导数与微分：从变化率到局部线性化

引言：一小段平均变化如何趋向瞬时变化

汽车在十秒内行驶一百米，平均速度是每秒十米；这一数字没有说明第五秒那一瞬间的速度。要描述瞬时状态，可以缩短测量时间，比较更短区间内的位移与时间之比。若这些平均速度在区间长度趋于零时稳定到同一数值，该极限就定义了瞬时速度。

同样的结构适用于温度、人口、成本、能量和误差。导数记录输出相对于输入的局部变化率，微分则把这种变化率组织成一个线性预测：输入改变少量 $h$ 时，输出的主要变化约为 $f'(a)h$。导数的价值不止是求出一条新公式，更在于提供局部模型、误差尺度和定理工具。

学习目标与先修知识

先修内容包括函数、复合函数、极限、连续性、绝对值不等式和基本代数。三角函数与指数函数的常见极限会在例题中使用。学习重点包括四个层次：从差商定义导数；从定义推出运算规则；用微分描述局部线性化；借助中值定理把局部导数信息扩展到整个区间。

符号 $f'(a)$、$\mathrm df/\mathrm dx|_{x=a}$ 和 $D f(a)$ 都可表示导数。分式记号有助于记忆链式法则，但严格定义仍是差商极限，不能把 $\mathrm dx$ 与 $\mathrm df$ 在所有场合都当作普通实数直接约分。

割线、切线与差商

函数图像上连接 $(a,f(a))$ 与 $(a+h,f(a+h))$ 的割线斜率为

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad h\ne0.$$

当 $h$ 逐渐接近零，第二个点沿图像靠近第一个点。若割线斜率收敛，极限给出切线斜率。几何图像只是其中一种解释；对没有直接几何图像的函数，差商仍表示单位输入增量对应的平均输出增量。

差商同时包含两个变化：分子测量函数值变化，分母测量输入变化。只观察分子趋于零没有意义，因为连续函数通常都满足这一点；关键是两者比值是否趋向有限且唯一的结果。

导数与可导性的定义

一点处的导数

若极限

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

存在且为有限实数，则称 $f$ 在 $a$ 可导。若函数在区间每一点都可导，导数值组成新函数 $f'$。

等价地，可令 $x=a+h$，写成

$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

右导数和左导数分别限制 $h>0$ 与 $h<0$。双侧导数存在当且仅当两者存在且相等。端点处常使用单侧导数，因为定义域只从一侧接近。

可导必连续

可导性蕴含连续性

若 $f$ 在 $a$ 可导，则 $f$ 在 $a$ 连续。

证明

对 $h\ne0$，恒等式

$$f(a+h)-f(a) = h\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

把函数增量分成输入增量与差商。令 $h\to0$，第一因子趋于零，第二因子趋于有限数 $f'(a)$，所以乘积趋于零，即 $f(a+h)\to f(a)$。这正是 $f$ 在 $a$ 连续。

逆命题不成立。连续性只要求函数值靠拢，可导性还要求增量之比稳定到同一个线性系数。绝对值函数在原点连续，左右差商却分别为 $-1$ 与 $1$。

从定义推导基本求导法则

常数与幂函数可直接从定义处理。对 $f(x)=x^2$，

$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h,$$

令 $h\to0$ 得 $f'(x)=2x$。对正整数 $n$，二项式展开给出 $(x^n)'=nx^{n-1}$；展开中除线性项外都含更高次 $h$，除以 $h$ 后在极限中消失。

乘积法则可通过添加并减去中间项推导：

$$\begin{aligned} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}h &=f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}h\\ &\quad+g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}h. \end{aligned}$$

可导函数连续，因此 $f(x+h)\to f(x)$。取极限得到

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

商法则再由乘积法则作用于 $f=g(f/g)$ 得到，前提是分母在考察点非零。

链式法则与复合变化

设 $y=f(u)$、$u=g(x)$。输入改变 $h$ 时，内层增量为 $\Delta u=g(x+h)-g(x)$。若 $g$ 在该点可导，则 $\Delta u=g'(x)h+o(h)$；若 $f$ 在 $u=g(x)$ 可导，则

$$\Delta y=f'(g(x))\Delta u+o(\Delta u).$$

合并一阶项并控制余项，得到链式法则

$$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).$$

这个公式表达变化率的传递：外层对内层输出的敏感度，乘以内层对原输入的敏感度。多层复合函数重复应用同一规则；反向传播把这种局部乘法推广到具有分支和共享变量的计算图。

微分与局部线性化

微分与线性主部

函数在 $a$ 可导，等价于存在余项 $r(h)$ 使

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h), \qquad \frac{r(h)}{|h|}\to0.$$

把输入增量记为 $\mathrm dx=h$，线性主部记为 $\mathrm df=f'(a)\,\mathrm dx$。

线性化函数

$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$

是 $f$ 在 $a$ 附近的一阶近似。余项条件比“误差趋于零”更强：误差与输入增量相比还要更快趋于零。因此，局部放大图像时，可导函数与切线的差异会逐渐落到一阶尺度以下。

微分也提供误差传播估计。若测量量 $x$ 有小误差 $\Delta x$，输出误差满足 $\Delta f\approx f'(x)\Delta x$。绝对误差、相对误差和高阶余项应分别说明；当增量不够小或导数变化剧烈时，一阶估计可能偏离实际值。

中值定理：把局部斜率连接到区间变化

拉格朗日中值定理

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，在开区间 $(a,b)$ 可导，则存在 $c\in(a,b)$ 使

