积分与累积：从黎曼和到微积分基本定理

引言：把许多局部贡献汇成总量

速度描述位置在一瞬间的变化率。若已知一段时间内的速度，如何恢复总位移？可以把时间区间切成许多小段，在每段选取一个代表速度，用“速度乘以时长”估算该段位移，再把所有小段相加。分割越细，估算越能反映速度曲线的局部变化；当最大分段宽度趋于零，和式若稳定到唯一数值，就得到定积分。

这种“局部贡献乘以小尺度再求和”的结构远超几何面积。密度沿杆变化时，积分给出总质量；功率随时间变化时，积分给出能量；概率密度在区间上的积分给出概率；连续损失在参数或空间上的积分给出总成本。积分的单位等于被积量单位与自变量单位的乘积，这为建模提供直接检查。

学习目标与先修知识

先修内容包括函数、闭区间上的连续性、极限、导数与线性近似。求和符号 $\sum$ 和有限等差、等幂和式会在计算中使用。核心任务是理解三个问题：黎曼和为何需要任意取样点仍趋向同一结果；连续性如何保证可积；导数与积分为何通过累积函数相互恢复。

本章主要讨论有限闭区间上的黎曼积分。无穷区间或无界函数需要反常积分；高度不规则的函数可能需要更一般的勒贝格积分。先把有限分割和极限逻辑掌握清楚，再扩展积分理论。

分割、取样点与黎曼和

将区间 $[a,b]$ 分成

$$a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b.$$

第 $i$ 个子区间宽度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，并在其中选择取样点 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$。函数 $f$ 的黎曼和为

$$S(P,f)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i.$$

分割的网格宽度定义为 $\lVert P\rVert=\max_i\Delta x_i$。控制最大宽度比只让子区间数目增加更准确，因为大量很窄区间不能补偿某个始终很宽的区间。

若 $f$ 表示速度，$f(\xi_i)\Delta x_i$ 是第 $i$ 段的近似位移；若 $f\ge0$ 表示高度，则该项是一个矩形面积。函数值为负时，对应贡献带负号，因此黎曼和天然计算净累积。

定积分的严格定义

黎曼定积分

若存在实数 $I$，使对每个 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，只要分割满足 $\lVert P\rVert<\delta$，无论各取样点如何选择，都有

$$\left|\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i-I\right|<\varepsilon,$$

则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，并记

$$I=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.$$

定义中的“无论取样点如何选择”排除了偶然的好采样。积分值属于函数和区间，而不属于某一种左端点、右端点或中点算法。不同取样规则可以有不同收敛速度，但只要网格趋于零，极限必须一致。

连续函数在闭区间上一致连续。给定 ε，可选足够细的分割，使每个子区间内函数振幅都很小；上和与下和之差因此小于 ε。这一事实可证明每个闭区间上的连续函数都黎曼可积。只有有限个跳跃间断的有界函数也可积，但连续性提供最常用且易检查的充分条件。

积分的基本性质

积分保留线性结构：若 $f,g$ 可积，$\alpha,\beta$ 为常数，则

$$\int_a^b(\alpha f+\beta g)\,\mathrm dx = \alpha\int_a^b f\,\mathrm dx + \beta\int_a^b g\,\mathrm dx.$$

区间可以拼接。对 $a\lt c\lt b$，

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx =\int_a^c f(x)\,\mathrm dx+\int_c^b f(x)\,\mathrm dx.$$

交换上下限定义为 $\int_b^a f=-\int_a^b f$，相同上下限积分为零。若区间上 $f\le g$，则积分也满足 $\int_a^b f\le\int_a^b g$。由此得到估计

$$\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\right| \le \int_a^b |f(x)|\,\mathrm dx.$$

这个不等式解释了净累积与总量的区别：正负贡献可能抵消，绝对值积分则记录不考虑方向的总幅度。

累积函数与第一微积分基本定理

固定起点 $a$，对连续函数 $f$ 定义累积函数

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm dt.$$

当上限从 $x$ 增加到 $x+h$ 时，累积量新增

$$F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm dt.$$

除以 $h$ 得

$$\frac{F(x+h)-F(x)}h = \frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm dt,$$

右侧是短区间上的平均函数值。由连续性，区间缩到 $x$ 时平均值趋于 $f(x)$，因此

$$F'(x)=f(x).$$

微积分基本定理第一部分

若 $f$ 在区间上连续，则累积函数 $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm dt$ 可导，且 $F'=f$。

这个结论说明积分产生的累积量，其瞬时增长率正是原来的局部密度。连续性保证短区间内函数值与端点值一致靠近。

原函数与第二微积分基本定理

若函数 $G$ 满足 $G'=f$，则称 $G$ 是 $f$ 的一个原函数。由第一部分， $F(x)=\int_a^x f$ 也是原函数，所以 $G-F$ 的导数处处为零。中值定理推出 $G-F$ 在区间上为常数。比较端点可得

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=G(b)-G(a).$$

微积分基本定理第二部分

连续函数的定积分可以通过任一原函数的端点差计算。

记号 $\int f(x)\,\mathrm dx=G(x)+C$ 表示全部原函数族，称为不定积分。它没有积分上下限，结果是函数族；定积分有固定区间，结果是一个数。二者通过基本定理相连，但对象类型不同。

换元法与积分元

设 $u=g(x)$，并且 $g$ 可导。链式法则给出

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F(g(x)) =F'(g(x))g'(x).$$

若 $F'=f$，对两边使用基本定理可得

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,\mathrm dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,\mathrm du.$$

