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MIT 18.02SC Multivariable Calculus
覆盖向量、矩阵、多元微分、多重积分与向量分析的自学课程。
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MIT 18.06SC Linear Algebra
从线性方程组进入向量空间、矩阵分解、行列式与特征值。
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向量:从箭头到高维空间
从位移箭头、坐标与线性组合出发,理解向量如何成为描述方向、状态和高维数据的统一语言。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 正文可读 - article
导数、方向导数与梯度
从全微分建立多变量函数的最佳线性近似,用梯度表示方向导数,并区分欧氏最陡方向、一般度量和约束条件。
mathematics · calculus · 难度 3 · 正文可读 - article
注意力机制:从加权平均到自注意力
从数据相关的加权平均推导缩放点积注意力,明确 query、key、value 的形状、softmax 归一化与解释边界。
machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 正文可读 - article
特征值与特征向量:寻找线性变换的不变方向
从方向不变条件推导特征方程,区分代数与几何重数,判断对角化,并连接矩阵幂、稳定性和对称矩阵。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 正文可读 - article
矩阵:组织线性关系的坐标语言
从形状、行列与列向量出发,理解矩阵运算、矩阵乘法、单位矩阵、逆矩阵和分块计算的结构含义。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 正文可读 - article
线性变换:把矩阵看作空间运动
把矩阵理解为保持线性组合的空间映射,并用基向量、行列式与奇异性解释二维变换的几何行为。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - article
行列式:有向体积、可逆性与消元
从平行四边形有向面积出发,推导行列式的多线性、交替性、行变换规则及其与可逆性的等价关系。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - concept
Markov 链
用状态转移矩阵描述无记忆随机演化,并分析平稳分布和长期行为。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - concept
主成分分析
寻找数据协方差最大的正交方向,并用低秩投影压缩和去噪。
machine-learning · learning-theory · 难度 3 · 详细大纲 - concept
凸集
用线段闭包定义凸集,并识别半空间、范数球和仿射集合等基本例子。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
动量守恒
从封闭系统内力成对抵消推导总动量守恒,并分析碰撞与质心运动。
physics · classical-mechanics · 难度 3 · 详细大纲 - concept
向量场
给空间中每一点分配一个向量,用于描述速度场、力场和梯度场。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
向量运算与内积
计算向量加法、数乘、范数和内积,并解释长度、夹角与相似度的几何意义。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲 - concept
奇异值分解
把任意矩阵分解为两次正交变换和一次轴向缩放,揭示秩与主方向。
mathematics · linear-algebra · 难度 4 · 详细大纲 - concept
正定矩阵
通过二次型和特征值判断矩阵是否在所有非零方向产生正曲率。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
简正模
把线性系统的运动分解为独立本征振型,并由边界条件量化允许频率。
physics · waves · 难度 4 · 详细大纲 - concept
算符与可观测量
用自伴线性算符表示可观测量,并由本征值和期望值连接测量结果。
physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
线性组合
用系数组合一组向量,判断一个目标向量是否能够由给定生成集合表示。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲 - concept
耦合振子
把多个相互作用振子的方程写成矩阵系统,并用本征向量分解简正模。
physics · classical-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
运动学
用位置、速度和加速度描述质点运动,不预设产生运动的具体相互作用。
physics · classical-mechanics · 难度 2 · 详细大纲 - concept
迭代线性求解器
通过残差更新逐步逼近大型稀疏线性系统的解,并用谱性质判断收敛。
computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲 - book
Calculus Volume 3
覆盖向量、多元函数、多重积分与二阶微分方程的开放教材。
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机器学习数学基础
把线性代数、多变量微分、概率矩和优化连接为机器学习的统一计算语言。
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特征值方程
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}
mathematics · linear-algebra - learning-path
线性代数基础
从向量和矩阵建立线性空间语言,进入方程组、特征结构与低秩分解。