱在常见条件下至少有一个偶束缚态；较浅阱可能没有奇态。随着
z 0 z_0 z 0 2 z 0 / π 2z_0/\pi 2 z 0 / π
一维束缚态的节点与非简并
对同一实势，设两个平方可积本征函数
ϕ a , ϕ b \phi_a,\phi_b ϕ a , ϕ b
W = ϕ a ϕ b ′ − ϕ a ′ ϕ b W=\phi_a\phi_b'-\phi_a'\phi_b W = ϕ a ϕ b ′ − ϕ a ′ ϕ b 满足
W ′ = 0 W'=0 W ′ = 0 W = 0 W=0 W = 0
按能量从低到高排列，基态可取处处同号且无内部节点，第
n n n n − 1 n-1 n − 1
本征态正交：
∫ ϕ m ∗ ( x ) ϕ n ( x ) d x = 0 , E m ≠ E n . \int\phi_m^*(x)\phi_n(x)\,\mathrm dx=0,
\qquad E_m\ne E_n. ∫ ϕ m ∗ ( x ) ϕ n ( x ) d x = 0 , E m = E n . 任意归一化束缚初态可展开为这些离散态并可能加上连续谱部分；只保留有限个束缚态时，应报告遗漏连续谱的范数。
吸引 δ 势：导数跳变
取
V ( x ) = − g δ ( x ) , g > 0 , V(x)=-g\delta(x),
\qquad g>0, V ( x ) = − g δ ( x ) , g > 0 , g g g J m \mathrm{J\,m} J m
ϕ ′ ( 0 + ) − ϕ ′ ( 0 − ) = − 2 m g ℏ 2 ϕ ( 0 ) . \phi'(0^+)-\phi'(0^-)
=-\frac{2mg}{\hbar^2}\phi(0). ϕ ′ ( 0 + ) − ϕ ′ ( 0 − ) = − ℏ 2 2 m g ϕ ( 0 ) . 束缚态为
ϕ ( x ) = κ e − κ ∣ x ∣ , κ = m g ℏ 2 , \phi(x)=\sqrt{\kappa}\,e^{-\kappa|x|},
\qquad
\kappa=\frac{mg}{\hbar^2}, ϕ ( x ) = κ e − κ ∣ x ∣ , κ = ℏ 2 m g , 能量
E = − ℏ 2 κ 2 2 m = − m g 2 2 ℏ 2 . E=-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}
=-\frac{mg^2}{2\hbar^2}. E = − 2 m ℏ 2 κ 2 = − 2 ℏ 2 m g 2 . 它只有一个偶束缚态。若误用有限势的
ϕ ′ \phi' ϕ ′ g g g
例 4：由局域长度求 δ 势束缚能
某电子吸引
δ \delta δ κ = 2.00 n m − 1 \kappa=2.00\,\mathrm{nm^{-1}} κ = 2.00 n m − 1 1 / κ = 0.500 n m 1/\kappa=0.500\,\mathrm{nm} 1/ κ = 0.500 nm
E = − ℏ 2 κ 2 2 m e = − 2.44 × 10 − 20 J = − 0.152 e V . E=-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m_e}
=-2.44\times10^{-20}\,\mathrm J
=-0.152\,\mathrm{eV}. E = − 2 m e ℏ 2 κ 2 = − 2.44 × 1 0 − 20 J = − 0.152 eV . 归一化因子
κ \sqrt\kappa κ m − 1 / 2 \mathrm{m^{-1/2}} m − 1/2
WKB 近似与经典极限
对缓慢变化势，定义局部经典动量
p ( x ) = 2 m [ E − V ( x ) ] . p(x)=\sqrt{2m[E-V(x)]}. p ( x ) = 2 m [ E − V ( x )] . 允许区
E > V E>V E > V
ϕ ( x ) ≈ C ± p ( x ) exp [ ± i ℏ ∫ x p ( x ′ ) d x ′ ] . \phi(x)\approx
\frac{C_\pm}{\sqrt{p(x)}}
\exp\!\left[
\pm\frac{i}{\hbar}\int^x p(x')\,\mathrm dx'
\right]. ϕ ( x ) ≈ p ( x ) C ± exp [ ± ℏ i ∫ x p ( x ′ ) d x ′ ] . 禁阻区定义
