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对 f(x)=eˣ，[0,1] 使用中点法则，当前分割数 n=0，解析积分 I=1.718282，尚未计算求积和。

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端点法则界为 M₁(b−a)²/(2n)，中点法则界为 M₂(b−a)³/(24n²)；界是全局上界，不是逐点渐近式。种子只选择被积函数。数值核验通过：每个已计算分割的误差都不超过对应法则的经典误差界，且反向求和复算一致。残差 0.00e+0。

科学说明

以下说明给出当前实现、自动复算口径与适用范围。

观察目标: 观察三种求积法则的误差 |Sₙ−I| 随分割数 n 的收敛速度，并核对误差始终不超过经典先验界。
数学模型: 对固定区间上的 f 计算复合左、右、中点和 Sₙ；端点法则误差界为 M₁(b−a)²/(2n)，中点法则为 M₂(b−a)³/(24n²)，其中 M₁=max|f′|、M₂=max|f″|；解析积分值 I 用于对照。
假设与适用范围: 种子只从 {x²∈[0,1], sin x∈[0,π], eˣ∈[0,1]} 中确定被积函数，I、M₁、M₂ 随之解析确定。
被积函数足够光滑，使各法则的经典误差估计成立。
操作步骤: 选择左、右或中点法则，逐步增加分割数 n。
比较实测误差曲线与对应阶的误差界曲线。
切换法则，比较一阶收敛与二阶收敛的差别。
预期现象: 左、右法则的误差约按 1/n 下降，中点法则约按 1/n² 下降。
实测误差始终位于误差界曲线之下，而界通常偏保守。
数值验证: 每个 n 的 Sₙ 由求和独立复算，I 由解析原函数在端点取值得到。
逐步核对 |Sₙ−I| 不超过当前法则对应的经典误差界。
局限: 三个光滑示例不能代表间断、剧烈振荡或无界函数的积分行为。
经典界使用全局导数上界，不是逐点渐近误差的精确表达式。
相关正文: 积分与累积：从黎曼和到微积分基本定理

黎曼和逼近定积分

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