先修内容
已掌握多变量微积分与线性代数，希望以严格证明方式进入现代分析三大支柱的学习者。
综合练习
设 fₙ(x)=n²x e^{-n x}，x∈[0,1]。判断 fₙ 是否一致收敛到 0，并分别计算 lim ∫₀¹ fₙ(x)dx 与 ∫₀¹ lim fₙ(x)dx，解释二者为何不同。
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先求逐点极限，再用 x=1/n 处的取值检验 sup 范数；积分用换元 t=n x 化为 Gamma 型积分。
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固定 x>0 时 n²x e^{-n x}→0，x=0 处恒为 0，故逐点极限为 0。但 fₙ 在 x=1/n 处取值 n/e→∞，sup 不趋于 0，故不一致收敛。换元 t=n x 得 ∫₀¹ fₙ(x)dx=∫₀ⁿ t e^{-t}dt→1，而 ∫₀¹ 0 dx=0，两者不等。控制收敛定理在此不适用：任何逐点控制函数 g 都满足 g(x)≥supₙ n²x e^{-n x}=4e^{-2}/x，而 ∫₀¹ 1/x dx 发散。
结果核验：数值检查 n=10：∫₀¹⁰ t e^{-t}dt=1-11e^{-10}≈0.9995，已接近 1；若被积函数改为 n x e^{-n x}，换元后积分含因子 1/n 而趋于 0，换序成立，与直接计算一致。
计算 I=∫₀^∞ dx/(1+x²)²。把它写成全实轴积分的一半，取上半平面半圆围道，求内部极点的留数并给出 I 的值。
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被积函数为偶函数；1/(1+z²)² 在 z=i 处有二阶极点，留数用一阶导数公式计算。
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I=(1/2)∫_{-∞}^{∞}dx/(1+x²)²。f(z)=1/((z-i)²(z+i)²) 在上半平面仅有 z=i 处二阶极点，留数为 d/dz[(z+i)^{-2}] 在 z=i 的值，即 -2/(2i)³=1/(4i)。由留数定理，闭合围道积分等于 2πi·1/(4i)=π/2。大圆弧上 |f|=O(R^{-4}) 而弧长 O(R)，弧段积分随 R→∞ 趋于 0，故实轴积分为 π/2，I=π/4。
结果核验：独立核对：换元 x=tan θ 把 I 化为 ∫₀^{π/2} cos²θ dθ=π/4，与留数结果一致；被积函数非负，π/4≈0.785 的量级与函数图像面积相符。