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

证明先构造割线与函数之差

$$\phi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$$

有 $\phi(a)=\phi(b)$。罗尔定理保证某个内点 $c$ 满足 $\phi'(c)=0$，整理即得结论。罗尔定理本身由极值定理与内点极值处导数为零推出。

中值定理带来多个重要推论：若区间内 $f'=0$，则 $f$ 为常数；若 $f'>0$，则 $f$ 严格递增；若 $|f'|\le M$，则 $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$。这些结论把逐点导数条件转成整个区间上的函数控制。

高阶导数、曲率与二阶近似

若导函数仍可导，可继续定义二阶导数 $f''$。一阶导数描述斜率，二阶导数描述斜率本身的变化。区间内 $f''>0$ 时，导数递增，图像向上凸；$f''<0$ 时，导数递减，图像向下凹。拐点要求凹凸性发生改变，单独满足 $f''(a)=0$ 只提供候选位置。例如 $x^4$ 在原点二阶导数为零，左右两侧仍都向上凸。

二阶信息把线性化扩展为二次近似。若函数在 $a$ 附近具有足够光滑性，则

$$f(a+h) =f(a)+f'(a)h+\frac12f''(a)h^2+R_2(h).$$

在三阶导数有界等条件下，余项比 $h^2$ 更小。线性项给出主要方向，二次项反映局部弯曲。数值优化中，牛顿法利用一阶和二阶导数预测零点或极值；当二阶导数接近零、初值离目标很远或函数存在多个分支时，迭代仍需单独分析。

高阶导数也能量化线性近似误差。设常数 $M>0$，并且区间上 $|f''(x)|\le M$，泰勒定理给出

$$|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|\le\frac M2h^2.$$

这个上界把“输入足够小”变成可计算条件。选择允许误差后，可以反求增量范围；反过来，已知测量误差也能估计线性模型最坏可能偏差。

二阶导数还用于区分驻点。若 $f'(a)=0$ 且 $f''(a)>0$，二次主部在原点两侧为正，$a$ 是严格局部极小点；若 $f''(a)<0$，则得到严格局部极大点。$f''(a)=0$ 时检验没有结论，必须考察更高阶项或直接比较邻域函数值。导数检验给出充分条件或候选条件，不能取代定义中的邻域比较。

例题一：线性化估算平方根

例 1：估算 √4.1

取 $f(x)=\sqrt x$，在 $a=4$ 处 $f(4)=2$、$f'(4)=1/4$。线性化为

$$L(x)=2+\frac14(x-4).$$

因此

$$\sqrt{4.1}\approx L(4.1)=2.025.$$

实际值约为 $2.02485$，误差约 $1.5\times10^{-4}$。由于 $f''(x)=-1/(4x^{3/2})<0$，平方根函数向下凹，切线位于图像上方，这也解释了线性估计略偏大。

例题二：隐函数上的切线

例 2：圆上的切线斜率

圆由 $x^2+y^2=25$ 给出。在上、下半圆局部可把 $y$ 看成 $x$ 的函数。对等式两边关于 $x$ 求导：

$$2x+2y\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=0,$$

所以在 $y\ne0$ 时

$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac xy.$$

点 $(3,4)$ 处斜率为 $-3/4$，切线方程为 $y-4=-\frac34(x-3)$。在点 $(5,0)$ 处分母为零，对应竖直切线；这时用 $y$ 作为 $x$ 的局部函数不合适，但可改用 $x$ 作为 $y$ 的函数。

反例与常见误区

连续但不可导的尖点

$f(x)=|x|$ 在原点连续。右差商为 $1$，左差商为 $-1$，所以双侧导数不存在。图像在原点没有唯一切线方向。该反例表明连续性控制函数值，导数还要求一阶比例从两侧一致。

导数大就表示函数值大

导数描述局部变化率，与函数当前高度属于不同量。函数可以在很高的位置缓慢变化，也可以在接近零的位置快速变化。比较导数时还要核对输入、输出单位。

练习

练习标记完成

从差商定义出发，求 $f(x)=1/x$ 在 $a\ne0$ 处的导数。

查看解答

$$\frac{1/(a+h)-1/a}{h} =-\frac1{a(a+h)}.$$

令 $h\to0$ 得 $f'(a)=-1/a^2$。过程中要求 $a$ 与 $a+h$ 非零。

练习标记完成

用链式法则求 $F(x)=\sin(x^2+1)$ 的导数，并解释两个因子的来源。

查看解答

外层正弦对其输入的导数是余弦，内层 $x^2+1$ 的导数是 $2x$，因此 $F'(x)=2x\cos(x^2+1)$。第一个因子测量外层敏感度，第二个因子传递内层变化率。

练习标记完成

已知温度函数 $T(t)$ 在一小时内满足 $|T'(t)|\le2\,^\circ\mathrm C/\mathrm h$。证明任意两个时刻 $t_1,t_2$ 的温差不超过 $2|t_2-t_1|\,^\circ\mathrm C$。

查看解答

对区间端点应用中值定理，存在 $c$ 使 $T(t_2)-T(t_1)=T'(c)(t_2-t_1)$。取绝对值并使用导数上界即得结论。

知识连接

• 极限与连续性 提供差商收敛和可导必连续的语言。
• 梯度 把一元线性化推广为多变量全微分。
• 积分与累积 通过微积分基本定理与导数互相联系。
• 反向传播 在计算图上系统应用链式法则。

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