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- concept
集合与映射
用集合、子集、笛卡尔积和映射描述数学对象的范围、对应关系与复合规则。
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命题逻辑与量词
区分命题、蕴含、等价、全称量词和存在量词，并正确否定带量词的陈述。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - concept
证明方法
组织直接证明、反证法、逆否证明和构造证明，明确假设与结论之间的推理链。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
数学归纳法
通过基例和归纳步骤证明离散命题，并识别强归纳法适用的递归结构。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - article
函数与函数图像：从对应规则到可分析的关系
把函数理解为定义域到陪域的确定对应，掌握表示、复合、反函数、图像变换和分段函数的基本方法。
mathematics · foundations · 难度 1 · 正文可读 - concept
数列与级数
研究离散序列的极限、递推关系和无穷求和，为连续极限与函数展开建立基础。
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复数与复平面
用代数形式和极坐标形式表示复数，理解模、幅角、共轭与旋转缩放的联系。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
多项式与根
分析多项式的次数、因式分解、根及重数，并连接代数表达式与函数图像。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
坐标几何
用坐标、距离、斜率和曲线方程把平面几何对象转化为可计算的代数关系。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - concept
三角函数
从单位圆定义正弦、余弦和正切，理解周期、相位与常用恒等式。
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向量：从箭头到高维空间
从位移箭头、坐标与线性组合出发，理解向量如何成为描述方向、状态和高维数据的统一语言。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 正文可读 - concept
向量运算与内积
计算向量加法、数乘、范数和内积，并解释长度、夹角与相似度的几何意义。
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线性组合
用系数组合一组向量，判断一个目标向量是否能够由给定生成集合表示。
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向量空间与子空间
用封闭性公理刻画向量空间，并检验解集、函数集和矩阵集是否构成子空间。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
张成、线性无关与基
通过张成集和线性无关选择最小坐标系统，理解维数为何不依赖具体基。
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矩阵：组织线性关系的坐标语言
从形状、行列与列向量出发，理解矩阵运算、矩阵乘法、单位矩阵、逆矩阵和分块计算的结构含义。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 正文可读 - concept
矩阵运算
掌握矩阵加法、数乘、转置和分块操作，并跟踪各运算对矩阵形状的要求。
mathematics · linear-algebra · 难度 1 · 详细大纲 - concept
矩阵乘法
从行列内积和映射复合理解矩阵乘法，明确不可交换性与维度匹配条件。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
线性方程组
把多个线性约束写成矩阵方程，分析无解、唯一解和无穷多解的条件。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
高斯消元
通过初等行变换把线性方程组化为阶梯形，并稳定地回代求解。
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线性变换：把矩阵看作空间运动
把矩阵理解为保持线性组合的空间映射，并用基向量、行列式与奇异性解释二维变换的几何行为。
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行列式：有向体积、可逆性与消元
从平行四边形有向面积出发，推导行列式的多线性、交替性、行变换规则及其与可逆性的等价关系。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 正文可读 - concept
矩阵的秩
用主元、列空间和像空间度量矩阵保留的独立方向数量。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
零空间与解空间
求解映射到零向量的全部输入，并用秩-零化度关系连接自由度。
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特征值与特征向量：寻找线性变换的不变方向
从方向不变条件推导特征方程，区分代数与几何重数，判断对角化，并连接矩阵幂、稳定性和对称矩阵。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 正文可读 - concept
正交性
用零内积表达方向独立性，并理解正交基如何简化坐标、长度和数值计算。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
正交投影
把向量分解到子空间及其正交补上，并推导投影矩阵与最小距离性质。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
最小二乘
把不相容线性方程转化为残差平方最小问题，并由投影推导正规方程。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Gram–Schmidt 正交化
逐步移除已有方向分量，把线性无关向量组转化为正交或标准正交基。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
奇异值分解
把任意矩阵分解为两次正交变换和一次轴向缩放，揭示秩与主方向。
mathematics · linear-algebra · 难度 4 · 详细大纲 - concept
正定矩阵
通过二次型和特征值判断矩阵是否在所有非零方向产生正曲率。
mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲 - concept
二次型
用矩阵表达多变量二次函数，并由特征方向分析等值面与曲率。
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极限与连续性：用邻域刻画逼近
从数值逼近进入 ε-δ 定义，证明极限的唯一性与运算规则，并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
导数与微分：从变化率到局部线性化
由割线斜率的极限定义导数，推导乘积与链式法则，说明微分作为最佳局部线性近似的含义，并连接中值定理与误差估计。
