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- article
MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves
从振子、耦合模态进入机械波、电磁波与波动方程的本科物理课程。
- concept
Hamilton 力学
用广义坐标和共轭动量的一阶方程描述相空间演化，并连接守恒量。
physics · classical-mechanics · 难度 5 · 详细大纲 - concept
Hessian 矩阵
用二阶偏导矩阵描述标量函数的局部曲率，并分析极值点附近的方向结构。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - article
傅里叶级数：用正交谐波展开周期函数
从三角函数正交性推导傅里叶系数，分析部分和、收敛、Gibbs 现象，并连接固定弦的模态演化。
mathematics · calculus · 难度 3 · 正文可读 - article
函数与函数图像：从对应规则到可分析的关系
把函数理解为定义域到陪域的确定对应，掌握表示、复合、反函数、图像变换和分段函数的基本方法。
mathematics · foundations · 难度 1 · 正文可读 - article
反向传播：链式法则如何训练神经网络
沿计算图拆解前向值、局部导数与总梯度，理解反向模式自动微分为何能高效训练共享参数的神经网络。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 正文可读 - article
向量：从箭头到高维空间
从位移箭头、坐标与线性组合出发，理解向量如何成为描述方向、状态和高维数据的统一语言。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 正文可读 - article
导数、方向导数与梯度
从全微分建立多变量函数的最佳线性近似，用梯度表示方向导数，并区分欧氏最陡方向、一般度量和约束条件。
mathematics · calculus · 难度 3 · 正文可读 - article
导数与微分：从变化率到局部线性化
由割线斜率的极限定义导数，推导乘积与链式法则，说明微分作为最佳局部线性近似的含义，并连接中值定理与误差估计。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
感知机与多层感知机：从线性边界到可学习的非线性
从线性阈值分类器、误分类更新与可分性出发，推导多层感知机的前向传播、张量形状、参数数量和表达能力边界。
machine-learning · neural-networks · 难度 3 · 正文可读 - article
期望、方差与协方差：分布的中心、尺度和共同变化
从分布定义期望和二阶矩，推导方差与协方差的运算规律，并区分独立、零协方差、相关和因果关系。
mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读 - article
极限与连续性：用邻域刻画逼近
从数值逼近进入 ε-δ 定义，证明极限的唯一性与运算规则，并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
梯度下降：从局部下降方向到可诊断的优化过程
从一阶近似与光滑性条件推导梯度下降，分析学习率、曲率、尺度、动量和停止准则如何共同决定收敛轨迹。
mathematics · optimization · 难度 3 · 正文可读 - article
正则化：用结构偏好约束有限数据中的学习
从惩罚经验风险推导 L2 与 L1 正则化，解释尺度、贝叶斯联系、早停和数据增强，并规范超参数选择。
machine-learning · learning-theory · 难度 3 · 正文可读 - article
注意力机制：从加权平均到自注意力
从数据相关的加权平均推导缩放点积注意力，明确 query、key、value 的形状、softmax 归一化与解释边界。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 正文可读 - article
激活函数：表达能力、梯度传播与输出语义
从线性层复合的退化出发，比较 sigmoid、tanh、ReLU、GELU 与 SiLU 的函数形状、导数、数值行为和输出层适用范围。
machine-learning · neural-networks · 难度 3 · 正文可读 - article
特征值与特征向量：寻找线性变换的不变方向
从方向不变条件推导特征方程，区分代数与几何重数，判断对角化，并连接矩阵幂、稳定性和对称矩阵。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 正文可读 - article
监督学习：从带标签样本到可检验的预测规则
建立监督学习的问题定义，区分样本、模型、损失、经验风险、验证选择与未知分布上的泛化误差。
machine-learning · learning-theory · 难度 2 · 正文可读 - article
积分与累积：从黎曼和到微积分基本定理
从分割区间和局部贡献出发定义定积分，推导积分的基本性质与微积分基本定理，并区分净累积、几何面积和原函数。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
线性变换：把矩阵看作空间运动
把矩阵理解为保持线性组合的空间映射，并用基向量、行列式与奇异性解释二维变换的几何行为。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - article
逻辑回归：从线性得分到二分类概率
由伯努利条件模型推导 sigmoid、对数几率、交叉熵、梯度与决策阈值，并说明线性可分和概率解释的边界。
machine-learning · learning-theory · 难度 3 · 正文可读 - article
随机变量与概率分布：从随机结果到可计算的数值规律
把随机变量定义为样本空间上的可测函数，统一理解分布函数、概率质量函数、概率密度、支持集与变量变换。
mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读 - symbol
h · 趋近于零的输入增量
h
- concept
Gram–Schmidt 正交化
逐步移除已有方向分量，把线性无关向量组转化为正交或标准正交基。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Schrödinger 方程
用 Hamilton 算符生成量子态的时间演化，并区分含时与定态方程。
physics · quantum-mechanics · 难度 5 · 详细大纲 - symbol
theta · 模型参数向量
oldsymbol{ heta}
- concept
Bayes 定理
将条件概率方向反转，用先验、似然和证据计算后验概率。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - concept
Jacobian 矩阵
用一阶偏导矩阵表示多输入多输出映射的最佳局部线性近似。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Lagrange 力学
以作用量驻值推导广义坐标方程，把约束和对称性纳入力学描述。
physics · classical-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Markov 链
