线性变换：把矩阵看作空间运动

学习目标

矩阵可以看成一条规则：输入一个向量，输出另一个向量。学习完成后，应能从基向量的运动重建矩阵，并用行列式判断面积、方向和降维现象。

先修知识

阅读本章前，应能计算向量的线性组合，理解张成与线性无关，并会用矩阵列表示若干向量。矩阵乘向量的坐标规则会在文中重新推导，但不再逐项解释实数运算。若尚不能判断两支平面向量是否线性相关，可先回到

向量 与矩阵。

本章中的 $T:V\to W$ 表示从向量空间 $V$ 到 $W$ 的映射；在选定基后， $[\mathbf x]_B$ 表示向量 $\mathbf x$ 在基 $B$ 下的坐标。矩阵是映射在某组基下的表示，不能脱离输入、输出空间和基来讨论其全部意义。

为什么需要线性变换

旋转坐标、压缩图像、组合特征和计算神经网络层，看似属于不同任务，却都经常出现 $\mathbf{y}=A\mathbf{x}$。矩阵乘法之所以普遍，不只是因为容易计算，而是因为它精确表达了“线性组合在映射前后保持一致”。

\mathbf{y}=A\mathbf{x}

直觉：先看基向量去哪里

在平面标准基 $\mathbf{e}_1=(1,0)^\mathsf T$、 $\mathbf{e}_2=(0,1)^\mathsf T$ 下，任意向量都可写成 $\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2$。如果一个映射保持线性组合，那么

$$T(\mathbf{x}) =x_1T(\mathbf{e}_1)+x_2T(\mathbf{e}_2).$$

因此，只要知道两支基向量被送到哪里，整张无限网格的运动就已经确定。这个直觉只适用于线性映射；平移 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$ 在 $\mathbf{b}\neq0$ 时是仿射映射，不再把原点保持在原点。

交互演示

观察前的问题

操作前先作三个预测：若只移动第一支目标基向量，哪些网格线会改变；若两支目标基向量落在同一直线上，平面中的信息会丢失到几维；两个行列式都等于 $1$ 的矩阵是否必然产生相同运动。写下预测后再运行实验，避免把动画结果当成未经思考的答案。

二维线性变换

正在加载交互实验…

操作任务

先选择旋转、缩放、剪切和投影预设，再拖动两支目标基向量。依次完成以下记录：

• 网格线仍保持直线和平行关系；
• 单位正方形变为平行四边形；
• 行列式绝对值等于有向面积的缩放倍数；
• 行列式为零时，二维区域被压到一条线或一个点。

再把矩阵从单位矩阵连续变到目标矩阵，暂停在中间时刻。比较当前矩阵与目标矩阵的行列式，确认面积变化是随插值过程演化的，而不是只由最终标签决定。最后使用键盘移动基向量端点，核对键盘与指针操作得到相同参数。

可得结论

线性变换保持直线、平行关系和原点，但通常不保持长度、夹角或面积。基向量的像确定整张网格；行列式只概括体积缩放与取向，不能唯一识别变换。实验中的有限网格只是无限空间的取样，结论仍需由线性定义和代数推导支持。

演示提供直觉与可检验样例，但不能代替下面的定义和推导。

严格定义

定义

设 $V,W$ 是同一标量域上的向量空间。映射 $T:V\to W$ 是线性的，当且仅当对任意向量 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 和标量 $a,b$，都有

$$T(a\mathbf{u}+b\mathbf{v}) =aT(\mathbf{u})+bT(\mathbf{v}).$$

这个条件同时包含可加性与齐次性。令 $a=b=0$ 可知线性映射必有 $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$。因此，任何把原点移走的映射都不是线性映射。

在有限维空间选定基后，把 $T(\mathbf{e}_j)$ 的坐标放在第 $j$ 列，就得到矩阵

$$A= \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert\\ [T(\mathbf{e}_1)] & [T(\mathbf{e}_2)] & \cdots & [T(\mathbf{e}_n)]\\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix},$$

并且 $[T(\mathbf{x})]=A[\mathbf{x}]$。矩阵依赖所选基，线性映射本身不依赖。

核、像与信息损失

线性映射的核和像分别定义为

$$\ker T=\{\mathbf v\in V:T(\mathbf v)=\mathbf0\}, \qquad \operatorname{im}T=\{T(\mathbf v):\mathbf v\in V\}.$$

