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MIT 6.041SC Probabilistic Systems Analysis and Applied Probability
介绍概率模型、随机变量、随机过程和统计推断基础的本科课程。
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MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves
从振子、耦合模态进入机械波、电磁波与波动方程的本科物理课程。
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MIT 18.01SC Single Variable Calculus
含讲义、视频、例题、习题与解答的单变量微积分自学课程。
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函数与函数图像:从对应规则到可分析的关系
把函数理解为定义域到陪域的确定对应,掌握表示、复合、反函数、图像变换和分段函数的基本方法。
mathematics · foundations · 难度 1 · 正文可读 - article
导数与微分:从变化率到局部线性化
由割线斜率的极限定义导数,推导乘积与链式法则,说明微分作为最佳局部线性近似的含义,并连接中值定理与误差估计。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
极限与连续性:用邻域刻画逼近
从数值逼近进入 ε-δ 定义,证明极限的唯一性与运算规则,并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
积分与累积:从黎曼和到微积分基本定理
从分割区间和局部贡献出发定义定积分,推导积分的基本性质与微积分基本定理,并区分净累积、几何面积和原函数。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
傅里叶级数:用正交谐波展开周期函数
从三角函数正交性推导傅里叶系数,分析部分和、收敛、Gibbs 现象,并连接固定弦的模态演化。
mathematics · calculus · 难度 3 · 正文可读 - article
期望、方差与协方差:分布的中心、尺度和共同变化
从分布定义期望和二阶矩,推导方差与协方差的运算规律,并区分独立、零协方差、相关和因果关系。
mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读 - article
激活函数:表达能力、梯度传播与输出语义
从线性层复合的退化出发,比较 sigmoid、tanh、ReLU、GELU 与 SiLU 的函数形状、导数、数值行为和输出层适用范围。
machine-learning · neural-networks · 难度 3 · 正文可读 - article
监督学习:从带标签样本到可检验的预测规则
建立监督学习的问题定义,区分样本、模型、损失、经验风险、验证选择与未知分布上的泛化误差。
machine-learning · learning-theory · 难度 2 · 正文可读 - article
随机变量与概率分布:从随机结果到可计算的数值规律
把随机变量定义为样本空间上的可测函数,统一理解分布函数、概率质量函数、概率密度、支持集与变量变换。
mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读 - concept
初值问题
给定某一时刻的状态后求解微分方程,并理解存在唯一性对演化预测的意义。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
反常积分
用极限定义无穷区间或无界被积函数的积分,并判断其收敛性。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
数列与级数
研究离散序列的极限、递推关系和无穷求和,为连续极限与函数展开建立基础。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - book
Calculus Volume 1
覆盖函数、极限、导数与积分的一学期微积分开放教材。
- equation
导数的差商定义
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
mathematics · calculus - learning-path
高等数学基础
从函数极限进入一元微积分,再过渡到多变量变化率和微分方程。
- concept
Gram–Schmidt 正交化
逐步移除已有方向分量,把线性无关向量组转化为正交或标准正交基。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Lagrange 力学
以作用量驻值推导广义坐标方程,把约束和对称性纳入力学描述。
physics · classical-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Newton 运动定律
把合力与动量变化联系起来,并明确惯性系、质量和作用反作用的适用条件。
physics · classical-mechanics · 难度 2 · 详细大纲 - concept
Taylor 展开
以一点处的导数构造多项式局部近似,并用余项控制截断误差。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
三角函数
从单位圆定义正弦、余弦和正切,理解周期、相位与常用恒等式。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - concept
偏导数
在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。
mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲 - concept
凸函数
通过弦不等式和一阶条件刻画凸性,并说明局部最优为何成为全局最优。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
凸集
用线段闭包定义凸集,并识别半空间、范数球和仿射集合等基本例子。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
函数空间映射
把输入函数映射为输出函数,区分有限维参数拟合与无限维算子学习。
interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲 - concept
功与能量守恒
由力沿路径的积分定义功,并用势能和动能追踪保守系统的状态变化。
physics · classical-mechanics · 难度 3 · 详细大纲 - concept
动量优化
累积历史更新方向以抑制高曲率振荡,并加速沿稳定方向的前进。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
叠加原理
说明线性方程解的线性组合仍是解,并用干涉现象展示振幅的相加与相消。
physics · waves · 难度 2 · 详细大纲 - concept
向量场
给空间中每一点分配一个向量,用于描述速度场、力场和梯度场。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
向量空间与子空间
用封闭性公理刻画向量空间,并检验解集、函数集和矩阵集是否构成子空间。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
命题逻辑与量词
区分命题、蕴含、等价、全称量词和存在量词,并正确否定带量词的陈述。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - concept
图算法
在节点和边结构上执行遍历、最短路和拓扑排序,分析可达性与依赖关系。
computer-science · algorithms · 难度 3 · 详细大纲 - concept
坐标几何
用坐标、距离、斜率和曲线方程把平面几何对象转化为可计算的代数关系。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - concept
多重积分
在二维和高维区域上累积标量密度,并处理积分次序与变量变换。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
多项式与根