κ ( x ) = 2 m [ V ( x ) − E ] / ℏ \kappa(x)=\sqrt{2m[V(x)-E]}/\hbar κ ( x ) = 2 m [ V ( x ) − E ] /ℏ x 1 , x 2 x_1,x_2 x 1 , x 2
T ∼ exp [ − 2 ∫ x 1 x 2 κ ( x ) d x ] . T\sim
\exp\!\left[
-2\int_{x_1}^{x_2}\kappa(x)\,\mathrm dx
\right]. T ∼ exp [ − 2 ∫ x 1 x 2 κ ( x ) d x ] . 近似要求势在一个局部波长上变化很小，典型作用量远大于
ℏ \hbar ℏ E = V ( x ) E=V(x) E = V ( x ) p → 0 p\to0 p → 0
经典极限可从两方面看到：若禁阻区作用量
∫ ∣ p ∣ d x ≫ ℏ \int|p|\,\mathrm dx\gg\hbar ∫ ∣ p ∣ d x ≫ ℏ E ≫ V 0 E\gg V_0 E ≫ V 0 ( V 0 / 4 E ) 2 (V_0/4E)^2 ( V 0 /4 E ) 2
共振与散射相位
有限势垒或双势垒不仅给透射概率，还改变透射相位。对
E > V 0 E>V_0 E > V 0 π \pi π T T T
例 5：高于矩形势垒的共振透射
电子能量
E = 5.00 e V E=5.00\,\mathrm{eV} E = 5.00 eV V 0 = 1.00 e V V_0=1.00\,\mathrm{eV} V 0 = 1.00 eV E − V 0 = 4.00 e V E-V_0=4.00\,\mathrm{eV} E − V 0 = 4.00 eV
k 2 = 5.12 4.00 n m − 1 = 10.2 n m − 1 . k_2=5.12\sqrt{4.00}\,\mathrm{nm^{-1}}
=10.2\,\mathrm{nm^{-1}}. k 2 = 5.12 4.00 n m − 1 = 10.2 n m − 1 . 选择宽度
a = π k 2 = 0.307 n m , a=\frac{\pi}{k_2}=0.307\,\mathrm{nm}, a = k 2 π = 0.307 nm , 垒内相位
k 2 a = π k_2a=\pi k 2 a = π T = 1 T=1 T = 1 a a a E E E
只画
T ( E ) T(E) T ( E ) R + T ≠ 1 R+T\ne1 R + T = 1
流归一化散射矩阵
左右渐近区域波数可能不同。若直接用波函数振幅作为通道系数，散射矩阵不呈普通欧氏幺正。定义流归一化振幅
A ~ = ℏ k m A , \tilde A=\sqrt{\frac{\hbar k}{m}}A, A ~ = m ℏ k A , 则
∣ A ~ ∣ 2 |\tilde A|^2 ∣ A ~ ∣ 2 a i n \boldsymbol a_{\rm in} a in a o u t \boldsymbol a_{\rm out} a out
a o u t = S a i n , S † S = I \boldsymbol a_{\rm out}
=S\boldsymbol a_{\rm in},
\qquad
S^\dagger S=I a out = S a in , S † S = I ，前提是势为实、无吸收且所有开放通道都包含。这个表达把
R + T = 1 R+T=1 R + T = 1
分段常势数值计算常用传递矩阵逐层相乘，但厚禁阻层包含
e + κ a e^{+\kappa a} e + κa e − κ a e^{-\kappa a} e − κa
束缚态、散射态与共振态不能混用归一化
束缚态在两侧无穷远指数衰减，可令
∫ ∣ ϕ ∣ 2 d x = 1 \int|\phi|^2\,\mathrm dx=1 ∫ ∣ ϕ ∣ 2 d x = 1 δ ( E − E ′ ) \delta(E-E') δ ( E − E ′ )
共振表现为
T ( E ) T(E) T ( E )
E r e s − i Γ 2 , E_{\rm res}-i\frac{\Gamma}{2}, E res − i 2 Γ , 其中
Γ \Gamma Γ τ = ℏ / Γ \tau=\hbar/\Gamma τ = ℏ/Γ
实际入射粒子是有限波包，包含一段能量宽度。若宽度远小于共振宽度，可用中心能量的
T T T
常见误区与边界
常见误区
“波函数进入势垒表示粒子在势垒中有负动能。”定态方程在禁阻区给指数解；能量测量仍是总能量
