One Forth

课程主题

微积分与分析

极限、导数、积分与连续变化。

01

课程章节

按难度与先修关系排列

  1. 01难度 2/5数列与级数研究离散序列的极限、递推关系和无穷求和，为连续极限与函数展开建立基础。先修：函数、复合与图像 · 数学归纳法约 75 分钟
  2. 02难度 2/5极限与连续性用趋近过程刻画函数局部行为，并以极限定义连续、间断和无穷变化。先修：函数、复合与图像 · 数列与级数约 75 分钟
  3. 03难度 2/5导数与微分由差商极限定义瞬时变化率，并区分导数、线性近似和微分记号。先修：极限与连续性 · 函数、复合与图像约 75 分钟
  4. 04难度 2/5积分与累积量从分割求和极限定义定积分，并把积分解释为面积、总量和连续累积。先修：极限与连续性 · 函数、复合与图像约 75 分钟
  5. 05难度 3/5多变量函数、极限与连续在欧氏空间中定义邻域、联合极限与连续性，并用路径反证和紧致性分析局部与整体行为。先修：极限与连续性 · 向量约 90 分钟
  6. 06难度 3/5中值定理与导数应用利用中值定理、导数符号和 Taylor 公式分析函数的单调性、极值、曲率与局部误差。先修：导数与微分约 90 分钟
  7. 07难度 3/5梯度把各坐标偏导组织为向量，并用内积说明梯度给出无约束下最陡上升方向。先修：向量约 90 分钟
  8. 08难度 3/5多重积分在二维和高维区域上累积标量密度，并处理积分次序与变量变换。先修：积分与累积量约 90 分钟
  9. 09难度 3/5曲线积分沿参数曲线累积标量或向量场贡献，并解释功与环流的数学表达。先修：积分与累积量约 90 分钟
  10. 10难度 3/5单变量微积分综合复习联合极限、导数、定积分、积分技巧与无穷级数，检查各方法的条件、收敛性和误差边界。先修：中值定理与导数应用 · 积分与累积量 · 数列与级数约 90 分钟
  11. 11难度 3/5傅里叶级数把周期函数展开为正弦和余弦谐波，利用正交性计算频率系数与收敛行为。先修：积分与累积量约 90 分钟
  12. 12难度 4/5Green、Stokes 与 Gauss 定理在明确边界、正则性和取向后，把区域内部的旋度或散度与边界上的环流或通量连接起来。先修：曲线积分约 105 分钟
  13. 13难度 4/5多变量微积分与向量分析综合复习联合使用局部线性化、多重积分、曲线曲面积分和积分定理，并按条件、取向与计算代价选择方法。先修：梯度 · 多重积分 · Green、Stokes 与 Gauss 定理约 105 分钟
  14. 14难度 4/5正交函数系与 Fourier 系数在带内积的函数空间中用正交投影计算展开系数，并用 Bessel 不等式、Parseval 等式和尾项范数衡量逼近误差。先修：积分与累积量 · 傅里叶级数约 105 分钟
  15. 15难度 4/5傅里叶变换与卷积把函数分解为连续频率成分，推导平移、缩放、微分和卷积性质，并说明反演公式的正则性条件。先修：傅里叶级数约 105 分钟
  16. 16难度 4/5热方程、波动方程与 Laplace 方程按照初边值数据和方程类型构造分离变量解，并用耗散、守恒与最大值性质解释三类典型偏微分方程。先修：正交函数系与 Fourier 系数 · 常微分方程与动力系统综合复习约 105 分钟
  17. 17难度 5/5广义函数、采样与 Poisson 求和用测试函数刻画广义函数和分布导数，在带限假设下连接冲激列、采样重建、频谱周期化与混叠。先修：傅里叶变换与卷积 · 数列与级数约 120 分钟
  18. 18难度 5/5傅里叶方法与偏微分方程综合复习从区域、边界与初值出发选择级数或变换方法，并交叉核对谱系数、收敛行为、物理量和解的唯一性。先修：正交函数系与 Fourier 系数 · 傅里叶级数 · 傅里叶变换与卷积 · 广义函数、采样与 Poisson 求和 · 热方程、波动方程与 Laplace 方程约 120 分钟