术语从定义进入关系。

若方程可写成 $y'=g(t)h(y),$ 则称它可分离。在 $h(y)\ne0$ 的区域内可写为 $\frac{\mathrm dy}{h(y)}=g(t)\,\mathrm dt,$ 从而得到隐式关系 $\int\frac{\mathrm dy}{h(y)} =\int g(t)\,\mathrm dt+C.$ 每个满足 $h(y_*)=0$ 的常值函数 $y\equiv y_*$ 都应在除以 $h(y)$ 前单独记录。

设 $F$ 为域，次数至少为一的多项式 $f\in F[x]$ 若能写成 $f=gh$ ，其中 $\deg g,\deg h\ge1$ ，则称 $f$ 在 $F[x]$ 中可约；否则称不可约。非零常数是单位，不计作非平凡因子。

对不等式乘子 $\lambda\in\mathbb R^m$ 和等式乘子 $\nu\in\mathbb R^r$ ，定义 $L(x,\lambda,\nu) =f(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_i g_i(x) +\sum_{j=1}^r\nu_j h_j(x).$ 对偶函数是把 $x$ 消去后得到的下确界 $q(\lambda,\nu)=\inf_{x\in\mathbb R^n}L(x,\lambda,\nu).$ 拉格朗日对偶问题为 $\max_{\lambda,\nu}\ q(\lambda,\nu) \qquad\text{s.t.}\qquad \lambda\ge0.$

若分布可写成离散测度与绝对连续测度的非平凡加权和，则称为混合分布。CDF 同时具有跳跃与连续增长区段；跳跃记录点质量，连续部分由密度积分记录。

分析 Bernoulli、二项、几何和 Poisson 分布的参数、支持集与典型生成机制。

对有限问题，把待研究对象记为集合 $\Omega$ ，把结构约束记为关系或谓词 $R$ ，把目标量记为 $F(\Omega,R)$ 。一份闭合的离散论证应当给出： 1. 对象的无歧义编码与相等标准； 2. 分类、映射或算法步骤不会遗漏或重复对象的理由； 3. 基例、终止性或有限性条件； 4. 能从输入直接复算的计数、边集、邻集或序关系； 5. 反例所破坏的确切假设。

若存在实数 $I$ ，使对每个 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ ，只要分割满足 $\lVert P\rVert<\delta$ ，无论各取样点如何选择，都有 $\left|\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i-I\right|<\varepsilon,$ 则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，并记 $I=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.$

若存在非空开集 $U,V\subseteq X$ 满足 $X=U\cup V, \qquad U\cap V=\varnothing,$ 则称 $(U,V)$ 是 $X$ 的一个分离。不存在分离时称 $X$ 连通。等价地， $X$ 唯一既开又闭的子集是 $\varnothing$ 与 $X$ 。 若任意 $x,y\in X$ 都存在连续映射 $\gamma:[0,1]\to X$ 满足 $\gamma(0)=x$ 、 $\gamma(1)=y$ ，则称 $X$ 道路连通， $\gamma$ 称为从 $x$ 到 $y$ 的道路。

设薄片占据 $D\subset\mathbb R^2$ ，面密度 $\sigma(x,y)\ge0$ ，单位为质量每面积。若总质量 $m=\iint_D\sigma(x,y)\,\mathrm dA$ 有限且为正，则质心为 $\bar x=\frac1m\iint_Dx\sigma(x,y)\,\mathrm dA, \qquad \bar y=\frac1m\iint_Dy\sigma(x,y)\,\mathrm dA.$

用概率密度和积分研究均匀、正态、指数等连续分布及其参数。

映射 $f:(X,\tau_X)\to(Y,\tau_Y)$ 若对每个开集 $V\in\tau_Y$ 都有 $f^{-1}(V)\in\tau_X$ ，则称 $f$ 连续。若双射 $f$ 连续且逆映射 $f^{-1}$ 也连续，则称 $f$ 为同胚，称 $X$ 与 $Y$ 同胚。