E E E E − V < 0 E-V<0 E − V < 0
常见误区
“透射率就是透射振幅平方。”不同区域群速度不同时，
T T T k 2 / k 1 k_2/k_1 k 2 / k 1
常见误区
“任何界面都要求导数连续。”有限普通势且质量恒定时成立；
δ \delta δ
高于势垒仍可能反射
势阶例题中
E > V 0 E>V_0 E > V 0 R > 0 R>0 R > 0
数据探索：隧穿的指数灵敏度
固定电子
E = 1.00 e V E=1.00\,\mathrm{eV} E = 1.00 eV V 0 = 3.00 e V V_0=3.00\,\mathrm{eV} V 0 = 3.00 eV a = 0.20 , 0.30 , 0.40 , 0.50 , 0.60 n m a=0.20,0.30,0.40,0.50,0.60\,\mathrm{nm} a = 0.20 , 0.30 , 0.40 , 0.50 , 0.60 nm T T T ln T \ln T ln T a a a − 2 κ = − 14.5 n m − 1 -2\kappa=-14.5\,\mathrm{nm^{-1}} − 2 κ = − 14.5 n m − 1 m − 1 \mathrm{m^{-1}} m − 1
同时比较精确式和指数近似的相对误差。小
a a a κ a \kappa a κa 0 ≤ T ≤ 1 0\le T\le1 0 ≤ T ≤ 1 R + T = 1 R+T=1 R + T = 1
练习
练习
所属知识 无限深势阱
难度 2/5 无限深势阱中
E 1 = 0.200 e V E_1=0.200\,\mathrm{eV} E 1 = 0.200 eV E 3 E_3 E 3
查看提示 E n = n 2 π 2 ℏ 2 / ( 2 m L 2 ) E_n=n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}/(2mL^{2}) E n = n 2 π 2 ℏ 2 / ( 2 m L 2 ) ，第三能级与基态之比为 9。
查看解答 E 3 = 9 E 1 = 1.80 e V E_3=9E_1=1.80\,\mathrm{eV} E 3 = 9 E 1 = 1.80 eV E 3 − E 1 = 1.60 e V E_3-E_1=1.60\,\mathrm{eV} E 3 − E 1 = 1.60 eV
练习
所属知识 势阶流匹配
难度 3/5 某势阶散射有
k 2 / k 1 = 0.500 k_2/k_1=0.500 k 2 / k 1 = 0.500 R , T R,T R , T
查看提示 令
q = k 2 / k 1 q=k_{2}/k_{1} q = k 2 / k 1 ，
R = [ ( 1 − q ) / ( 1 + q ) ] 2 R=[(1-q)/(1+q)]^{2} R = [( 1 − q ) / ( 1 + q ) ] 2 ，
T = 4 q / ( 1 + q ) 2 T=4q/(1+q)^{2} T = 4 q / ( 1 + q ) 2 。
查看解答 R = ( 0.5 / 1.5 ) 2 = 1 / 9 = 0.111 R=(0.5/1.5)^2=1/9=0.111 R = ( 0.5/1.5 ) 2 = 1/9 = 0.111 T = 4 ( 0.500 ) / ( 1.500 ) 2 = 8 / 9 = 0.889 T=4(0.500)/(1.500)^2=8/9=0.889 T = 4 ( 0.500 ) / ( 1.500 ) 2 = 8/9 = 0.889 R + T = 1 R+T=1 R + T = 1
练习
所属知识 禁阻区衰减
难度 2/5 禁阻区
κ = 4.00 n m − 1 \kappa=4.00\,\mathrm{nm^{-1}} κ = 4.00 n m − 1 d = 0.500 n m d=0.500\,\mathrm{nm} d = 0.500 nm
查看提示 概率密度随
∣ ψ ∣ 2 |\psi |^{2} ∣ ψ ∣ 2 衰减，因此长度 d 带来
e − 2 κ d e^{-2\kappa d} e − 2 κ d 因子。
查看解答 ∣ ϕ ( d ) ∣ 2 / ∣ ϕ ( 0 ) ∣ 2 = e − 2 κ d = e − 4 = 0.0183 |\phi(d)|^2/|\phi(0)|^2
=e^{-2\kappa d}
=e^{-4}=0.0183 ∣ ϕ ( d ) ∣ 2 /∣ ϕ ( 0 ) ∣ 2 = e − 2 κ d = e − 4 = 0.0183
