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MIT 18.06SC Linear Algebra
从线性方程组进入向量空间、矩阵分解、行列式与特征值。
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MIT 6.041SC Probabilistic Systems Analysis and Applied Probability
介绍概率模型、随机变量、随机过程和统计推断基础的本科课程。
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矩阵:组织线性关系的坐标语言
从形状、行列与列向量出发,理解矩阵运算、矩阵乘法、单位矩阵、逆矩阵和分块计算的结构含义。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 正文可读 - article
Stanford CS229 Course Materials
覆盖监督学习、广义线性模型、学习理论、优化与生成学习算法。
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向量:从箭头到高维空间
从位移箭头、坐标与线性组合出发,理解向量如何成为描述方向、状态和高维数据的统一语言。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 正文可读 - article
感知机与多层感知机:从线性边界到可学习的非线性
从线性阈值分类器、误分类更新与可分性出发,推导多层感知机的前向传播、张量形状、参数数量和表达能力边界。
machine-learning · neural-networks · 难度 3 · 正文可读 - article
期望、方差与协方差:分布的中心、尺度和共同变化
从分布定义期望和二阶矩,推导方差与协方差的运算规律,并区分独立、零协方差、相关和因果关系。
mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读 - article
注意力机制:从加权平均到自注意力
从数据相关的加权平均推导缩放点积注意力,明确 query、key、value 的形状、softmax 归一化与解释边界。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 正文可读 - article
特征值与特征向量:寻找线性变换的不变方向
从方向不变条件推导特征方程,区分代数与几何重数,判断对角化,并连接矩阵幂、稳定性和对称矩阵。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 正文可读 - article
监督学习:从带标签样本到可检验的预测规则
建立监督学习的问题定义,区分样本、模型、损失、经验风险、验证选择与未知分布上的泛化误差。
machine-learning · learning-theory · 难度 2 · 正文可读 - article
线性变换:把矩阵看作空间运动
把矩阵理解为保持线性组合的空间映射,并用基向量、行列式与奇异性解释二维变换的几何行为。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - article
线性回归:从平方损失到最小二乘几何
从仿射预测、平方损失和矩阵表示推导最小二乘解、梯度、投影解释及其统计假设。
machine-learning · learning-theory · 难度 2 · 正文可读 - article
行列式:有向体积、可逆性与消元
从平行四边形有向面积出发,推导行列式的多线性、交替性、行变换规则及其与可逆性的等价关系。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - article
逻辑回归:从线性得分到二分类概率
由伯努利条件模型推导 sigmoid、对数几率、交叉熵、梯度与决策阈值,并说明线性可分和概率解释的边界。
machine-learning · learning-theory · 难度 3 · 正文可读 - concept
Newton 方法
利用 Hessian 曲率修正梯度方向,理解二次收敛、阻尼和矩阵求解成本。
mathematics · optimization · 难度 4 · 详细大纲 - concept
偏微分方程数值解
把空间与时间离散组合为可计算更新,检查一致性、稳定性和收敛性。
computer-science · scientific-computing · 难度 5 · 详细大纲 - concept
最小二乘
把不相容线性方程转化为残差平方最小问题,并由投影推导正规方程。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
有限元基础
从弱形式和局部基函数组装离散系统,用网格逼近复杂区域上的边值问题。
computer-science · scientific-computing · 难度 5 · 详细大纲 - concept
线性方程组
把多个线性约束写成矩阵方程,分析无解、唯一解和无穷多解的条件。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
线性组合
用系数组合一组向量,判断一个目标向量是否能够由给定生成集合表示。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲 - concept
迭代线性求解器
通过残差更新逐步逼近大型稀疏线性系统的解,并用谱性质判断收敛。
computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲 - concept
零空间与解空间
求解映射到零向量的全部输入,并用秩-零化度关系连接自由度。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
高斯消元
通过初等行变换把线性方程组化为阶梯形,并稳定地回代求解。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
Jacobian 矩阵
用一阶偏导矩阵表示多输入多输出映射的最佳局部线性近似。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
叠加原理
说明线性方程解的线性组合仍是解,并用干涉现象展示振幅的相加与相消。
physics · waves · 难度 2 · 详细大纲 - concept
向量空间与子空间
用封闭性公理刻画向量空间,并检验解集、函数集和矩阵集是否构成子空间。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
向量运算与内积
计算向量加法、数乘、范数和内积,并解释长度、夹角与相似度的几何意义。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲 - concept
图神经网络
通过邻域消息传递更新节点表示,并用置换不变聚合处理非欧氏结构。
machine-learning · neural-networks · 难度 5 · 详细大纲 - concept
张成、线性无关与基
通过张成集和线性无关选择最小坐标系统,理解维数为何不依赖具体基。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
正交投影
把向量分解到子空间及其正交补上,并推导投影矩阵与最小距离性质。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
矩阵乘法
从行列内积和映射复合理解矩阵乘法,明确不可交换性与维度匹配条件。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
算符与可观测量
用自伴线性算符表示可观测量,并由本征值和期望值连接测量结果。
physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - learning-path
线性代数基础
从向量和矩阵建立线性空间语言,进入方程组、特征结构与低秩分解。
- experiment
二维线性变换
观察矩阵如何移动网格、基向量与有向面积。
mathematics - symbol
A · 线性变换的矩阵表示
A
- symbol
lambda · 矩阵的特征值
lambda
- symbol
v · 与特征值对应的非零特征向量
mathbf{v}
- symbol
x · 输入向量
\mathbf{x}
- symbol
y · 输出向量
mathbf{y}
- learning-path
从线性模型到神经网络
从监督学习和线性分类进入损失、泛化、多层感知机与反向传播。
- learning-path
机器学习数学基础
把线性代数、多变量微分、概率矩和优化连接为机器学习的统一计算语言。
- equation
线性变换
\mathbf{y}=A\mathbf{x}
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