用状态转移矩阵描述无记忆随机演化，并分析平稳分布和长期行为。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Monte Carlo 方法
通过随机采样近似期望和积分，并用方差与有效样本量评价误差。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Newton 方法
利用 Hessian 曲率修正梯度方向，理解二次收敛、阻尼和矩阵求解成本。
mathematics · optimization · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Sturm–Liouville 理论
研究带权自伴二阶边值问题，建立正交本征函数、实本征值和函数展开。
mathematics · calculus · 难度 5 · 详细大纲 - concept
Transformer
组合多头自注意力、前馈网络、残差与归一化，构成并行序列建模架构。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
三角函数
从单位圆定义正弦、余弦和正切，理解周期、相位与常用恒等式。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - concept
不确定性量化
区分参数、观测和模型误差，并传播其分布以给出校准的预测区间。
interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 4 · 详细大纲 - concept
中心极限定理
解释大量独立微小贡献的标准化和为何趋近正态分布，并明确所需条件。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
主成分分析
寻找数据协方差最大的正交方向，并用低秩投影压缩和去噪。
machine-learning · learning-theory · 难度 3 · 详细大纲 - concept
假设检验
用零假设下的统计量分布控制第一类错误，并解释 p 值、功效和多重比较。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
偏导数
在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。
mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲 - concept
偏微分方程
用多个自变量的偏导描述场的空间与时间变化，并区分椭圆、抛物和双曲类型。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
偏微分方程数值解
把空间与时间离散组合为可计算更新，检查一致性、稳定性和收敛性。
computer-science · scientific-computing · 难度 5 · 详细大纲 - concept
凸函数
通过弦不等式和一阶条件刻画凸性，并说明局部最优为何成为全局最优。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
函数空间映射
把输入函数映射为输出函数，区分有限维参数拟合与无限维算子学习。
interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲 - concept
功与能量守恒
由力沿路径的积分定义功，并用势能和动能追踪保守系统的状态变化。
physics · classical-mechanics · 难度 3 · 详细大纲 - concept
动态规划
通过重叠子问题和最优子结构复用中间结果，构造自顶向下或自底向上的算法。
computer-science · algorithms · 难度 3 · 详细大纲 - concept
参数初始化与梯度流
分析权重尺度如何影响前向方差和反向梯度，理解 Xavier 与 He 初始化。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
变分法
对函数空间中的泛函求驻值，推导 Euler–Lagrange 方程及边界项。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
可微分物理
让数值模拟器对参数可微，以梯度方法进行系统辨识、控制和逆问题求解。
interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲 - concept
向量场
给空间中每一点分配一个向量，用于描述速度场、力场和梯度场。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
向量运算与内积
计算向量加法、数乘、范数和内积，并解释长度、夹角与相似度的几何意义。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲 - concept
命题逻辑与量词
区分命题、蕴含、等价、全称量词和存在量词，并正确否定带量词的陈述。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - concept
图神经网络
通过邻域消息传递更新节点表示，并用置换不变聚合处理非欧氏结构。
machine-learning · neural-networks · 难度 5 · 详细大纲 - concept
图算法
在节点和边结构上执行遍历、最短路和拓扑排序，分析可达性与依赖关系。
computer-science · algorithms · 难度 3 · 详细大纲 - concept
多项式与根
分析多项式的次数、因式分解、根及重数，并连接代数表达式与函数图像。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
大数定律
说明独立样本均值在适当条件下趋近总体期望，并区分弱收敛与强收敛。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
奇异值分解
把任意矩阵分解为两次正交变换和一次轴向缩放，揭示秩与主方向。
mathematics · linear-algebra · 难度 4 · 详细大纲 - concept
学习率调度
用分段、余弦、指数或预热策略控制训练不同时期的更新尺度。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
常微分方程
用未知函数及其常导数描述动态规律，区分阶数、线性、自治和初值条件。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
常微分方程数值解
用 Euler 和 Runge–Kutta 方法推进初值问题，并分析稳定性、阶数和步长。
computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲 - concept
张成、线性无关与基
通过张成集和线性无关选择最小坐标系统，理解维数为何不依赖具体基。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
得分匹配
学习对数密度关于数据的梯度，避免显式计算归一化常数并连接去噪目标。
machine-learning · generative-models · 难度 5 · 详细大纲 - concept
微积分基本定理