核记录哪些输入方向被压到零，像记录所有可能输出。若核中存在非零向量 $\mathbf z$，则对任意 $\mathbf x$ 都有 $T(\mathbf x+\mathbf z)=T(\mathbf x)$，两个不同输入产生相同输出，所以映射不是一一对应。反过来，若 $T(\mathbf x)=T(\mathbf y)$，线性性给出 $T(\mathbf x-\mathbf y)=\mathbf0$；当核只有零向量时，必有 $\mathbf x=\mathbf y$。因此线性映射单射当且仅当核为 $\{\mathbf0\}$。

有限维情形满足秩—零化度定理

$$\dim V=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im}T).$$

它把“丢失了多少独立方向”和“保留了多少输出方向”精确配平。二维投影到一条直线时，核和像各为一维；零映射的核是整个输入空间，像只有零向量。

示例一：由核判断信息损失

由核判断投影的信息损失

令 $T(x,y,z)=(x,y,0)$。它保留前两个坐标并删除第三个坐标。核由所有 $(0,0,z)$ 组成，是一条一维直线；像由所有 $(x,y,0)$ 组成，是二维平面。根据秩—零化度定理， $3=1+2$。向量 $(1,2,3)$ 与 $(1,2,-4)$ 的输出相同，说明删除的方向无法从结果恢复。

复合、逆映射与换基

若 $T:U\to V$ 的矩阵为 $A$，$S:V\to W$ 的矩阵为 $B$，则先做 $T$ 再做 $S$ 的矩阵为 $BA$。对任意坐标列 $\mathbf x$，

$$[S(T(\mathbf x))]=B(A\mathbf x)=(BA)\mathbf x.$$

乘法顺序从右向左读取，通常 $BA\neq AB$；交换顺序等于交换操作过程，结果没有理由相同。若方阵表示的映射可逆，存在矩阵 $A^{-1}$ 使 $A^{-1}A=AA^{-1}=I$。可逆意味着核只有零向量且像覆盖整个空间。

同一个线性算子在两组基下会有不同矩阵。设基 $B$ 的坐标转为标准坐标的矩阵是 $P$，即 $[\mathbf x]_{\mathrm{std}}=P[\mathbf x]_B$。若标准基下算子矩阵为 $A$，那么

$$[T(\mathbf x)]_B=P^{-1}AP[\mathbf x]_B.$$

所以基 $B$ 下的矩阵为 $P^{-1}AP$。这种相似变换改变坐标外观，却保留行列式、迹和特征值等与线性算子本身有关的量。

行列式为何描述面积

对二维矩阵

$$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},$$

两列正是单位正方形两条边的像。它们张成的平行四边形有向面积为

$$\det A=ad-bc.$$

绝对值 $|\det A|$ 给出面积缩放；符号表示取向是否翻转。若 $\det A=0$，两列线性相关，平行四边形面积为零。此时至少有一个非零方向被压到零，映射不可逆。

这段解释在二维使用面积，在三维使用体积；一般 $n$ 维中，行列式给出有向体积缩放。它不意味着高维行列式可以简单“看见”，而是相同的交替多线性结构继续成立。

示例二：剪切、面积与方向

剪切、面积与方向

考虑

$$A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}.$$

有 $A\mathbf{e}_1=(1,0)^\mathsf T$， $A\mathbf{e}_2=(2,1)^\mathsf T$。竖直方向向右倾斜，水平方向不变，这是水平剪切。

$\det A=1$，所以所有平面区域的面积保持不变，方向也不翻转。但长度和角度通常改变，因此“面积保持”不等于“刚体运动”。

对 $\mathbf{x}=(-1,2)^\mathsf T$，

$$A\mathbf{x} =-1(1,0)^\mathsf T+2(2,1)^\mathsf T =(3,2)^\mathsf T.$$

这也直接验证了“矩阵列向量按输入坐标作线性组合”的计算规则。

复合旋转与投影

令 $R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 表示逆时针旋转 $90^\circ$， $P=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$ 表示投影到横轴。先旋转再投影得到

$$PR=\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix},$$

它把 $(x,y)^\mathsf T$ 送到 $(-y,0)^\mathsf T$。先投影再旋转则

$$RP=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix},$$

输出为 $(0,x)^\mathsf T$。两者都把二维空间压到一条轴上，行列式都为零，但像空间不同，说明行列式不能记录完整的映射结构。

常见误区

常见误区

“只要公式里有矩阵就是线性变换。”若输出为 $A\mathbf{x}+\mathbf{b}$ 且 $\mathbf{b}\neq0$，它是仿射变换；若矩阵本身依赖输入，如 $A(\mathbf{x})\mathbf{x}$，也不能仅凭外形判断线性。

