函数与函数图像：从对应规则到可分析的关系

学习目标

函数把一个集合中的输入分配到另一个集合中的输出。学习函数时，首先确定对象和规则，再研究图像、变化率与累积量。完成本章后，你应能从定义域、对应规则和陪域三个部分描述函数，能够解释图像变换，并能识别没有反函数的原因。

对应规则与函数

设 $X$ 和 $Y$ 是两个集合。函数 $f:X\to Y$ 规定：对每个 $x\in X$，都有唯一的 $y\in Y$ 与之对应，记作 $y=f(x)$。集合 $X$ 称为定义域，$Y$ 称为陪域；所有实际输出组成的集合

$$f(X)=\{f(x):x\in X\}$$

称为值域。值域是陪域的子集，两者不必相等。

函数

函数由定义域、陪域和对应规则共同确定。“每个输入有且只有一个输出”是函数的核心条件。同一个输出可以对应多个输入。

公式只表达对应规则的一种方式。温度随时间变化可以由测量表给出；城市之间的最短路程可以由算法给出；有限集合上的函数可以直接列出全部输入输出对。判断两个函数是否相同，需要同时比较定义域和每个输入的输出。只比较公式可能遗漏定义域差异。

例如 $f(x)=1/x$ 在实数范围内的自然定义域是 $\mathbb R\setminus\{0\}$。若把定义域改成正实数，得到的是另一个函数，尽管公式没有改变。再如 $\sqrt{x^2}$ 等于 $|x|$，不能在整个实数域内简化为 $x$。

图像记录全部输入输出对

实函数 $f:D\subseteq\mathbb R\to\mathbb R$ 的图像是平面点集

$$G_f=\{(x,f(x)):x\in D\}.$$

竖线检验来自函数定义：固定横坐标 $x$ 后只能有一个纵坐标。圆 $x^2+y^2=1$ 作为整体不能表示 $y$ 关于 $x$ 的函数，因为多数 $x\in(-1,1)$ 对应两个 $y$。把圆分成上半圆 $y=\sqrt{1-x^2}$ 和下半圆 $y=-\sqrt{1-x^2}$ 后，每一部分都能表示函数。

图像变换可以直接从输入和输出的变化推导。若 $g(x)=f(x-a)+b$，输入 $x$ 先变成 $x-a$，因此原来位于 $x_0$ 的特征现在出现在 $x_0+a$；输出再加 $b$，图像整体向上移动 $b$。若 $g(x)=c f(kx)$，纵坐标乘以 $c$，横坐标尺度乘以 $1/|k|$；$c<0$ 或 $k<0$ 还会产生关于坐标轴的反射。

例 1：写出平移后的抛物线

从 $f(x)=x^2$ 出发，令 $g(x)=f(x-2)-3=(x-2)^2-3$。顶点从 $(0,0)$ 移到 $(2,-3)$，对称轴变为 $x=2$。求零点时解 $(x-2)^2=3$，得到 $x=2\pm\sqrt3$。平移改变位置，不改变抛物线开口方向和宽度。

分段函数与绝对值

分段函数在不同输入区间使用不同规则。它仍然是一个函数，只要区间覆盖明确且交界点没有产生两个输出。绝对值函数可以写成

$$|x|=\begin{cases} x,&x\ge 0,\\ -x,&x<0. \end{cases}$$

分段表达有助于处理饱和、阈值、税率、材料屈服和神经网络激活等实际规则。交界点需要单独检查：左侧公式、右侧公式和该点的实际取值可能不同，这正是后续连续性章节研究的对象。

例 2：分析一个截断函数

定义 $h(x)=\max(0,x)$。当 $x<0$ 时 $h(x)=0$，当 $x\ge0$ 时 $h(x)=x$。因此 $h(-2)=0$、$h(3)=3$。它的值域是 $[0,\infty)$，在负半轴上许多输入都得到同一输出，所以在整个实数域上不是一一函数，也就不存在从值域回到全部输入的反函数。

复合函数

若 $f:X\to Y$，$g:Y\to Z$，复合函数 $g\circ f:X\to Z$ 定义为

$$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$$

计算复合时先执行右侧函数。定义域还要满足中间值 $f(x)$ 落在 $g$ 的定义域内。例如 $f(x)=x-1$，$g(u)=\sqrt{u}$，则 $(g\circ f)(x)=\sqrt{x-1}$ 的实数定义域为 $[1,\infty)$。反向复合 $(f\circ g)(x)=\sqrt{x}-1$ 的定义域为 $[0,\infty)$，两者不同。

复合一般不满足交换律，但满足结合律：$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$。这个性质允许我们把多步计算写成计算图。神经网络的多层结构、坐标变换和数值算法都依赖函数复合。

