SUBJECT / linear-algebra
线性代数
向量、线性映射与空间结构。
01
课程章节
按难度与先修关系排列
- 01难度 1/5 · 正文可读向量把向量理解为可加、可缩放的方向与状态表示，并连接坐标、几何和高维数据。起点章节
- 02难度 1/5 · 详细大纲向量运算与内积计算向量加法、数乘、范数和内积，并解释长度、夹角与相似度的几何意义。先修：vectors
- 03难度 1/5 · 正文可读矩阵把矩阵作为线性映射和线性方程组的有限维表示，区分行、列与形状。先修：vectors
- 04难度 1/5 · 详细大纲矩阵运算掌握矩阵加法、数乘、转置和分块操作，并跟踪各运算对矩阵形状的要求。先修：matrices
- 05难度 1/5 · 详细大纲线性组合用系数组合一组向量，判断一个目标向量是否能够由给定生成集合表示。先修：vectors · vector-operations
- 06难度 2/5 · 详细大纲向量空间与子空间用封闭性公理刻画向量空间，并检验解集、函数集和矩阵集是否构成子空间。先修：linear-combinations
- 07难度 2/5 · 详细大纲张成、线性无关与基通过张成集和线性无关选择最小坐标系统，理解维数为何不依赖具体基。先修：vector-spaces · linear-combinations
- 08难度 2/5 · 详细大纲矩阵乘法从行列内积和映射复合理解矩阵乘法，明确不可交换性与维度匹配条件。先修：matrix-operations · vector-operations
- 09难度 2/5 · 详细大纲线性方程组把多个线性约束写成矩阵方程，分析无解、唯一解和无穷多解的条件。先修：matrices · linear-combinations
- 10难度 2/5 · 详细大纲高斯消元通过初等行变换把线性方程组化为阶梯形，并稳定地回代求解。先修：linear-systems · matrix-operations
- 11难度 2/5 · 正文可读行列式把行列式解释为有向体积缩放因子，并用零行列式识别不可逆变换。先修：matrices · linear-transformation
- 12难度 2/5 · 详细大纲矩阵的秩用主元、列空间和像空间度量矩阵保留的独立方向数量。先修：gaussian-elimination · span-and-basis
- 13难度 2/5 · 详细大纲零空间与解空间求解映射到零向量的全部输入，并用秩-零化度关系连接自由度。先修：matrix-rank · linear-systems
- 14难度 2/5 · 详细大纲正交性用零内积表达方向独立性，并理解正交基如何简化坐标、长度和数值计算。先修：vector-operations · span-and-basis
- 15难度 2/5 · 正文可读线性变换用保持线性组合的映射描述旋转、缩放、剪切和投影，并由基确定矩阵表示。先修：vectors · matrices · linear-combinations
- 16难度 3/5 · 正文可读特征值与特征向量寻找在线性变换下方向不变的向量，并用特征值刻画该方向上的伸缩。先修：linear-transformation · determinants
- 17难度 3/5 · 详细大纲正交投影把向量分解到子空间及其正交补上，并推导投影矩阵与最小距离性质。先修：orthogonality · linear-transformation
- 18难度 3/5 · 详细大纲最小二乘把不相容线性方程转化为残差平方最小问题，并由投影推导正规方程。先修：orthogonal-projection · linear-systems
- 19难度 3/5 · 详细大纲Gram–Schmidt 正交化逐步移除已有方向分量，把线性无关向量组转化为正交或标准正交基。先修：orthogonality · span-and-basis
- 20难度 3/5 · 详细大纲正定矩阵通过二次型和特征值判断矩阵是否在所有非零方向产生正曲率。先修：eigenvalues-eigenvectors · matrix-operations
- 21难度 3/5 · 详细大纲二次型用矩阵表达多变量二次函数，并由特征方向分析等值面与曲率。先修：positive-definite-matrices · matrix-multiplication
- 22难度 4/5 · 详细大纲奇异值分解把任意矩阵分解为两次正交变换和一次轴向缩放，揭示秩与主方向。先修：eigenvalues-eigenvectors · orthogonality · matrix-rank