$g'(x)$ 记录变量变换带来的局部尺度变化，新的积分上下限记录端点映射。遗漏导数因子或只替换被积表达式而不替换上下限，都会改变总累积。

平均值与数值求积

连续函数在区间上的平均值定义为

$$f_{\mathrm{avg}}=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.$$

积分中值定理说明，存在 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)=f_{\mathrm{avg}}$。证明利用连续函数在闭区间取得最小值 $m$ 和最大值 $M$，积分保持次序给出 $m\le f_{\mathrm{avg}}\le M$，再由介值定理得到相应的函数值。平均值概括整个区间的累积水平，但不决定达到该值的位置是否唯一。

没有方便原函数时，可以用黎曼和的系统版本做数值求积。复合梯形公式在每个小区间用直线连接端点，复合中点公式在中点取样，辛普森公式用二次多项式组合相邻区间。网格加密通常降低离散误差，但计算结果还会受到函数光滑性、浮点舍入和端点奇异性的影响。

数值结果应附带分割信息。只报告一个小数无法区分解析值、粗网格估计和收敛后的近似。常见检查方法是把步长减半，比较连续两次结果的差异；若差异没有按预期下降，应检查函数是否有尖点、间断、强振荡或无界行为。对带单位的问题，每一项 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 都应具有最终总量的单位，这也能发现遗漏积分元的错误。

上、下和提供另一种可靠包围。每个子区间取函数上确界得到上和，取下确界得到下和；对有界函数，下和不超过任何取样黎曼和，上和不小于任何取样黎曼和。不断加细分割时，若两者能够逼近同一数值，积分便被夹在其中。这个观点同时给出存在性判据和误差上界。

例题一：由速度求净位移与路程

例 1：方向改变时的累积

粒子速度为 $v(t)=2t-4$，时间范围 $0\le t\le4$。净位移为

$$\int_0^4(2t-4)\,\mathrm dt =\left[t^2-4t\right]_0^4=0.$$

零位移表示终点回到起点，并不表示粒子没有运动。速度在 $t=2$ 处改变符号，总路程应积分绝对速度：

$$\int_0^4|2t-4|\,\mathrm dt =\int_0^2(4-2t)\,\mathrm dt +\int_2^4(2t-4)\,\mathrm dt=8.$$

若时间单位为秒、速度单位为米每秒，两个积分结果的单位都是米。净位移保留方向，路程只累加幅度。

例题二：由黎曼和计算平方函数积分

例 2：把有限和送入极限

把 $[0,1]$ 等分为 $n$ 段，取右端点 $x_i=i/n$。对 $f(x)=x^2$，黎曼和为

$$S_n=\sum_{i=1}^n\left(\frac in\right)^2\frac1n =\frac1{n^3}\sum_{i=1}^n i^2.$$

使用 $\sum_{i=1}^n i^2=n(n+1)(2n+1)/6$，得到

$$S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} \longrightarrow\frac13.$$

因此 $\int_0^1x^2\,\mathrm dx=1/3$。基本定理给出原函数 $x^3/3$，端点差同样为 $1/3$；两种方法分别展示定义与计算工具。

反例与常见误区

积分为零而函数不为零

$f(x)=x$ 在 $[-1,1]$ 上不恒为零，但奇函数的正负部分完全抵消：

$$\int_{-1}^1x\,\mathrm dx=0.$$

若问题询问图像与横轴围成的几何面积，应计算 $\int_{-1}^1|x|\,\mathrm dx=1$。积分值为零只说明净累积为零。

任何函数都能直接用原函数端点差

基本定理需要相应条件。被积函数的连续性足以保证结论；遇到无界点、无限区间或高度不规则函数时，应先确定积分概念和收敛性，再使用计算公式。

练习

练习标记完成

计算 $\int_0^2(3x^2-2x+1)\,\mathrm dx$，并说明结果的每一项来自哪个原函数。

查看解答

一个原函数是 $G(x)=x^3-x^2+x$。因此 $G(2)-G(0)=8-4+2=6$。

练习标记完成

设 $F(x)=\int_1^{x^2}\ln(1+t)\,\mathrm dt$。求 $F'(x)$。

查看解答

先对积分上限应用基本定理，再对 $x^2$ 使用链式法则：

$$F'(x)=\ln(1+x^2)\cdot2x.$$

练习标记完成

连续函数 $f$ 在 $[0,3]$ 上满足 $1\le f(x)\le4$。给出 $\int_0^3f(x)\,\mathrm dx$ 的上下界，并解释依据。

查看解答

积分保持次序，故

$$\int_0^3 1\,\mathrm dx \le\int_0^3f(x)\,\mathrm dx \le\int_0^3 4\,\mathrm dx.$$

所以积分位于 $[3,12]$。

知识连接

• 极限与连续性 解释黎曼和在网格加细时如何收敛。
• 导数与微分 通过基本定理恢复累积函数的局部增长率。
• 一维波动方程 中的能量、平均位移和模态系数都需要积分语言。
• 概率论把非负且总积分为一的函数解释为概率密度，区间积分对应事件概率。

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下一步

接下来可学习积分技巧、反常积分与数值求积，并把一维累积推广到多重积分、线积分和曲面积分。进入

波动方程 时，积分还会承担守恒量和模态分解的表达任务；进入概率论时，积分负责把局部密度转化为总体概率。