常见误区

“行列式为负表示面积为负。”普通面积仍是 $|\det A|$ 倍；负号记录有向基的顺序翻转。它是方向信息，不是物理面积小于零。

常见误区

“奇异矩阵只是数值计算不方便。”奇异性首先是几何信息：不同输入可能得到同一输出，部分方向的信息永久丢失，所以不存在双向逆映射。

代码：矩阵作用与行列式

type Vector2 = readonly [number, number];
type Matrix2 = readonly [readonly [number, number], readonly [number, number]];

export function apply2(matrix: Matrix2, vector: Vector2): Vector2 {
  const [[a, b], [c, d]] = matrix;
  const [x, y] = vector;
  return [a * x + b * y, c * x + d * y];
}

export function determinant2(matrix: Matrix2): number {
  const [[a, b], [c, d]] = matrix;
  return a * d - b * c;
}

这段代码只处理 $2\times2$ 实矩阵。生产级数值库还应考虑维数、浮点误差、批量计算和奇异值，而不能只用“行列式是否严格等于零”判断近似奇异。

参数实验

在交互图中依次输入以下矩阵，并记录基向量、行列式和单位正方形的变化：

$$R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}, \quad S=\begin{bmatrix}2&0\\0&\tfrac12\end{bmatrix}, \quad P=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}.$$

1. $R$ 是逆时针 $90^\circ$ 旋转，$\det R=1$。
2. $S$ 在两个方向做相反缩放，$\det S=1$。
3. $P$ 把平面投影到横轴，$\det P=0$。

比较前两者可见，相同行列式并不意味着变换相同；行列式只浓缩了整体体积与取向信息。

练习

练习标记完成

概念检查：证明线性映射一定把零向量映到零向量。

查看解答

由线性性， $T(\mathbf0)=T(\mathbf0+\mathbf0)=T(\mathbf0)+T(\mathbf0)$。 两边减去 $T(\mathbf0)$，得到 $T(\mathbf0)=\mathbf0$。

练习标记完成

计算：矩阵 $A=\begin{bmatrix}0&2\\3&0\end{bmatrix}$ 如何移动两支标准基？面积缩放和方向怎样变化？

查看解答

$\mathbf e_1\mapsto(0,3)^\mathsf T$， $\mathbf e_2\mapsto(2,0)^\mathsf T$。 $\det A=-6$，面积放大为 6 倍，并发生取向翻转。

练习标记完成

迁移应用：若神经网络层写成 $\mathbf y=A\mathbf x+\mathbf b$，指出其中线性部分与仿射部分，并说明为什么偏置使该层不再是严格线性映射。

查看解答

$A\mathbf x$ 是线性部分，$\mathbf b$ 是平移。输入零向量时输出为 $\mathbf b$，只要 $\mathbf b\neq0$ 就违反线性映射保持零向量的必要条件。

与其他知识的关系

• 本文建立在 向量 的线性组合之上。
• 矩阵 提供线性映射在选定基下的有限坐标表示。
• 行列式 判断方阵表示是否可逆并记录有向体积缩放。
• 特征值与特征向量 寻找变换中方向保持不变的特殊向量。
• 注意力机制 使用多个可学习矩阵生成 query、key 和 value。
• 在 反向传播 中，矩阵乘法的局部导数会沿计算图反向传播。

资源

lecture · 2011

MIT 18.06SC Linear Algebra

Gilbert Strang

提供线性代数核心概念的完整课程顺序、例题、习题和考试材料。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.06SC 从列空间、零空间、基、线性映射和矩阵分解组织线性代数，适合继续验证本章关于核、像、可逆性与换基的论证。

lecture · 2010

MIT 18.02SC Multivariable Calculus

Denis Auroux

把线性代数对象用于几何与多变量问题，并提供例题、习题和解答。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.02SC 在三维坐标、向量函数和多变量映射中大量使用矩阵与线性近似，可作为几何应用的补充。抽象的核、像与换基仍应以线性代数课程为主要依据。

后续学习

下一步阅读 行列式，把可逆性与体积缩放写成可计算标量；随后学习 特征值与特征向量，寻找在线性变换下方向不变的坐标轴。若关注非线性函数，可转到 梯度，理解局部线性近似如何随位置改变。