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链式法则
把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积，并推广到多变量映射。
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偏导数
在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。
mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲 - concept
方向导数
沿任意给定方向定义多变量函数的变化率，并连接单位方向与局部线性近似。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - article
导数、方向导数与梯度
从全微分建立多变量函数的最佳线性近似，用梯度表示方向导数，并区分欧氏最陡方向、一般度量和约束条件。
mathematics · calculus · 难度 3 · 正文可读 - concept
Jacobian 矩阵
用一阶偏导矩阵表示多输入多输出映射的最佳局部线性近似。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Hessian 矩阵
用二阶偏导矩阵描述标量函数的局部曲率，并分析极值点附近的方向结构。
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Taylor 展开
以一点处的导数构造多项式局部近似，并用余项控制截断误差。
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积分与累积：从黎曼和到微积分基本定理
从分割区间和局部贡献出发定义定积分，推导积分的基本性质与微积分基本定理，并区分净累积、几何面积和原函数。
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积分技巧
使用换元、分部积分和部分分式把复杂积分化为可计算的基本形式。
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反常积分
用极限定义无穷区间或无界被积函数的积分，并判断其收敛性。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
多重积分
在二维和高维区域上累积标量密度，并处理积分次序与变量变换。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
向量场
给空间中每一点分配一个向量，用于描述速度场、力场和梯度场。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
曲线积分
沿参数曲线累积标量或向量场贡献，并解释功与环流的数学表达。
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曲面积分
在参数曲面上累积密度或通量，明确面积元和法向方向的作用。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
微积分基本定理
证明求导与积分在适当连续条件下互为逆运算，并连接局部变化与总累积。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
常微分方程
用未知函数及其常导数描述动态规律，区分阶数、线性、自治和初值条件。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
初值问题
给定某一时刻的状态后求解微分方程，并理解存在唯一性对演化预测的意义。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
偏微分方程
用多个自变量的偏导描述场的空间与时间变化，并区分椭圆、抛物和双曲类型。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
边值问题
在区域边界施加函数值或通量条件，并研究这些约束如何选择微分方程的解。
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傅里叶级数：用正交谐波展开周期函数
从三角函数正交性推导傅里叶系数，分析部分和、收敛、Gibbs 现象，并连接固定弦的模态演化。
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傅里叶变换
把非周期信号表示为连续频率成分，并连接时域卷积、频域乘法和谱宽。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Laplace 变换
用复频率积分把微分方程转化为代数方程，并系统处理初始条件。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
变分法
对函数空间中的泛函求驻值，推导 Euler–Lagrange 方程及边界项。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Sturm–Liouville 理论
研究带权自伴二阶边值问题，建立正交本征函数、实本征值和函数展开。
mathematics · calculus · 难度 5 · 详细大纲 - concept
目标函数与可行域
把决策变量、目标函数和约束写成明确优化问题，并区分局部与全局最优。
mathematics · optimization · 难度 2 · 详细大纲 - concept
凸集
用线段闭包定义凸集，并识别半空间、范数球和仿射集合等基本例子。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
凸函数
通过弦不等式和一阶条件刻画凸性，并说明局部最优为何成为全局最优。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
一阶最优性条件
用梯度为零、方向导数和次梯度条件判断无约束候选最优点。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - article
梯度下降：从局部下降方向到可诊断的优化过程
从一阶近似与光滑性条件推导梯度下降，分析学习率、曲率、尺度、动量和停止准则如何共同决定收敛轨迹。
mathematics · optimization · 难度 3 · 正文可读 - concept
随机梯度下降
用随机样本或小批量近似完整梯度，权衡计算成本、方差与泛化行为。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
动量优化
累积历史更新方向以抑制高曲率振荡，并加速沿稳定方向的前进。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
自适应优化器
按参数历史梯度尺度调节有效学习率，比较 AdaGrad、RMSProp 和 Adam 的假设。
mathematics · optimization · 难度 4 · 详细大纲 - concept
学习率调度
用分段、余弦、指数或预热策略控制训练不同时期的更新尺度。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Newton 方法
利用 Hessian 曲率修正梯度方向，理解二次收敛、阻尼和矩阵求解成本。
mathematics · optimization · 难度 4 · 详细大纲 - concept
约束优化
