分段函数的连续与可微性
limits-and-continuity · derivatives-and-differentials
LEARNING PATH / CALCULUS-FOUNDATIONS
高等数学基础
从函数极限进入一元微积分，再过渡到多变量变化率和微分方程。
约 22 小时11 个概念节点完成中学代数与基本函数学习，希望系统掌握连续变化语言的学习者。
本地学习进度0/11 节完成
阶段目标
- 01用极限给出连续、导数和积分的严格定义。
- 02使用链式法则、偏导和梯度分析复合多变量函数。
- 03把局部变化与累积量连接到常微分方程。
学习序列
- 01mathematics / 难度 1正文
函数、复合与图像
把函数理解为带定义域和值域的映射，并从图像识别单调性、对称性和复合变化。
未开始 - 02mathematics / 难度 2正文
极限与连续性
用趋近过程刻画函数局部行为，并以极限定义连续、间断和无穷变化。
未开始 - 03mathematics / 难度 2正文
导数与微分
由差商极限定义瞬时变化率，并区分导数、线性近似和微分记号。
未开始 - 04mathematics / 难度 2大纲
链式法则
把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积，并推广到多变量映射。
未开始 - 05mathematics / 难度 2正文
积分与累积量
从分割求和极限定义定积分，并把积分解释为面积、总量和连续累积。
未开始 - 06mathematics / 难度 3大纲
微积分基本定理
证明求导与积分在适当连续条件下互为逆运算，并连接局部变化与总累积。
未开始 - 07mathematics / 难度 2大纲
偏导数
在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。
未开始 - 08mathematics / 难度 3大纲
方向导数
沿任意给定方向定义多变量函数的变化率，并连接单位方向与局部线性近似。
未开始 - 09mathematics / 难度 3正文
梯度
把各坐标偏导组织为向量，并用内积说明梯度给出无约束下最陡上升方向。
未开始 - 10mathematics / 难度 3大纲
Taylor 展开
以一点处的导数构造多项式局部近似，并用余项控制截断误差。
未开始 - 11mathematics / 难度 3大纲
常微分方程
用未知函数及其常导数描述动态规律，区分阶数、线性、自治和初值条件。
未开始
CHECKPOINTS
阶段检查
- 完成 链式法则
解释极限如何把平均变化率变成瞬时变化率，并推导一个复合函数的导数。
- 完成 梯度
从方向导数公式说明梯度方向结论所需的内积与可微条件。
PATH EXERCISES
综合练习
构造并解释一个二维目标函数的梯度
partial-derivatives · directional-derivative · gradient