随机向量 $(X,Y)$ 的联合分布是映射 $\omega\mapsto(X(\omega),Y(\omega))$ 在 $\mathbb R^2$ 上的推前概率测度。联合 CDF 为 $F_{X,Y}(x,y)=\mathbb P(X\le x,Y\le y).$ 离散情形使用联合 PMF $p_{X,Y}(x,y)=\mathbb P(X=x,Y=y);$ 绝对连续情形使用联合密度 $f_{X,Y}$ ，使区域 $D$ 的概率为 $\iint_D f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$ 。

描述多个随机变量的共同变化，并由边缘化和条件化提取局部规律。

把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积，并推广到多变量映射。

若 $g$ 在 $x$ 可导， $f$ 在 $g(x)$ 可导，则复合函数 $f\circ g$ 在 $x$ 可导，并且 $(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).$

事件 $A$ 与 $B$ 独立，当且仅当 $\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B).$

一个无限集合 $A$ 可数，当且仅当能写出序列 $a_0,a_1,a_2,\ldots$ 使 $A$ 的每个元素在序列中恰好出现一次。允许暂时重复的列表仍可证明“至多可数”，前提是能依次删除重复项且不会遗漏元素。

求解映射到零向量的全部输入，并用秩-零化度关系连接自由度。

从局部欧氏的拓扑流形出发，以相容坐标图定义光滑结构和光滑映射，再用曲线等价类构造切空间与映射微分，并由秩条件区分浸入、浸没、嵌入和正则子流形。

一个 $n$ 维光滑流形的定向可以由一族坐标图给出，要求任意重叠处的坐标过渡 Jacobian 行列式为正。等价地，若流形存在处处非零的光滑顶次形式 $\mu$ ，可规定使 $\mu(v_1,\ldots,v_n)>0$ 的有序基为正向基。 对定向带边流形 $M$ ，边界采用“外向优先”约定：若 $\nu$ 是指向流形外部的横截向量，则 $(v_1,\ldots,v_{n-1})$ 是 $T_p\partial M$ 的正向基，当且仅当 $(\nu,v_1,\ldots,v_{n-1})$ 是 $T_pM$ 的正向基。

设 $F:M\to N$ 是映射， $M,N$ 分别是 $m,n$ 维光滑流形。若对每个 $p\in M$ ，可取 $p$ 附近的图 $(U,\varphi)$ 与 $F(p)$ 附近的图 $(V,\psi)$ ，使 $F(U)\subseteq V$ 且坐标表示 $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}: \varphi(U)\to\psi(V)$ 在 $\varphi(p)$ 附近为 $C^\infty$ ，则称 $F$ 在 $p$ 光滑；若处处如此，则称 $F$ 光滑。

设响应向量 $Y\in\mathbb R^n$ 、给定设计矩阵 $X\in\mathbb R^{n\times p}$ 、未知参数 $\beta\in\mathbb R^p$ ，线性模型写为 $Y=X\beta+\varepsilon,$ 并满足 $\mathbb E(\varepsilon\mid X)=0, \qquad \operatorname{Var}(\varepsilon\mid X)=\sigma^2I_n, \qquad \sigma^2>0.$ 若 $\operatorname{rank}(X)=p$ ，称设计矩阵满列秩。此时 $X^{\mathsf T}X$ 可逆， $\beta$ 在该设计下可识别，普通最小二乘解唯一。若再假设 $\varepsilon\mid X\sim N_n(0,\sigma^2I_n)$ ，则称为正态线性模型。

以收敛圆组织复幂级数的逐项运算和 Taylor 唯一性，由级数构造指数与三角函数，在明确切割域上选择对数和根式分支，并用首个非零系数刻画零点阶数。

从命题的真假与复合规则出发，掌握蕴含、等价、谓词、全称量词和存在量词，并准确写出否定命题。

命题是能够判定为真或假的陈述，并且在给定语境中恰有一个真值。真值记作 $mathrm T$ 或 $mathrm F$ 。

把向量空间推广到环上的模，建立子模、商模、同态、自由模与有限生成模的基本语言，再以群代数和多项式环上的模统一线性表示与线性算子，并准确陈述有限生成 PID 模结构定理。

把决策变量、目标函数和约束写成明确优化问题，并区分局部与全局最优。

设 $R$ 是整环， $M$ 是 $R$ -模。若 $m\in M$ 满足存在非零 $r\in R$ 使 $rm=0$ ，则称 $m$ 为挠元素。所有挠元素组成子模 $T(M)=\{m\in M:\exists,0\ne r\in R, rm=0\}.$ 若 $T(M)=M$ ，称 $M$ 为挠模；若 $T(M)=0$ ，称 $M$ 无挠。