在等式或不等式可行域内寻找最优解，并区分可行方向和活跃约束。
mathematics · optimization · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Lagrange 乘子
用乘子把等式约束并入目标函数，并从梯度平行关系推导候选解。
mathematics · optimization · 难度 4 · 详细大纲 - concept
优化对偶
由 Lagrangian 构造对偶函数，理解弱对偶、强对偶和对偶间隙。
mathematics · optimization · 难度 5 · 详细大纲 - concept
近端方法
用近端算子处理不可微正则项，并把梯度步骤与结构化收缩组合。
mathematics · optimization · 难度 5 · 详细大纲 - concept
概率公理与事件
用样本空间、事件集合和可列可加测度建立概率推理的基本规则。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - concept
组合概率
通过排列、组合和计数原理计算有限等可能样本空间中的事件概率。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - concept
条件概率与独立性
在已知事件发生的条件下更新样本空间，并区分独立、互斥和条件独立。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - concept
Bayes 定理
将条件概率方向反转，用先验、似然和证据计算后验概率。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - article
随机变量与概率分布：从随机结果到可计算的数值规律
把随机变量定义为样本空间上的可测函数，统一理解分布函数、概率质量函数、概率密度、支持集与变量变换。
mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读 - concept
离散概率分布
分析 Bernoulli、二项、几何和 Poisson 分布的参数、支持集与典型生成机制。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - concept
连续概率分布
用概率密度和积分研究均匀、正态、指数等连续分布及其参数。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
联合分布与条件分布
描述多个随机变量的共同变化，并由边缘化和条件化提取局部规律。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - article
期望、方差与协方差：分布的中心、尺度和共同变化
从分布定义期望和二阶矩，推导方差与协方差的运算规律，并区分独立、零协方差、相关和因果关系。
mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读 - concept
大数定律
说明独立样本均值在适当条件下趋近总体期望，并区分弱收敛与强收敛。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
中心极限定理
解释大量独立微小贡献的标准化和为何趋近正态分布，并明确所需条件。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
抽样分布
研究统计量在重复抽样中的分布，为标准误、区间估计和检验建立基础。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
统计估计
区分点估计和区间估计，并用偏差、方差、一致性和效率评价估计量。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
最大似然估计
把观测数据在模型参数下的概率视为目标函数，并求使其最大的参数。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
贝叶斯推断
用先验和似然形成后验分布，并通过后验预测表达参数不确定性。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - concept
置信区间
构造具有指定长期覆盖率的随机区间，并避免把覆盖率误解为参数后验概率。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
假设检验
用零假设下的统计量分布控制第一类错误，并解释 p 值、功效和多重比较。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
Markov 链
用状态转移矩阵描述无记忆随机演化，并分析平稳分布和长期行为。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Monte Carlo 方法
通过随机采样近似期望和积分，并用方差与有效样本量评价误差。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - concept
熵与互信息
量化随机变量的不确定性以及两个变量共享的信息，连接编码、推断和学习。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - equation
线性变换
\mathbf{y}=A\mathbf{x}
mathematics · linear-algebra - equation
导数的差商定义
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
mathematics · calculus - equation
方向导数与梯度
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})=\nabla f(\mathbf{x})^\mathsf{T}\mathbf{u}
mathematics · calculus - equation
特征值方程
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}
mathematics · linear-algebra - equation
离散随机变量的期望
\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,p_X(x)
mathematics · probability - equation
方差
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]
mathematics · probability - equation
梯度下降更新
\boldsymbol{\theta}_{k+1}=\boldsymbol{\theta}_k-\eta\nabla L(\boldsymbol{\theta}_k)
mathematics · optimization - equation
实形式傅里叶级数
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr)
mathematics · calculus - experiment
二维线性变换
观察矩阵如何移动网格、基向量与有向面积。
mathematics - experiment
梯度下降
比较学习率与动量如何改变优化轨迹。
mathematics - experiment
方向导数与梯度场
移动观察点和方向，比较梯度、方向向量与方向导数。
mathematics