证明求导与积分在适当连续条件下互为逆运算，并连接局部变化与总累积。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
扩散模型
学习逐步去除噪声的逆过程，从简单噪声分布生成高维数据样本。
machine-learning · generative-models · 难度 5 · 详细大纲 - concept
批归一化
利用小批量统计量标准化中间激活，并区分训练与推理阶段的统计处理。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
抽样分布
研究统计量在重复抽样中的分布，为标准误、区间估计和检验建立基础。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
支持向量机
通过最大化分类间隔学习决策超平面，并由支持向量决定最终边界。
machine-learning · learning-theory · 难度 4 · 详细大纲 - concept
数值微分
用有限差分近似导数，并平衡截断误差、舍入误差和步长选择。
computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲 - concept
数列与级数
研究离散序列的极限、递推关系和无穷求和，为连续极限与函数展开建立基础。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
数学归纳法
通过基例和归纳步骤证明离散命题，并识别强归纳法适用的递归结构。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
无限深方势阱
在零边界波函数条件下求解定态 Schrödinger 方程，得到离散能级和正弦本征态。
physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
最大似然估计
把观测数据在模型参数下的概率视为目标函数，并求使其最大的参数。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
最小二乘
把不相容线性方程转化为残差平方最小问题，并由投影推导正规方程。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
有限元基础
从弱形式和局部基函数组装离散系统，用网格逼近复杂区域上的边值问题。
computer-science · scientific-computing · 难度 5 · 详细大纲 - concept
有限差分方法
在离散网格上用差分替代导数，构造微分方程的代数近似。
computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲 - concept
条件概率与独立性
在已知事件发生的条件下更新样本空间，并区分独立、互斥和条件独立。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - concept
核方法
用正定核隐式计算高维特征空间内积，构造非线性分类和回归模型。
machine-learning · learning-theory · 难度 4 · 详细大纲 - concept
正交性
用零内积表达方向独立性，并理解正交基如何简化坐标、长度和数值计算。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
正交投影
把向量分解到子空间及其正交补上，并推导投影矩阵与最小距离性质。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
正定矩阵
通过二次型和特征值判断矩阵是否在所有非零方向产生正曲率。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
波的振幅、频率与相位
用振幅、周期、频率、波长、相位和波速定量描述行波的时空结构。
physics · waves · 难度 2 · 详细大纲 - concept
浮点数与舍入误差
理解有限二进制表示、机器精度、消去误差和条件数对计算可靠性的影响。
computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲 - concept
物理信息神经网络
把微分方程残差、边界条件和数据误差共同写入损失函数，近似场的解。
interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲 - concept
生成模型
学习数据联合分布或生成过程，使模型能够采样、补全、重建并估计不确定性。
machine-learning · generative-models · 难度 4 · 详细大纲 - concept
目标函数与可行域
把决策变量、目标函数和约束写成明确优化问题，并区分局部与全局最优。
mathematics · optimization · 难度 2 · 详细大纲 - concept
矩阵乘法
从行列内积和映射复合理解矩阵乘法，明确不可交换性与维度匹配条件。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
神经算子
学习函数空间之间的映射，使模型能够跨输入场和网格近似一族算子解。
interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲 - concept
神经网络优化
把反向传播梯度交给小批量、动量和自适应优化器，并监控训练稳定性。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
科学机器学习
把可解释科学模型、观测数据和学习算法组合，用于反演、预测与加速计算。
interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 4 · 详细大纲 - concept
积分技巧
使用换元、分部积分和部分分式把复杂积分化为可计算的基本形式。
mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲 - concept
简谐振子
由线性回复力推导正弦时间演化，并用振幅、相位和固有频率描述状态。
physics · waves · 难度 2 · 详细大纲 - concept
算法复杂度
用渐近记号比较算法随输入规模增长的时间和空间成本，并区分最坏与平均情况。
computer-science · algorithms · 难度 2 · 详细大纲 - concept
算符与可观测量
用自伴线性算符表示可观测量，并由本征值和期望值连接测量结果。
physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
约束优化
在等式或不等式可行域内寻找最优解，并区分可行方向和活跃约束。
mathematics · optimization · 难度 4 · 详细大纲 - concept
线性方程组
把多个线性约束写成矩阵方程，分析无解、唯一解和无穷多解的条件。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
统计估计
区分点估计和区间估计，并用偏差、方差、一致性和效率评价估计量。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
耦合振子
把多个相互作用振子的方程写成矩阵系统，并用本征向量分解简正模。
physics · classical-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
