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  1. article

    MIT 6.041SC Probabilistic Systems Analysis and Applied Probability

    介绍概率模型、随机变量、随机过程和统计推断基础的本科课程。

  2. article

    MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves

    从振子、耦合模态进入机械波、电磁波与波动方程的本科物理课程。

  3. article

    MIT 18.01SC Single Variable Calculus

    含讲义、视频、例题、习题与解答的单变量微积分自学课程。

  4. article

    函数与函数图像:从对应规则到可分析的关系

    把函数理解为定义域到陪域的确定对应,掌握表示、复合、反函数、图像变换和分段函数的基本方法。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 正文可读
  5. article

    导数与微分:从变化率到局部线性化

    由割线斜率的极限定义导数,推导乘积与链式法则,说明微分作为最佳局部线性近似的含义,并连接中值定理与误差估计。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  6. article

    极限与连续性:用邻域刻画逼近

    从数值逼近进入 ε-δ 定义,证明极限的唯一性与运算规则,并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  7. article

    积分与累积:从黎曼和到微积分基本定理

    从分割区间和局部贡献出发定义定积分,推导积分的基本性质与微积分基本定理,并区分净累积、几何面积和原函数。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  8. article

    傅里叶级数:用正交谐波展开周期函数

    从三角函数正交性推导傅里叶系数,分析部分和、收敛、Gibbs 现象,并连接固定弦的模态演化。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 正文可读
  9. article

    期望、方差与协方差:分布的中心、尺度和共同变化

    从分布定义期望和二阶矩,推导方差与协方差的运算规律,并区分独立、零协方差、相关和因果关系。

    mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读
  10. article

    激活函数:表达能力、梯度传播与输出语义

    从线性层复合的退化出发,比较 sigmoid、tanh、ReLU、GELU 与 SiLU 的函数形状、导数、数值行为和输出层适用范围。

    machine-learning · neural-networks · 难度 3 · 正文可读
  11. article

    监督学习:从带标签样本到可检验的预测规则

    建立监督学习的问题定义,区分样本、模型、损失、经验风险、验证选择与未知分布上的泛化误差。

    machine-learning · learning-theory · 难度 2 · 正文可读
  12. article

    随机变量与概率分布:从随机结果到可计算的数值规律

    把随机变量定义为样本空间上的可测函数,统一理解分布函数、概率质量函数、概率密度、支持集与变量变换。

    mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读
  13. concept

    初值问题

    给定某一时刻的状态后求解微分方程,并理解存在唯一性对演化预测的意义。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  14. concept

    反常积分

    用极限定义无穷区间或无界被积函数的积分,并判断其收敛性。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  15. concept

    数列与级数

    研究离散序列的极限、递推关系和无穷求和,为连续极限与函数展开建立基础。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  16. book

    Calculus Volume 1

    覆盖函数、极限、导数与积分的一学期微积分开放教材。

  17. equation

    导数的差商定义

    f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    mathematics · calculus
  18. learning-path

    高等数学基础

    从函数极限进入一元微积分,再过渡到多变量变化率和微分方程。

  19. concept

    Gram–Schmidt 正交化

    逐步移除已有方向分量,把线性无关向量组转化为正交或标准正交基。

    mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲
  20. concept

    Lagrange 力学

    以作用量驻值推导广义坐标方程,把约束和对称性纳入力学描述。

    physics · classical-mechanics · 难度 4 · 详细大纲
  21. concept

    Newton 运动定律

    把合力与动量变化联系起来,并明确惯性系、质量和作用反作用的适用条件。

    physics · classical-mechanics · 难度 2 · 详细大纲
  22. concept

    Taylor 展开

    以一点处的导数构造多项式局部近似,并用余项控制截断误差。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  23. concept

    三角函数

    从单位圆定义正弦、余弦和正切,理解周期、相位与常用恒等式。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲
  24. concept

    偏导数

    在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲
  25. concept

    凸函数

    通过弦不等式和一阶条件刻画凸性,并说明局部最优为何成为全局最优。

    mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲
  26. concept

    凸集

    用线段闭包定义凸集,并识别半空间、范数球和仿射集合等基本例子。

    mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲
  27. concept

    函数空间映射

    把输入函数映射为输出函数,区分有限维参数拟合与无限维算子学习。

    interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲
  28. concept

    功与能量守恒

    由力沿路径的积分定义功,并用势能和动能追踪保守系统的状态变化。

    physics · classical-mechanics · 难度 3 · 详细大纲
  29. concept

    动量优化

    累积历史更新方向以抑制高曲率振荡,并加速沿稳定方向的前进。

    mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲
  30. concept

    叠加原理

    说明线性方程解的线性组合仍是解,并用干涉现象展示振幅的相加与相消。

    physics · waves · 难度 2 · 详细大纲
  31. concept

    向量场

    给空间中每一点分配一个向量,用于描述速度场、力场和梯度场。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  32. concept

    向量空间与子空间

    用封闭性公理刻画向量空间,并检验解集、函数集和矩阵集是否构成子空间。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲
  33. concept

    命题逻辑与量词

    区分命题、蕴含、等价、全称量词和存在量词,并正确否定带量词的陈述。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲
  34. concept

    图算法

    在节点和边结构上执行遍历、最短路和拓扑排序,分析可达性与依赖关系。

    computer-science · algorithms · 难度 3 · 详细大纲
  35. concept

    坐标几何

    用坐标、距离、斜率和曲线方程把平面几何对象转化为可计算的代数关系。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲
  36. concept

    多重积分

    在二维和高维区域上累积标量密度,并处理积分次序与变量变换。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  37. concept

    多项式与根

    分析多项式的次数、因式分解、根及重数,并连接代数表达式与函数图像。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  38. concept

