矩阵：组织线性关系的坐标语言

学习目标

矩阵既能记录一张有限数据表，也能表示线性方程组的系数和有限维线性映射。本章从形状与索引开始，逐步推导矩阵向量乘法和矩阵乘法，说明单位矩阵、逆矩阵与分块矩阵为何不是孤立规则。

先修知识

阅读前应熟悉向量加法、数乘和内积，并知道一组向量可以按列排列。行列式不是本章的先修；可逆性的讨论先使用“是否存在逆矩阵”这一代数定义，行列式判据留到后续章节。

本章只讨论实矩阵。矩阵用大写字母表示，向量用粗体小写字母表示。若 $A$ 有 $m$ 行、$n$ 列，则写作 $A\in\mathbb R^{m\times n}$，第 $i$ 行第 $j$ 列元素记为 $a_{ij}$。

为什么需要矩阵

三个线性方程可以逐条书写，也可以把所有系数放在同一结构中；一个线性变换可以描述每个输入坐标如何影响每个输出坐标，也可以由一张系数表一次给出。矩阵的价值不只是“排整齐”，而是让相同的行列结构参与统一运算。

例如，灰度图像可表示为像素矩阵，关系网络可表示为邻接矩阵，样本数据可按“样本为行、特征为列”排列。三者的语义不同，不能仅凭形状互换；但形状检查、转置、分块和乘法仍遵守同一套代数规则。

定义、形状与索引

定义

一个 $m\times n$ 矩阵是按 $m$ 行、$n$ 列排列的标量数组

$$A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}.$$

两个矩阵相等，当且仅当形状相同且每个对应元素相等。

矩阵的第 $j$ 列是一个 $m$ 维向量，第 $i$ 行可视为一个长度为 $n$ 的行向量。方阵是行数与列数相等的矩阵；对角矩阵除主对角线外元素全为零；单位矩阵 $I_n$ 的主对角线全为一，其余元素为零。零矩阵的形状必须由上下文说明，因为 $2\times3$ 零矩阵与 $3\times2$ 零矩阵不是同一个对象。

示例一：从语义确认形状

从数据语义确认矩阵形状

记录四名学生在三次测验中的分数。若每名学生占一行、每次测验占一列，则数据矩阵 $X\in\mathbb R^{4\times3}$。向量 $\mathbf w\in\mathbb R^3$ 给出三次测验的权重，乘积 $X\mathbf w\in\mathbb R^4$ 为每名学生产生一个加权总分。若误把学生放在列上，则必须使用 $X^\mathsf T$ 才能与同一个权重向量相乘。形状改变反映的是索引语义改变，并非排版选择。

加法、数乘与转置

同形矩阵逐元素相加，标量乘法也逐元素进行：

$$(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}, \qquad (cA)_{ij}=ca_{ij}.$$

不同形状的矩阵没有逐元素加法，因为无法建立全部对应位置。转置把行列互换：若 $A\in\mathbb R^{m\times n}$，则 $A^\mathsf T\in\mathbb R^{n\times m}$，并且 $(A^\mathsf T)_{ij}=a_{ji}$。由索引直接可得

$$(A+B)^\mathsf T=A^\mathsf T+B^\mathsf T, \qquad (A^\mathsf T)^\mathsf T=A.$$

转置不是“把矩阵转九十度”的几何变换；它交换输入输出索引的位置。在内积中，列向量的转置变成行向量，因此 $\mathbf x^\mathsf T\mathbf y$ 是一个标量，而 $\mathbf x\mathbf y^\mathsf T$ 是一个矩阵。

矩阵乘向量：列的线性组合

设 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ 的列为 $\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n$，输入 $\mathbf x=(x_1,ldots,x_n)^\mathsf T$。定义

$$A\mathbf x =x_1\mathbf a_1+cdots+x_n\mathbf a_n.$$

输出属于 $\mathbb R^m$。从第 $i$ 个分量看，同一运算写成第 $i$ 行与输入向量的内积：

$$(A\mathbf x)_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j.$$

“列的线性组合”和“行与输入做内积”是同一个乘法的两种读法。前者解释输出落在哪个列空间中，后者适合逐个计算输出坐标。

矩阵乘法来自映射复合

设 $B\in\mathbb R^{n\times p}$，它把 $p$ 维输入送到 $n$ 维；再由 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ 把结果送到 $m$ 维。复合映射对任意 $\mathbf x\in\mathbb R^p$ 满足

$$A(B\mathbf x)=(AB)\mathbf x,$$

所以乘积 $AB$ 必须是 $m\times p$ 矩阵。其元素为

$$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$$

中间维 $n$ 被求和消去。也可以逐列理解：$AB$ 的第 $j$ 列等于 $A$ 作用在 $B$ 的第 $j$ 列上。因此矩阵乘法保留结合律 $(AB)C=A(BC)$，因为两边都表示三个映射按同一顺序复合；它一般不满足交换律，因为交换矩阵等于交换操作顺序，甚至可能因形状不匹配而无定义。