内积是满足共轭对称、第一变量线性和正定性的映射 $\langle\cdot,\cdot\rangle:H\times H\to\mathbb F$ 。它诱导范数 $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.$ 若 $H$ 关于该范数完备，即每个范数 Cauchy 列都在 $H$ 中收敛，就称 $H$ 为 Hilbert 空间。

在 $\mathbb R^n$ 中，集合 $K$ 紧，当且仅当它闭且有界。这是 Heine–Borel 定理。等价地， $K$ 中任意点列都存在一个收敛子列，并且该子列的极限仍属于 $K$ 。

在 $\mathbb R^n$ 的标准欧氏结构中，内积定义为 $\langle\mathbf x,\mathbf y\rangle =\sum_{i=1}^{n}x_i y_i.$ 它给出长度 $\lVert\mathbf x\rVert_2=\sqrt{\langle\mathbf x,\mathbf x\rangle}$ ， 并在两个向量都非零时给出夹角。若 $\langle\mathbf x,\mathbf y\rangle=0$ ，称二者正交。

从互不共享端点的边集出发，区分极大、最大与完美匹配，用增广路和 Hall 条件分析二部图匹配，说明 Kőnig 对偶的二部图边界，并建立点覆盖、边覆盖与顶点着色的基本界。

图 $G=(V,E)$ 的匹配是边集 $M\subseteq E$ ，其中任意两条边没有公共端点。与 $M$ 中某条边关联的顶点称为已匹配，否则称为未匹配。 - $M$ 是极大匹配，若再加入任何一条边都会破坏匹配性质；这是按集合包含关系“不能继续加”。 - $M$ 是最大匹配，若它在所有匹配中边数最多；最大匹配的大小记为 $\nu(G)$ 。 - $M$ 是完美匹配，若每个顶点都恰被 $M$ 中一条边覆盖。 完美匹配一定最大，最大匹配一定极大；反向蕴含一般不成立。

估计量 $\widehat\theta$ 的偏差和均方误差定义为 $\operatorname{Bias}_\theta(\widehat\theta) =E_\theta[\widehat\theta]-\theta, \qquad \operatorname{MSE}_\theta(\widehat\theta) =E_\theta[(\widehat\theta-\theta)^2].$

在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。

若极限存在，则 $f$ 在 $\mathbf a$ 处关于第 $i$ 个坐标的偏导数定义为 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf a) =\lim_{t\to0} \frac{f(\mathbf a+t\mathbf e_i)-f(\mathbf a)}{t}.$ 它只改变 $x_i$ ，把其他坐标固定。若 $f$ 的输出单位为开尔文、 $x_i$ 的单位为米，则这一分量的单位是开尔文每米；不同坐标具有不同单位时，各偏导数分量的单位也可能不同。

由偏导数进入全微分与 Jacobian，用链式法则和梯度组织一阶变化，再以 Hessian 和可行方向判断无约束及约束局部行为。

用多个自变量的偏导描述场的空间与时间变化，并区分椭圆、抛物和双曲类型。

集合 $P$ 上满足自反、反对称和传递的关系 $\preceq$ 称为偏序，二元组 $(P,\preceq)$ 称为偏序集。若任意 $x,y\in P$ 都有 $x\preceq y$ 或 $y\preceq x$ ，该偏序还是全序。

从可比性、链与反链出发建立格的交与并，严格区分一般偏序、格和布尔代数，并在局部有限条件下推导莫比乌斯反演、布尔区间计数与权限集合案例。

集合 $P$ 上的关系 $\preceq$ 若满足自反性、反对称性和传递性，就称 $(P,\preceq)$ 为偏序集。对 $x,y\in P$ ，若存在最大下界，记为 $x\wedge y$ ；若存在最小上界，记为 $x\vee y$ 。任意一对元素都具有这两个元素时， $P$ 是格。 若格还含最小元 $0$ 与最大元 $1$ ，满足 $x\wedge(y\vee z) =(x\wedge y)\vee(x\wedge z),$ 以及它的对偶分配律，并且每个 $x$ 都有元素 $x'$ 使 $x\wedge x'=0, \qquad x\vee x'=1,$ 则称其为布尔代数。