联合分布与条件分布
描述多个随机变量的共同变化，并由边缘化和条件化提取局部规律。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
能量模型
以未归一化能量函数为数据赋分，并通过采样或对比方法学习低能量区域。
machine-learning · generative-models · 难度 5 · 详细大纲 - concept
自动微分
把程序拆为基本运算图，通过前向或反向累积精确应用链式法则。
computer-science · algorithms · 难度 4 · 详细大纲 - concept
自注意力
让同一序列产生 query、key、value，使每个位置按内容动态聚合其他位置。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲 - concept
自适应优化器
按参数历史梯度尺度调节有效学习率，比较 AdaGrad、RMSProp 和 Adam 的假设。
mathematics · optimization · 难度 4 · 详细大纲 - concept
计算图
把复合函数表示为基本运算节点和依赖边，为局部导数与反向累积建立结构。
machine-learning · neural-networks · 难度 3 · 详细大纲 - concept
贝叶斯推断
用先验和似然形成后验分布，并通过后验预测表达参数不确定性。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - concept
近端方法
用近端算子处理不可微正则项，并把梯度步骤与结构化收缩组合。
mathematics · optimization · 难度 5 · 详细大纲 - concept
连续概率分布
用概率密度和积分研究均匀、正态、指数等连续分布及其参数。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
递归与递推
把问题分解为规模更小的同类问题，并用基例和调用栈保证计算终止。
computer-science · algorithms · 难度 2 · 详细大纲 - concept
量子谐振子
用升降算符或微分方程求离散能谱，连接经典振动与量子零点能。
physics · quantum-mechanics · 难度 5 · 详细大纲 - concept
链式法则
把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积，并推广到多变量映射。
mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲 - concept
随机梯度下降
用随机样本或小批量近似完整梯度，权衡计算成本、方差与泛化行为。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
集合与映射
用集合、子集、笛卡尔积和映射描述数学对象的范围、对应关系与复合规则。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - experiment
傅里叶谐波叠加
逐项加入不同频率的正弦分量，观察部分和逼近周期波形。
physics - experiment
反向传播计算图
沿计算图分步检查局部导数与累积梯度。
machine-learning - experiment
注意力权重矩阵
比较 token 间分数、softmax 权重和因果掩码的作用。
machine-learning - symbol
A · 线性变换的矩阵表示
A
- paper
Attention Is All You Need
提出以自注意力为核心、无需循环结构的 Transformer 架构。
- symbol
c · 波速
c
- book
Calculus Volume 1
覆盖函数、极限、导数与积分的一学期微积分开放教材。
- symbol
grad f · 函数 f 的梯度
\nabla f
- symbol
lambda · 矩阵的特征值
lambda
- symbol
u · 单位方向向量
mathbf{u}
- symbol
u(x,t) · 位置 x、时刻 t 的波位移
u(x,t)
- symbol
v · 与特征值对应的非零特征向量
mathbf{v}
- symbol
x · 自变量或标量输入
x
- symbol
x · 输入向量
\mathbf{x}
- symbol
X · 随机变量
X
- symbol
Y · 与 X 联合研究的随机变量
Y
- symbol
y · 输出向量
mathbf{y}
- learning-path
从感知机到 Transformer
沿梯度流、卷积、循环、注意力和残差结构理解现代神经网络。
- learning-path
从线性模型到神经网络
从监督学习和线性分类进入损失、泛化、多层感知机与反向传播。
- equation
导数的差商定义
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
mathematics · calculus - learning-path
数学物理方法基础
由微分方程、本征函数和傅里叶方法进入波动、边值问题与基础量子模型。
- equation
方向导数与梯度
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})=\nabla f(\mathbf{x})^\mathsf{T}\mathbf{u}
mathematics · calculus - equation
方差
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]
mathematics · probability - equation
梯度下降更新
\boldsymbol{\theta}_{k+1}=\boldsymbol{\theta}_k-\eta\nabla L(\boldsymbol{\theta}_k)
mathematics · optimization - learning-path
概率统计基础
从事件与条件概率进入随机变量、极限定理、估计和假设检验。
- equation
特征值方程
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}
mathematics · linear-algebra - learning-path
生成模型入门
比较潜变量、重建、对抗、流、能量、得分和扩散等生成建模路线。
- equation
离散随机变量的期望
\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,p_X(x)
mathematics · probability - learning-path
线性代数基础
从向量和矩阵建立线性空间语言，进入方程组、特征结构与低秩分解。
- equation
线性变换
\mathbf{y}=A\mathbf{x}
mathematics · linear-algebra - equation
缩放点积注意力
\operatorname{Attention}(Q,K,V)=\operatorname{softmax}\!\left(\frac{QK^\mathsf{T}}{\sqrt{d_k}}\right)V
machine-learning · neural-networks - learning-path
高等数学基础
从函数极限进入一元微积分，再过渡到多变量变化率和微分方程。