一一性与反函数

函数 $f:X\to Y$ 若对不同输入给出不同输出，就称为单射；若每个 $y\in Y$ 都能由某个输入得到，就称为满射。函数同时为单射和满射时是双射，此时存在反函数 $f^{-1}:Y\to X$，满足

$$f^{-1}(f(x))=x, \qquad f(f^{-1}(y))=y.$$

反函数的图像与原函数图像关于直线 $y=x$ 对称。求反函数时先写 $y=f(x)$，交换 $x,y$ 后解出新的 $y$，还要同步交换定义域和值域。代数求解得到的表达式只有在函数一一时才代表真正的反函数。

平方函数的限制

$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上不是单射，因为 $f(2)=f(-2)$。写出 $f^{-1}(y)=\sqrt y$ 会丢失负输入。把定义域限制为 $[0,\infty)$ 后，平方函数才与 $[0,\infty)$ 之间构成双射，反函数为平方根函数。

从公式走向模型

实际问题中的函数需要说明输入、输出、单位和适用范围。写出 $s(t)=5t^2$ 还不够完整：若它描述从静止开始的匀加速位移，就要给出 $t$ 的时间单位、$s$ 的长度单位，以及模型采用的时间区间。超出观测范围后继续代入公式，只是代数外推，未必仍能描述真实系统。

离散数据也能定义函数。设学生编号集合为 $S$，某次考试分数集合为 $[0,100]$，则“编号映射到该次分数”构成函数，因为每名学生在这个记录中只有一个分数。若把输入只写成姓名，同名学生会让规则含糊；这说明定义域中的对象必须能被明确区分。

机器学习模型常写为 $f_\theta(x)$。$x$ 是输入，$\theta$ 是训练得到的参数，输出可能是实数、类别概率或向量。固定参数后，$x\mapsto f_\theta(x)$ 是一个函数；训练过程则在参数空间中寻找合适的 $\theta$。区分“模型函数”和“寻找参数的算法”，能够避免把预测、损失与优化混成同一个概念。

函数图像只适合输入和输出都是一维实数的情形。高维函数无法完整画在平面上，研究者会改画切片、等高线、投影或统计摘要。这些图只展示函数的一部分，解释结论时应写明固定了哪些变量、改变了哪些变量。

常见误区

常见误区

“一条曲线都能表示函数。”函数图像必须通过竖线检验。参数曲线、隐式曲线和轨迹可以是合法的几何对象，但未必能写成单值的 $y=f(x)$。

常见误区

“$f^{-1}(x)$ 表示 $1/f(x)$。”前者表示反函数，后者表示函数值的倒数。倒数函数应写成 $(1/f)(x)$ 或 $[f(x)]^{-1}$，并排除 $f(x)=0$ 的输入。

练习

练习标记完成

设 $f(x)=\sqrt{2-x}$。写出实数定义域和值域，并计算 $f(-2)$、$f(2)$。说明 $f(3)$ 在实数范围内为何没有定义。

查看解答

根号内要求 $2-x\ge0$，所以定义域为 $(-\infty,2]$。平方根非负，且当 $x\to-\infty$ 时函数值无上界，因此值域为 $[0,\infty)$。$f(-2)=2$，$f(2)=0$；$x=3$ 时根号内为 $-1$。

练习标记完成

令 $f(x)=2x+1$，$g(x)=x^2$。分别求 $g\circ f$ 和 $f\circ g$，再给出两者的定义域。用 $x=1$ 验证复合次序会改变结果。

查看解答

$(g\circ f)(x)=(2x+1)^2$，$(f\circ g)(x)=2x^2+1$，定义域均为 $\mathbb R$。代入 $x=1$，前者为 $9$，后者为 $3$。

练习标记完成

将 $p(x)=x^2$ 的定义域分别取为 $\mathbb R$、$[0,\infty)$ 和 $(-\infty,0]$。判断每种情况下能否在其值域上定义反函数，并写出可用的反函数。

查看解答

定义域为 $\mathbb R$ 时不是单射，没有反函数。定义域为 $[0,\infty)$ 时反函数为 $\sqrt x$；定义域为 $(-\infty,0]$ 时反函数为 $-\sqrt x$。两种限制下的值域都是 $[0,\infty)$。

知识连接

• 极限与连续 描述函数在一点附近的稳定变化。
• 导数与微分 研究函数的局部线性近似。
• 监督学习 用参数化函数连接输入样本与预测结果。

推荐资源

book · 2016

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OpenStax《Calculus Volume 1》从函数表示、基本函数族和图像变换进入极限。阅读时可把每个公式连同定义域一起记录，并比较同一关系的公式、表格与图像表示。教材中的复合与反函数练习适合检验“一一对应”和“限制定义域”这两个条件。

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后续学习

下一章进入 极限与连续。极限把“输入逐渐靠近”转化为可检验的数学条件，并为导数和积分建立共同基础。