示例二：比较乘法顺序

比较两种乘法顺序

取

$$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

$A$ 表示水平剪切，$B$ 表示横向放大。计算得

$$AB=\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}, \qquad BA=\begin{bmatrix}2&2\\0&1\end{bmatrix}.$$

对向量 $(0,1)^\mathsf T$，前者输出 $(1,1)^\mathsf T$，后者输出 $(2,1)^\mathsf T$。先放大再剪切与先剪切再放大并不相同，差异正由非交换性记录。

单位矩阵、逆矩阵与方程求解

单位矩阵满足 $I_mA=A$ 与 $AI_n=A$。对方阵 $A\in\mathbb R^{n\times n}$，若存在矩阵 $B$ 使 $AB=BA=I_n$，则称 $A$ 可逆，并把唯一的逆记为 $A^{-1}$。唯一性可由结合律证明：若 $B,C$ 都是逆，则

$$B=B(AC)=(BA)C=C.$$

矩阵方程 $A\mathbf x=\mathbf b$ 在 $A$ 可逆时有唯一解 $\mathbf x=A^{-1}\mathbf b$。这是一条结构结论，不表示实际计算应先显式形成逆矩阵。数值计算通常通过消元或分解直接求解方程，以减少运算并改善稳定性。

只有方阵才可能拥有双侧逆。非方阵仍可能在某一侧有逆，或者通过最小二乘与广义逆得到受限意义的恢复，但这些概念需要额外条件，不能统称为普通逆矩阵。

分块矩阵

大型矩阵常按行列切成相容的块。例如

$$A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}, \qquad \mathbf x=\begin{bmatrix}\mathbf x_1\\\mathbf x_2\end{bmatrix}.$$

只要块的尺寸匹配，就可写成

$$A\mathbf x= \begin{bmatrix} A_{11}\mathbf x_1+A_{12}\mathbf x_2\\ A_{21}\mathbf x_1+A_{22}\mathbf x_2 \end{bmatrix}.$$

分块沿用原有乘法，只是把求和按索引范围分组。它能暴露变量组之间的耦合，也适合表达多模态数据、约束系统和神经网络层。块不能只凭视觉位置相加；每个块的实际形状仍须逐项核对。

读写矩阵的三层检查

面对一个矩阵表达式，第一层先检查形状：每个乘积的内维是否相同，最终输出是否具有问题所需的行数与列数。第二层检查语义：约定一列代表一个样本还是一种特征，输入向量的分量顺序是否与矩阵列的含义一致。第三层检查运算：把输出的某个分量展开成求和，确认索引恰好遍历了应当聚合的对象。

例如数据矩阵若约定“行是样本、列是特征”，右乘权重向量会为每个样本产生一个标量；若约定相反，则同一任务通常要左乘或先转置。两种存储约定都可以成立，但不能在推导中途悄悄切换。形状正确只是必要条件，因为两个语义不同、尺寸恰好相同的矩阵仍可能被错误相乘。写清每个轴的含义，能同时减少代数错误与程序中的数据排列错误。

常见误区

常见误区

“矩阵乘法就是逐元素相乘。”逐元素乘积要求两个矩阵同形，输出仍同形；矩阵乘法要求左矩阵列数等于右矩阵行数，并对中间索引求和。两者定义、形状和用途都不同。

反例

“只要 $AB=I$ 就可以立刻把 $B$ 当作任意形状矩阵的双侧逆。”对无限维算子或非方阵，单侧逆未必给出另一侧逆。有限维同阶方阵中一侧逆确实推出双侧逆，但结论依赖维数与方阵条件，不能省略前提。

