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SUBJECT / calculus

微积分与分析

极限、导数、积分与连续变化。

26 个概念5 篇正文高等数学基础
01

课程章节

按难度与先修关系排列

  1. 01难度 2/5 · 正文可读极限与连续性用趋近过程刻画函数局部行为，并以极限定义连续、间断和无穷变化。先修：functions-and-graphs · sequences-and-series约 75 分钟
  2. 02难度 2/5 · 正文可读导数与微分由差商极限定义瞬时变化率，并区分导数、线性近似和微分记号。先修：limits-and-continuity · functions-and-graphs约 75 分钟
  3. 03难度 2/5 · 详细大纲链式法则把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积，并推广到多变量映射。先修：derivatives-and-differentials · functions-and-graphs约 75 分钟
  4. 04难度 2/5 · 详细大纲偏导数在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。先修：derivatives-and-differentials · functions-and-graphs约 75 分钟
  5. 05难度 2/5 · 正文可读积分与累积量从分割求和极限定义定积分，并把积分解释为面积、总量和连续累积。先修：limits-and-continuity · functions-and-graphs约 75 分钟
  6. 06难度 2/5 · 详细大纲积分技巧使用换元、分部积分和部分分式把复杂积分化为可计算的基本形式。先修：integrals-and-accumulation · chain-rule约 75 分钟
  7. 07难度 3/5 · 详细大纲方向导数沿任意给定方向定义多变量函数的变化率，并连接单位方向与局部线性近似。先修：partial-derivatives · vector-operations约 90 分钟
  8. 08难度 3/5 · 正文可读梯度把各坐标偏导组织为向量，并用内积说明梯度给出无约束下最陡上升方向。先修：directional-derivative · vectors约 90 分钟
  9. 09难度 3/5 · 详细大纲Taylor 展开以一点处的导数构造多项式局部近似，并用余项控制截断误差。先修：derivatives-and-differentials · sequences-and-series约 90 分钟
  10. 10难度 3/5 · 详细大纲反常积分用极限定义无穷区间或无界被积函数的积分，并判断其收敛性。先修：integrals-and-accumulation · limits-and-continuity约 90 分钟
  11. 11难度 3/5 · 详细大纲多重积分在二维和高维区域上累积标量密度，并处理积分次序与变量变换。先修：integrals-and-accumulation · partial-derivatives约 90 分钟
  12. 12难度 3/5 · 详细大纲曲线积分沿参数曲线累积标量或向量场贡献，并解释功与环流的数学表达。先修：vector-fields · integrals-and-accumulation约 90 分钟
  13. 13难度 3/5 · 详细大纲微积分基本定理证明求导与积分在适当连续条件下互为逆运算，并连接局部变化与总累积。先修：derivatives-and-differentials · integrals-and-accumulation约 90 分钟
  14. 14难度 3/5 · 详细大纲常微分方程用未知函数及其常导数描述动态规律，区分阶数、线性、自治和初值条件。先修：derivatives-and-differentials · integrals-and-accumulation约 90 分钟
  15. 15难度 3/5 · 详细大纲初值问题给定某一时刻的状态后求解微分方程，并理解存在唯一性对演化预测的意义。先修：ordinary-differential-equations · limits-and-continuity约 90 分钟
  16. 16难度 3/5 · 详细大纲Jacobian 矩阵用一阶偏导矩阵表示多输入多输出映射的最佳局部线性近似。先修：partial-derivatives · matrices · linear-transformation约 90 分钟
  17. 17难度 3/5 · 详细大纲Hessian 矩阵用二阶偏导矩阵描述标量函数的局部曲率，并分析极值点附近的方向结构。先修：gradient · jacobian-matrix · positive-definite-matrices约 90 分钟
  18. 18难度 3/5 · 详细大纲向量场给空间中每一点分配一个向量，用于描述速度场、力场和梯度场。先修：vectors · functions-and-graphs · partial-derivatives约 90 分钟
  19. 19难度 3/5 · 正文可读傅里叶级数把周期函数展开为正弦和余弦谐波，利用正交性计算频率系数与收敛行为。先修：integrals-and-accumulation · trigonometric-functions · orthogonality约 90 分钟
  20. 20难度 4/5 · 详细大纲偏微分方程用多个自变量的偏导描述场的空间与时间变化，并区分椭圆、抛物和双曲类型。先修：partial-derivatives · ordinary-differential-equations约 105 分钟
  21. 21难度 4/5 · 详细大纲边值问题在区域边界施加函数值或通量条件，并研究这些约束如何选择微分方程的解。先修：ordinary-differential-equations · partial-differential-equations约 105 分钟
  22. 22难度 4/5 · 详细大纲曲面积分在参数曲面上累积密度或通量，明确面积元和法向方向的作用。先修：multiple-integrals · vector-fields · vector-operations约 105 分钟
  23. 23难度 4/5 · 详细大纲傅里叶变换把非周期信号表示为连续频率成分，并连接时域卷积、频域乘法和谱宽。先修：fourier-series · improper-integrals · complex-numbers约 105 分钟
  24. 24难度 4/5 · 详细大纲Laplace 变换用复频率积分把微分方程转化为代数方程，并系统处理初始条件。先修：improper-integrals · ordinary-differential-equations · complex-numbers约 105 分钟
  25. 25难度 4/5 · 详细大纲变分法对函数空间中的泛函求驻值，推导 Euler–Lagrange 方程及边界项。先修：partial-derivatives · integration-techniques · ordinary-differential-equations约 105 分钟
  26. 26难度 5/5 · 详细大纲Sturm–Liouville 理论研究带权自伴二阶边值问题，建立正交本征函数、实本征值和函数展开。先修：boundary-value-problems · ordinary-differential-equations · orthogonality约 120 分钟