若对每个 $\theta\in\Theta$ ，由样本构成的集合 $C(X)=\{\vartheta:L(X)\le \vartheta\le U(X)\}$ 满足 $P_\theta\{\theta\in C(X)\} =P_\theta\{L(X)\le\theta\le U(X)\} \ge 1-\alpha,$ 则称 $C(X)$ 为置信水平至少为 $1-\alpha$ 的置信区间。函数 $\theta\mapsto P_\theta\{\theta\in C(X)\}$ 称为覆盖率函数；若它对所有 $\theta$ 都恰等于 $1-\alpha$ ，则称区间具有精确的等覆盖率。

数列 $(a_n)_{n\ge0}$ 的普通生成函数是形式幂级数 $A(x)=\sum_{n\ge0}a_nx^n.$ 记号 $[x^n]A(x)$ 表示 $x^n$ 的系数，因此 $[x^n]A(x)=a_n$ 。作为形式幂级数时， $x$ 是记录下标的记号，等式按每一阶系数成立；推导不要求先找到某个数值 $x$ 使级数收敛。

从有界算子的可逆性定义预解集与谱，区分点谱和连续谱现象，证明复 Banach 空间中谱的非空紧性，并建立紧自伴算子的实特征值、有限重数、唯一可能聚点与正交展开。

在矩存在的条件下定义期望、方差、协方差与相关系数，再把条件期望视为随机变量，推导塔式法则、全期望和全方差公式。

把任意矩阵分解为两次正交变换和一次轴向缩放，揭示秩与主方向。

若 $M,N$ 在单连通区域上具有连续一阶偏导，则微分形式恰当，当且仅当 $M_y=N_t.$ 恢复势函数时，可先对 $M$ 关于 $t$ 积分： $\Phi(t,y)=\int M(t,y)\,\mathrm dt+g(y),$ 再用 $\Phi_y=N$ 求只依赖 $y$ 的函数 $g$ 。也可先积分 $N$ ，两条路线应给出相差常数的势函数。

对问题 $y=f(x)$ 和算法输出 $\widehat y$ ，前向误差是 $\|\widehat y-f(x)\|,$ 它直接比较答案。后向误差寻找最小输入扰动 $\Delta x$ ，使 $\widehat y=f(x+\Delta x),$ 并度量 $\|\Delta x\|$ 。若一个算法对每个允许输入都能把计算结果解释为邻近问题的精确解，且相对后向误差与 $u$ 同阶，就称它后向稳定。

若两条过 $p$ 的曲线 $\gamma_1,\gamma_2$ 满足 $\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_{0} (\varphi\circ\gamma_1)(t) = \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_{0} (\varphi\circ\gamma_2)(t),$ 则称它们在 $p$ 具有相同一阶速度。这个关系不依赖所选图，因为换图后两边都乘以同一个过渡映射的 Jacobian。等价类 $[\gamma]_p$ 称为 $p$ 处切向量，所有等价类组成 $n$ 维向量空间 $T_pM$ 。 图 $(U,x)$ 给出线性同构 $T_pM\longrightarrow\mathbb R^n, \qquad [\gamma]_p\longmapsto(x\circ\gamma)'(0).$ 坐标基记作 $\left.\partial/\partial x^1\right|_p,\ldots, \left.\partial/\partial x^n\right|_p$…

把球面视为 $F^{-1}(1)$ ，其中 $F(p)=p\cdot p$ 。因为 $dF_p(v)=2p\cdot v$ 且 $p\ne0$ ，数值 $1$ 是正则值。因此 $T_pS^2=\ker dF_p =\{v\in\mathbb R^3:p\cdot v=0\}=p^\perp.$ 同一结论也可由曲线得到：若 $\gamma(0)=p$ 且 $\gamma(t)\in S^2$ ，对 $\gamma(t)\cdot\gamma(t)=1$ 求导即有 $p\cdot\dot\gamma(0)=0$ ；反过来，每个 $v\perp p$ 都是某条球面曲线在 $p$ 的速度。