交互实验室

步骤 0 / 96速度

读取当前图形说明

m=1 kg、k=1 N/m、c=0.40 kg/s，ζ=0.2000，处于欠阻尼 ζ<1。初值 x₀=1 m、v₀=-0.957 m/s，时间推进到 t=0.00 s，当前位移 1.00000 m。

键盘：空格播放或暂停，左右方向键单步，Home 重置。

全部单位为 SI：m=1 kg，k=1 N/m，c 以 kg/s 计；包络是同族解析上界，临界分支判定阈值为 |ζ−1|≤10⁻⁹。数值核验通过：每个采样时刻满足 m x″+c x′+k x=0（解析导数复算），且 |x(t)| 不超过解析包络上界。残差 0.00e+0。

科学说明

以下说明给出当前实现、自动复算口径与适用范围。

观察目标: 观察阻尼比 ζ 跨越 1 时，自由振动位移曲线如何从衰减振荡变为最快无振荡返回，再变为缓慢爬行。
数学模型: 取 m=1 kg、k=1 N/m，方程 m x″+c x′+k x=0，ω₀=√(k/m)=1 rad/s，ζ=c/(2√(mk))；按 ζ<1、ζ=1、ζ>1 分别使用指数乘三角、(C+Dt)e^(−ω₀t) 与双指数解析解。
假设与适用范围: 弹簧与阻尼器均为线性元件且无外力；初值 x(0)=1 m，v(0) 由种子在 [−1,1] m/s 内确定。
c=2 kg/s 的临界情形使用重根解；数值上以 |ζ−1|≤10⁻⁹ 判入该分支。
操作步骤: 调节阻尼系数 c（kg/s），使系统分别处于三种 regime。
播放或单步推进时间，比较位移曲线与解析包络上界。
读取 ζ、ω₀ 与阻尼频率 ω_d，核对界面显示的 regime 分类。
预期现象: ζ<1 时位移以 ω_d=ω₀√(1−ζ²) 振荡，并被 ±√(x₀²+B²)e^(−ζω₀t) 包络。
相同初值下临界阻尼比过阻尼更快回到平衡位置附近，过阻尼的慢模态拖出长尾。
数值验证: 对每个采样时刻用解析一、二阶导数复算残差 m x″+c x′+k x，要求处于机器精度量级。
逐步核对 |x(t)| 不超过同族解析包络上界。
局限: 线性单自由度模型不含干摩擦、非线性弹簧与受迫共振。
包络是幅值上界，不代表每个时刻都达到该值。
相关正文: 简谐振子、阻尼与受迫共振

阻尼振动的三种 regime

正在加载交互实验…