分析多项式的次数、因式分解、根及重数,并连接代数表达式与函数图像。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
大数定律
说明独立样本均值在适当条件下趋近总体期望,并区分弱收敛与强收敛。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
学习率调度
用分段、余弦、指数或预热策略控制训练不同时期的更新尺度。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
常微分方程
用未知函数及其常导数描述动态规律,区分阶数、线性、自治和初值条件。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
张成、线性无关与基
通过张成集和线性无关选择最小坐标系统,理解维数为何不依赖具体基。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
微积分基本定理
证明求导与积分在适当连续条件下互为逆运算,并连接局部变化与总累积。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
抽样分布
研究统计量在重复抽样中的分布,为标准误、区间估计和检验建立基础。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
数值微分
用有限差分近似导数,并平衡截断误差、舍入误差和步长选择。
computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲 - concept
数值积分
用求积公式近似定积分,并根据光滑性和网格细化估计误差。
computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲 - concept
数学归纳法
通过基例和归纳步骤证明离散命题,并识别强归纳法适用的递归结构。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
无限深方势阱
在零边界波函数条件下求解定态 Schrödinger 方程,得到离散能级和正弦本征态。
physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲 - concept
曲线积分
沿参数曲线累积标量或向量场贡献,并解释功与环流的数学表达。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
概率公理与事件
用样本空间、事件集合和可列可加测度建立概率推理的基本规则。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - concept
正交性
用零内积表达方向独立性,并理解正交基如何简化坐标、长度和数值计算。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
波动边界条件
区分固定端、自由端和周期边界,并判断反射相位与允许解族。
physics · waves · 难度 3 · 详细大纲 - concept
波的振幅、频率与相位
用振幅、周期、频率、波长、相位和波速定量描述行波的时空结构。
physics · waves · 难度 2 · 详细大纲 - concept
浮点数与舍入误差
理解有限二进制表示、机器精度、消去误差和条件数对计算可靠性的影响。
computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲 - concept
生成模型
学习数据联合分布或生成过程,使模型能够采样、补全、重建并估计不确定性。
machine-learning · generative-models · 难度 4 · 详细大纲 - concept
目标函数与可行域
把决策变量、目标函数和约束写成明确优化问题,并区分局部与全局最优。
mathematics · optimization · 难度 2 · 详细大纲 - concept
矩阵的秩
用主元、列空间和像空间度量矩阵保留的独立方向数量。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
离散概率分布
分析 Bernoulli、二项、几何和 Poisson 分布的参数、支持集与典型生成机制。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - concept
积分技巧
使用换元、分部积分和部分分式把复杂积分化为可计算的基本形式。
mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲 - concept
简正模
把线性系统的运动分解为独立本征振型,并由边界条件量化允许频率。
physics · waves · 难度 4 · 详细大纲 - concept
算法复杂度
用渐近记号比较算法随输入规模增长的时间和空间成本,并区分最坏与平均情况。
computer-science · algorithms · 难度 2 · 详细大纲 - concept
线性组合
用系数组合一组向量,判断一个目标向量是否能够由给定生成集合表示。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲 - concept
联合分布与条件分布
描述多个随机变量的共同变化,并由边缘化和条件化提取局部规律。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
色散关系
用频率与波数之间的关系判断相速度、群速度以及波包是否发生展宽。
physics · waves · 难度 4 · 详细大纲 - concept
证明方法
组织直接证明、反证法、逆否证明和构造证明,明确假设与结论之间的推理链。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
贝叶斯推断
用先验和似然形成后验分布,并通过后验预测表达参数不确定性。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - concept
运动学
用位置、速度和加速度描述质点运动,不预设产生运动的具体相互作用。
physics · classical-mechanics · 难度 2 · 详细大纲 - concept
连续概率分布
用概率密度和积分研究均匀、正态、指数等连续分布及其参数。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
递归与递推
把问题分解为规模更小的同类问题,并用基例和调用栈保证计算终止。
computer-science · algorithms · 难度 2 · 详细大纲 - concept
链式法则
把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积,并推广到多变量映射。
mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲 - concept
集合与映射
用集合、子集、笛卡尔积和映射描述数学对象的范围、对应关系与复合规则。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - concept
集成学习
组合多个基学习器降低方差或偏差,比较 bagging、随机森林和 boosting。
machine-learning · learning-theory · 难度 4 · 详细大纲 - concept
驻波
由相向传播的同频波叠加得到节点和腹点固定的空间振型。
physics · waves · 难度 3 · 详细大纲 - book
Introductory Statistics 2e
以代数为先修,系统介绍概率、随机变量、分布与统计推断。
- learning-path
数学物理方法基础
由微分方程、本征函数和傅里叶方法进入波动、边值问题与基础量子模型。
- equation
方向导数与梯度
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})=\nabla f(\mathbf{x})^\mathsf{T}\mathbf{u}
mathematics · calculus - learning-path
概率统计基础
从事件与条件概率进入随机变量、极限定理、估计和假设检验。
- equation
离散随机变量的期望
\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,p_X(x)
mathematics · probability - learning-path
线性代数基础
从向量和矩阵建立线性空间语言,进入方程组、特征结构与低秩分解。