交互实验室

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固定种子生成 40 个散点，当前使用前 0 个；真实关系 y=0.8+1.2x，噪声尺度 σ=0.80。样本不足两点，尚未拟合斜率。

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x 与噪声均由种子确定；n<2 时只显示截距模型（均值线）。误差曲线统计 |β̂−β|，不是泛化误差。数值核验通过：残差与 {1,x} 正交（Σr=0、Σxr=0，按数据尺度缩放），RSS 非负且由残差直接求和复算。残差 0.00e+0。

科学说明

以下说明给出当前实现、自动复算口径与适用范围。

观察目标: 观察样本逐个加入时闭式最小二乘解如何更新，以及斜率、截距误差随样本量的典型下降。
数学模型: 数据 yᵢ=0.8+1.2xᵢ+σεᵢ，εᵢ 为由种子确定的 Box–Muller 标准正态；β̂₁=Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)/Σ(xᵢ−x̄)²，β̂₀=ȳ−β̂₁x̄，RSS=Σ(yᵢ−β̂₀−β̂₁xᵢ)²。
假设与适用范围: x 在 [0,10] 上由种子均匀抽取；噪声与 x 独立、均值为零、同方差，σ 由参数控制。
样本量小于 2 时不报告斜率拟合，仅按截距模型展示均值线。
操作步骤: 设置噪声尺度 σ 与种子，逐点加入样本。
比较当前拟合线、真实生成线和残差平方和的变化。
改变 σ 后用同一种子重放，比较误差曲线的量级。
预期现象: σ=0 时闭式解在机器精度内复现真实参数；σ 增大时误差曲线整体抬升但仍趋降。
单个离群点可能暂时明显拉动直线，继续加样后影响被稀释。
数值验证: 核对正规方程正交性：Σrᵢ=0 与 Σxᵢrᵢ=0 在按数据尺度缩放的容差内成立。
RSS 由残差直接求和复算且非负；相同状态重复建模必须逐点相等。
局限: 一元高斯噪声示例不代表异方差、相关误差或模型误设情形。
训练数据上的拟合优度不能替代独立数据的泛化评估。
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