    大数定律

    说明独立样本均值在适当条件下趋近总体期望,并区分弱收敛与强收敛。

    mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲
  39. concept

    学习率调度

    用分段、余弦、指数或预热策略控制训练不同时期的更新尺度。

    mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲
  40. concept

    常微分方程

    用未知函数及其常导数描述动态规律,区分阶数、线性、自治和初值条件。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  41. concept

    张成、线性无关与基

    通过张成集和线性无关选择最小坐标系统,理解维数为何不依赖具体基。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲
  42. concept

    微积分基本定理

    证明求导与积分在适当连续条件下互为逆运算,并连接局部变化与总累积。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  43. concept

    抽样分布

    研究统计量在重复抽样中的分布,为标准误、区间估计和检验建立基础。

    mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲
  44. concept

    数值微分

    用有限差分近似导数,并平衡截断误差、舍入误差和步长选择。

    computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲
  45. concept

    数值积分

    用求积公式近似定积分,并根据光滑性和网格细化估计误差。

    computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲
  46. concept

    数学归纳法

    通过基例和归纳步骤证明离散命题,并识别强归纳法适用的递归结构。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  47. concept

    无限深方势阱

    在零边界波函数条件下求解定态 Schrödinger 方程,得到离散能级和正弦本征态。

    physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲
  48. concept

    曲线积分

    沿参数曲线累积标量或向量场贡献,并解释功与环流的数学表达。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  49. concept

    概率公理与事件

    用样本空间、事件集合和可列可加测度建立概率推理的基本规则。

    mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲
  50. concept

    正交性

    用零内积表达方向独立性,并理解正交基如何简化坐标、长度和数值计算。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲
  51. concept

    波动边界条件

    区分固定端、自由端和周期边界,并判断反射相位与允许解族。

    physics · waves · 难度 3 · 详细大纲
  52. concept

    波的振幅、频率与相位

    用振幅、周期、频率、波长、相位和波速定量描述行波的时空结构。

    physics · waves · 难度 2 · 详细大纲
  53. concept

    浮点数与舍入误差

    理解有限二进制表示、机器精度、消去误差和条件数对计算可靠性的影响。

    computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲
  54. concept

    生成模型

    学习数据联合分布或生成过程,使模型能够采样、补全、重建并估计不确定性。

    machine-learning · generative-models · 难度 4 · 详细大纲
  55. concept

    目标函数与可行域

    把决策变量、目标函数和约束写成明确优化问题,并区分局部与全局最优。

    mathematics · optimization · 难度 2 · 详细大纲
  56. concept

    矩阵的秩

    用主元、列空间和像空间度量矩阵保留的独立方向数量。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲
  57. concept

    离散概率分布

    分析 Bernoulli、二项、几何和 Poisson 分布的参数、支持集与典型生成机制。

    mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲
  58. concept

    积分技巧

    使用换元、分部积分和部分分式把复杂积分化为可计算的基本形式。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲
  59. concept

    简正模

    把线性系统的运动分解为独立本征振型,并由边界条件量化允许频率。

    physics · waves · 难度 4 · 详细大纲
  60. concept

    算法复杂度

    用渐近记号比较算法随输入规模增长的时间和空间成本,并区分最坏与平均情况。

    computer-science · algorithms · 难度 2 · 详细大纲
  61. concept

    线性组合

    用系数组合一组向量,判断一个目标向量是否能够由给定生成集合表示。

    mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲
  62. concept

    联合分布与条件分布

    描述多个随机变量的共同变化,并由边缘化和条件化提取局部规律。

    mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲
  63. concept

    色散关系

    用频率与波数之间的关系判断相速度、群速度以及波包是否发生展宽。

    physics · waves · 难度 4 · 详细大纲
  64. concept

    证明方法

    组织直接证明、反证法、逆否证明和构造证明,明确假设与结论之间的推理链。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  65. concept

    贝叶斯推断

    用先验和似然形成后验分布,并通过后验预测表达参数不确定性。

    mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲
  66. concept

    运动学

    用位置、速度和加速度描述质点运动,不预设产生运动的具体相互作用。

    physics · classical-mechanics · 难度 2 · 详细大纲
  67. concept

    连续概率分布

    用概率密度和积分研究均匀、正态、指数等连续分布及其参数。

    mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲
  68. concept

    递归与递推

    把问题分解为规模更小的同类问题,并用基例和调用栈保证计算终止。

    computer-science · algorithms · 难度 2 · 详细大纲
  69. concept

    链式法则

    把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积,并推广到多变量映射。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲
  70. concept

    集合与映射

    用集合、子集、笛卡尔积和映射描述数学对象的范围、对应关系与复合规则。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲
  71. concept

    集成学习

    组合多个基学习器降低方差或偏差,比较 bagging、随机森林和 boosting。

    machine-learning · learning-theory · 难度 4 · 详细大纲
  72. concept

    驻波

    由相向传播的同频波叠加得到节点和腹点固定的空间振型。

    physics · waves · 难度 3 · 详细大纲
  73. book

    Introductory Statistics 2e

    以代数为先修,系统介绍概率、随机变量、分布与统计推断。

  74. learning-path

    数学物理方法基础

    由微分方程、本征函数和傅里叶方法进入波动、边值问题与基础量子模型。

  75. equation

    方向导数与梯度

    D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})=\nabla f(\mathbf{x})^\mathsf{T}\mathbf{u}

    mathematics · calculus
  76. learning-path

    概率统计基础

    从事件与条件概率进入随机变量、极限定理、估计和假设检验。

  77. equation

    离散随机变量的期望

    \mathbb{E}[X]=\sum_x x\,p_X(x)

    mathematics · probability
  78. learning-path

    线性代数基础

    从向量和矩阵建立线性空间语言,进入方程组、特征结构与低秩分解。