常见误区

“维度能对上，乘法就一定有合理含义。”形状匹配只保证代数运算有定义。若行表示样本而列表示特征，却把两个语义不相容的数据矩阵相乘，结果仍可能毫无建模意义。索引对应的对象和单位必须同时说明。

代码：带形状检查的矩阵乘法

type Matrix = readonly (readonly number[])[];

export function multiply(a: Matrix, b: Matrix): number[][] {
  const rows = a.length;
  const inner = a[0]?.length ?? 0;
  const columns = b[0]?.length ?? 0;
  if (rows === 0 || inner === 0 || b.length !== inner) {
    throw new Error("Matrix dimensions are not compatible.");
  }
  if (a.some((row) => row.length !== inner) || b.some((row) => row.length !== columns)) {
    throw new Error("Matrices must be rectangular.");
  }
  return Array.from({ length: rows }, (_, i) =>
    Array.from({ length: columns }, (_, j) =>
      Array.from({ length: inner }, (_, k) => a[i][k] * b[k][j]).reduce(
        (sum, value) => sum + value,
        0,
      ),
    ),
  );
}

教学实现明确展示三重索引，但没有处理稀疏结构、缓存布局和浮点误差。实际大型计算应使用经过测试的数值库，并在接口层保留形状和数据类型信息。

练习

练习标记完成

形状检查：若 $A\in\mathbb R^{3\times4}$、 $B\in\mathbb R^{4\times2}$、 $C\in\mathbb R^{2\times3}$，判断 $AB$、$BA$、$(AB)C$ 与 $A(BC)$ 是否有定义，并写出结果形状。

查看解答

$AB$ 有定义且为 $3\times2$；$BA$ 无定义，因为 $B$ 的列数 $2$ 不等于 $A$ 的行数 $3$。 $(AB)C$ 为 $3\times3$。$BC$ 为 $4\times3$，所以 $A(BC)$ 也是 $3\times3$，两者由结合律相等。

练习标记完成

计算：设 $A=\begin{bmatrix}1&2\\-1&3\end{bmatrix}$、 $\mathbf x=(2,-1)^\mathsf T$。分别用“列的线性组合”和“行与输入内积”计算 $A\mathbf x$，并核对结果一致。

查看解答

按列计算为 $2(1,-1)^\mathsf T-(2,3)^\mathsf T=(0,-5)^\mathsf T$。按行计算为 $(1\cdot2+2\cdot(-1),-1\cdot2+3\cdot(-1))^\mathsf T=(0,-5)^\mathsf T$。

练习标记完成

证明转置会反转矩阵乘法顺序： $(AB)^\mathsf T=B^\mathsf T A^\mathsf T$。说明为什么不能写成 $A^\mathsf T B^\mathsf T$。

查看解答

第 $(i,j)$ 个元素满足 $((AB)^\mathsf T)_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_k a_{jk}b_{ki}$。另一方面， $(B^\mathsf T A^\mathsf T)_{ij}=\sum_k b_{ki}a_{jk}$，两式相同。若保持原顺序，形状可能不匹配，即使匹配也通常得到另一个复合顺序。

与其他知识的关系

• 向量 提供矩阵列、矩阵行和矩阵向量乘法的基本对象。
• 矩阵运算 继续研究转置、分块和特殊矩阵结构。
• 矩阵乘法 深入分析复合映射、计算复杂度和非交换性。
• 线性方程组 把约束统一写成 $A\mathbf x=\mathbf b$。
• 线性变换 解释矩阵为何是选定基后的映射表示。

资源

lecture · 2011

MIT 18.06SC Linear Algebra

Gilbert Strang

提供线性代数核心概念的完整课程顺序、例题、习题和考试材料。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.06SC 从列向量、方程组和线性映射三条线索讲解矩阵，并系统展开消元、逆矩阵、子空间和矩阵分解。

lecture · 2010

MIT 18.02SC Multivariable Calculus

Denis Auroux

把线性代数对象用于几何与多变量问题，并提供例题、习题和解答。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.02SC 使用矩阵和向量组织三维坐标、多变量线性近似与几何计算，可用于观察矩阵语言如何进入微积分问题；矩阵分解与抽象可逆性仍以线性代数课程为主。

下一步

接下来阅读 线性变换，把矩阵乘向量理解为整个空间的映射；再学习 行列式，获得方阵可逆性和有向体积缩放的快速判据。若目标是求解方程，应转到 线性方程组 与 高斯消元。