专题路线
用误差与稳定性分析组织数值线性代数、逼近与微分方程离散，再进入凸优化、对偶与信息度量。
本路线不要求额外的站内先修，可从第一个精选章节开始。
路线按阶段连续组织正文；章节原有教材位置和书内顺序保持不变。
用条件数、稳定性与截断误差分析评估浮点计算、线性求解、插值积分和微分方程离散的可信度。
浮点数、条件数与误差传播：从舍入模型和机器精度出发，区分问题条件数、算法稳定性、前向误差与后向误差，并分析消去性相减和尺度失衡。
未开始线性方程组的直接与迭代解法：比较带主元消元与 LU 分解、Jacobi 与 Gauss–Seidel 等方法，使用残差、条件数和谱半径判断解的可信度与迭代收敛。
未开始插值、多项式逼近与样条：由 Lagrange 与 Newton 形式构造插值多项式，解释余项与 Runge 现象，再用分段低次多项式和三次样条控制局部误差。
未开始数值积分与数值微分：从插值公式推导梯形、Simpson 与差分格式，使用 Taylor 展开计算截断误差，并说明微分对测量噪声的放大作用。
未开始常微分与偏微分方程数值方法：从 Euler 与 Runge–Kutta 时间推进进入有限差分离散，区分一致性、稳定性和收敛性，并比较显式格式的步长限制与隐式格式的线性求解成本。
未开始稳定性、收敛性与科学计算综合复习：围绕一个科学计算流程连接浮点误差、线性求解、插值积分和微分方程离散，使用残差、网格加密与独立方法报告数值证据。
未开始识别凸结构并选择合适的一阶方法，用 KKT 条件与对偶关系检验候选解的最优性。
优化模型、可行域与最优性：从决策变量、目标与约束建立优化模型，区分可行、局部与全局最优，并使用梯度、方向导数和法向条件表达一阶必要条件。
未开始凸集、凸函数与次梯度：用线段判据、Jensen 不等式和一阶支撑不等式识别凸性，把梯度推广为次梯度，并说明凸问题中局部最优与全局最优的关系。
未开始本章研究一阶优化与梯度下降。内容依次处理最速下降方向与步长、Lipschitz 梯度下的收敛率、动量、自适应方法与失效案例。
未开始约束优化、KKT 条件与对偶性：由 Lagrange 函数构造对偶下界，在明确约束资格后使用 KKT 条件，并通过原始可行性、对偶可行性、驻点与互补松弛核对候选解。
未开始熵、互信息与散度：从自信息与期望定义熵，推导联合熵、条件熵和互信息关系，使用 KL 散度刻画分布差异并明确对数底与绝对连续条件。
未开始最优化与信息论综合复习：以概率分布上的约束优化贯通凸性、对偶、梯度方法、熵和散度，比较几何最优性与信息度量在推导中的不同角色。
未开始完成指定教材章节后，用自己的推导回答；检查点不替代正文证明。
对一个线性方程组求解流程，分别说明问题条件数、算法后向稳定性与迭代法谱半径各自控制什么误差，并给出网格加密实验应报告的量。
写出一个带等式与不等式约束凸问题的 KKT 条件，并说明如何用原始可行性、对偶可行性、驻点与互补松弛验证候选点最优。
先独立作答，再展开提示与分步解答；每题附可重复的结果核验。
难度 4/5
矩阵 A=[[1,1/2],[1/2,1/3]]（2 阶 Hilbert 矩阵），右端扰动满足 ‖δb‖₂/‖b‖₂≤10⁻⁴。用 2-范数条件数估计解的相对误差上界，并说明该上界的实际含义。
对称正定矩阵的 2-范数条件数等于最大与最小特征值之比；先求 A 的特征值。
A 的特征方程为 λ²-(4/3)λ+1/12=0，解得 λ=(4±√13)/6，故 κ₂(A)=(4+√13)/(4-√13)=(29+8√13)/3≈19.28。扰动理论给出 ‖δx‖/‖x‖≤κ₂(A)·‖δb‖/‖b‖≈19.28×10⁻⁴≈1.9×10⁻³。含义是：右端万分之一的相对扰动，最坏可放大为解约千分之二的相对误差，放大因子由问题本身而非算法决定。
结果核验：直接求逆得 A⁻¹=[[4,-6],[-6,12]]，取 b=(1,1)ᵀ 与 δb=(10⁻⁴,0)ᵀ 实际求解，x 的相对变化不超过上界；当 b 沿最大特征向量、δb 沿最小特征向量方向时放大接近 κ₂(A)，说明上界可达。
难度 4/5
对 f(x)=½ xᵀQx，Q=diag(1,10)，使用精确线搜索的梯度下降。写出迭代格式，说明收缩因子由条件数 κ=10 决定的形式，并估计把误差 ‖xₖ-x*‖_Q 缩小 10⁴ 倍所需的迭代量级。
梯度为 Qx，最优步长 αₖ=(gₖᵀgₖ)/(gₖᵀQgₖ)；二次问题上精确线搜索每步收缩不超过 (κ-1)/(κ+1)。
迭代为 xₖ₊₁=xₖ-αₖgₖ，gₖ=Qxₖ，αₖ=(gₖᵀgₖ)/(gₖᵀQgₖ)。这里 κ=λ_max/λ_min=10，误差满足 ‖xₖ-x*‖_Q≤((κ-1)/(κ+1))ᵏ‖x₀-x*‖_Q=(9/11)ᵏ‖x₀-x*‖_Q。要求 (9/11)ᵏ≤10⁻⁴ 得 k≥4ln10/ln(11/9)≈46，即需要数十次迭代，条件数直接决定收敛快慢。
结果核验：数值核对首步：x₀=(10,1)ᵀ 时 g₀=(10,10)ᵀ，α₀=200/1100=2/11，x₁=(90/11,-9/11)ᵀ，f 由 55 降至 8910/242≈36.8，比值恰为 (9/11)²，与理论收缩因子一致。