练习
所属知识 矩形势垒
难度 3/5 κ = 5.00 n m − 1 \kappa=5.00\,\mathrm{nm^{-1}} κ = 5.00 n m − 1 0.200 n m 0.200\,\mathrm{nm} 0.200 nm
查看提示 厚垒近似下宽度增加
Δ a \Delta a Δ a 使 T 比值约为
e − 2 κ Δ a e^{-2\kappa \Delta a} e − 2 κ Δ a 。
查看解答 T n e w / T o l d ≈ e − 2 ( 5.00 ) ( 0.200 ) = e − 2 = 0.135 T_{\rm new}/T_{\rm old}
\approx e^{-2(5.00)(0.200)}
=e^{-2}=0.135 T new / T old ≈ e − 2 ( 5.00 ) ( 0.200 ) = e − 2 = 0.135
练习
所属知识 有限势阱奇偶条件
难度 4/5 说明为什么有限对称势阱不能只解
k tan ( k a ) = κ k\tan(ka)=\kappa k tan ( ka ) = κ
查看提示 偶态用
k tan ( k a ) = κ k\tan(ka)=\kappa k tan ( ka ) = κ ；奇态用
− k cot ( k a ) = κ -k\cot(ka)=\kappa − k cot ( ka ) = κ ，并同时满足
k 2 + κ 2 = 2 m V 0 / ℏ 2 k^2+\kappa^2=2mV_0/\hbar^2 k 2 + κ 2 = 2 m V 0 / ℏ 2 。
查看解答 k tan ( k a ) = κ k\tan(ka)=\kappa k tan ( ka ) = κ cos k x \cos kx cos k x sin k x \sin kx sin k x − k cot ( k a ) = κ -k\cot(ka)=\kappa − k cot ( ka ) = κ
练习
所属知识 δ 势匹配
难度 4/5 把
ϕ = A e − κ ∣ x ∣ \phi=Ae^{-\kappa|x|} ϕ = A e − κ ∣ x ∣ − g δ ( x ) -g\delta(x) − g δ ( x ) κ \kappa κ
查看提示 对
A e − κ ∣ x ∣ Ae^{-\kappa |x|} A e − κ ∣ x ∣ ，两侧导数分别为
− κ A -\kappa A − κ A 与
+ κ A +\kappa A + κ A 。
查看解答 ϕ ′ ( 0 + ) = − κ A \phi'(0^+)=-\kappa A ϕ ′ ( 0 + ) = − κ A ϕ ′ ( 0 − ) = + κ A \phi'(0^-)=+\kappa A ϕ ′ ( 0 − ) = + κ A − 2 κ A -2\kappa A − 2 κ A − ( 2 m g / ℏ 2 ) A -(2mg/\hbar^2)A − ( 2 m g / ℏ 2 ) A κ = m g / ℏ 2 \kappa=mg/\hbar^2 κ = m g / ℏ 2
关系、资源与后续学习
课程 · 2013 Quantum Physics I Allan Adams, Matthew Evans, Barton Zwiebach
用于核对 P07 的态与概率解释、时间演化、概率流、一维束缚态和散射计算，并明确理想势模型的适用边界。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.04《Quantum Physics I》覆盖一维势阱、势阶、隧穿、散射与谐振，可用于复习本章边界条件并比较不同一维势的解法。
下一步可学习 角动量、自旋与全同粒子 ，把一维边界直觉推广到旋转对称和内部自由度。随后进入
量子力学综合复习
，在同一问题中联合使用状态、测量、时间演化、散射流和经典极限。
课程 · 2013 Quantum Physics II Barton Zwiebach
用于核对 P07 的算符表象、投影测量、角动量代数、自旋系统、复合系统与全同粒子例题。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.05《Quantum Physics II》支撑本章从一维分段势的具体解过渡到谱与算符方法：束缚态属于离散谱，散射态需要连续归一，完备展开和 Green 函数方法则可统一处理更一般的势。该来源在本章具体支持边界条件与谱类型的对应，也限定“能量本征函数可归一”必须区分平方可积归一和 Dirac δ 归一。