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返回映射显示 logistic 映射 r=3.900 的 0 个相空间点 (xₙ,xₙ₊₁)。两条初值相差 10⁻⁸ 的轨迹末态距离为 1.000e-8，有限时间 Lyapunov 指标为 0.0000。

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当前有限轨迹未呈平均指数放大。数值核验通过：两条 logistic 轨迹在每一步都保持于不变区间 [0,1]。残差 0.00e+0。

科学说明

以下说明给出当前实现、自动复算口径与适用范围。

观察目标: 观察确定性非线性映射中邻近初值的收敛、周期行为与敏感依赖。
数学模型: 使用 xₙ₊₁=r xₙ(1−xₙ)，并同步推进相差 10⁻⁸ 的两条轨迹；有限时间指标为平均 log|r(1−2xₙ)|。
假设与适用范围: r∈[3.2,4] 且初值严格位于 (0,1)。
数值轨迹使用双精度浮点数，长时间后会受到舍入和有限状态空间影响。
操作步骤: 调节 r 并固定种子生成初值。
在 (xₙ,xₙ₊₁) 返回映射中逐步加入轨道点，并以对角线识别不动点与周期结构。
在周期窗口和混沌区比较相空间点集与有限时间 Lyapunov 指标。
预期现象: 部分参数产生稳定周期轨道，接近 4 的参数通常表现出明显敏感依赖。
正的有限时间指标对应局部扰动平均指数放大，但短轨迹可能误判。
数值验证: 每一步独立检查 xₙ 与扰动轨迹均在 [0,1]。
轨迹更新、距离和导数对数由同一映射逐项复算。
局限: logistic 映射是离散教学模型，不是所有物理混沌系统的相空间方程。
有限精度轨迹不能预测真实混沌系统的任意长期状态。
相关正文: 相空间、Poincaré 截面与确定性混沌

相空间与混沌

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