一维波动方程：从局部振动到波的传播

学习目标与问题边界

一根受张力的细弦被拨动后，局部形变会向远处传播并在边界反射。核心任务是从弦微元的受力推导一维波动方程，说明初始条件和边界条件怎样选择具体运动，再把解析行波、固定端模态与离散时间步区分开。每个量都保留 SI 单位，便于检查推导和实验参数。

讨论对象是均匀、柔软、张力近似恒定的理想弦，横向位移和斜率足够小，阻尼、弯曲刚度与纵向伸缩可以忽略。该模型也可抽象描述某些声学或电磁一维传播，但参数含义和边界条件必须重新建立，不能把弦的张力解释直接复制到所有波动系统。

为什么局部振动会传播

拨动弦的一小段，扰动不会永远停在原处。相邻弦段通过张力相互作用：局部弯曲产生横向合力，使附近弦段开始运动。每一点只直接响应局部曲率，但这种局部耦合随时间把信息传向远处。

“波形向前移动”是宏观观察；波动方程描述的是每个位置的局部加速度如何由附近空间曲率决定。

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

变量、单位与模型范围

令

• $x$：沿弦的平衡位置，单位 m；
• $t$：时间，单位 s；
• $u(x,t)$：横向位移，单位 m；
• $c$：波速，单位 $\mathrm{m\,s^{-1}}$。

一维波动方程是

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.$$

左侧量纲是 $\mathrm{m\,s^{-2}}$。右侧 $u_{xx}$ 的量纲是 $\mathrm{m^{-1}}$，乘以 $c^2$ 的 $\mathrm{m^2\,s^{-2}}$ 后同样得到 $\mathrm{m\,s^{-2}}$。

模型假设弦均匀、张力恒定、横向位移斜率足够小、阻尼可忽略。大振幅、变张力、弯曲刚度或空气阻力会引入额外项，单独调整波速无法涵盖这些机制。

从牛顿第二定律推导

取长度为 $\Delta x$ 的小弦段。设恒定张力为 $T$，线密度为 $\mu$，分别具有单位 N 和 $\mathrm{kg\,m^{-1}}$。小斜率下，张力的横向分量近似为 $T u_x$。小段两端横向力之差约为

$$T\left[u_x(x+\Delta x,t)-u_x(x,t)\right] \approx T u_{xx}(x,t)\Delta x.$$

弦段质量为 $\mu\Delta x$，横向加速度为 $u_{tt}$。牛顿第二定律给出

$$\mu\Delta x\,u_{tt} =T u_{xx}\Delta x.$$

约去 $\Delta x$：

$$u_{tt}=\frac{T}{\mu}u_{xx}.$$

于是

$$c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.$$

推导的关键边界是小斜率近似。它不是对任意大变形弦的严格方程；若这一假设失效，横向和纵向运动会耦合。

方程还不够：初始与边界条件

二阶时间方程需要两个初始条件：

$$u(x,0)=f(x),\qquad u_t(x,0)=g(x).$$

$f$ 给初始形状，$g$ 给初始速度。只说“初始振幅”通常不足以唯一决定运动。

有限弦还需要边界条件。例如两端固定：

$$u(0,t)=u(L,t)=0.$$

自由端、驱动端和吸收边界会产生不同反射行为。相同波动方程配上不同条件，可以得到完全不同的解。

固定端规定 $u=0$，入射脉冲反射时位移符号翻转；理想自由端规定 $u_x=0$，反射时位移不翻转；周期边界把区间两端连接，适合描述环形介质或计算上的重复单元。所谓“吸收边界”是近似让出射波离开有限计算域，设计不当仍会产生数值反射。边界类型属于模型定义，不能根据动画外观临时切换后仍把结果视为同一问题。

无限弦上的行波与达朗贝尔公式

在整条实线上，设 $F$ 和 $G$ 为任意足够光滑的函数，则下式给出一组解：

$$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).$$

第一项以速度 $c$ 向正 $x$ 方向平移，第二项以同样速度向负方向平移。对第一项求导，$u_{tt}=c^2F''(x-ct)$、$u_{xx}=F''(x-ct)$；第二项同样成立，所以二者的线性组合满足方程。这个验证依赖二阶导数存在；对尖角或弱解，需要用更一般的函数空间表述。

若初始位移为 $f$、初始速度为 $g$，达朗贝尔公式写成

$$u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}2 +\frac1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,\mathrm ds.$$

令 $t=0$ 可得到 $u(x,0)=f(x)$；对时间求导后令 $t=0$，可得到 $u_t(x,0)=g(x)$。初始位移分成向左、向右传播的两份，初始速度通过不断扩大的影响区间进入位移。这条公式适用于无边界无限弦；有限弦的反射必须通过边界延拓、模态展开或边值求解处理。

传播的有限速度还体现在依赖区间：点 $(x,t)$ 只依赖初始区间 $[x-ct,x+ct]$。区间之外的初始扰动在时间 $t$ 前无法影响该点。这是双曲型方程的重要性质，与扩散方程的瞬时全域影响形成区别。

交互实验

实验问题是：振幅、频率和波速分别改变波形的哪些量，行波、驻波与局部脉冲的时间演化有何差别？

一维波动方程

正在加载交互实验…

演示在 $0$ 到 $10\,\mathrm m$ 的窗口中显示正向行波、驻波或按周期边界平移的高斯脉冲。控件分别改变振幅、频率和波速；播放、暂停、前进、后退与重置控制时间演化，状态摘要给出当前时间、波长、波数、最大位移和色散关系核对。参数或时间步均经过 URL 校验，可用分享链接复现实验状态。

建议按以下顺序操作：

1. 固定弦长和边界，改变振幅，检查线性模型中传播速度是否改变。
2. 固定波速，改变初始形状或频率，比较波长和时间演化。
3. 改变 $c$，记录扰动到达某一固定位置的时间。
4. 暂停并单步前进，区分波峰移动与每个弦元的横向运动。
5. 重置后分享状态 URL，确认参数、时间和初始条件能够复现。

行波和驻波选项显示满足 $\omega=ck$ 的解析波形在离散时间点的采样，高斯选项用于观察周期窗口中的局部脉冲平移。它并非任意初边值问题的有限差分求解器，也没有模拟阻尼、变张力或开放边界。图形可帮助检查相位与参数关系，方程成立仍需代入求导或使用数值收敛分析。文本摘要在画布不可见时仍说明参数、单位和当前状态。

例题一：固定弦的正常模态

例 1：核对边界、方程与频率

两端固定、长度为 $L$ 的弦有模态解

$$u_n(x,t) =A\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{n\pi c t}{L}\right), \qquad n=1,2,\ldots$$

代回方程可核对：

$$u_{tt} =-\left(\frac{n\pi c}{L}\right)^2u_n, \qquad c^2u_{xx} =-\left(\frac{n\pi c}{L}\right)^2u_n.$$

边界处正弦因子为零，因此固定端条件成立。角频率 $\omega_n=n\pi c/L$，普通频率为

$$f_n=\frac{\omega_n}{2\pi}=\frac{nc}{2L}.$$

若 $L=1\,\mathrm m$、$c=100\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，基频为 $50\,\mathrm{Hz}$。振幅取 $A=0.01\,\mathrm m$ 会改变位移大小，但在线性模型中不改变该频率。

例题二：静止三角脉冲怎样分成两列行波

例 2：用达朗贝尔公式读取传播方向

设无限弦初始速度为零，初始位移是以原点为中心、半宽为 $a$ 的三角脉冲

$$f(x)= \begin{cases} A(1-|x|/a),& |x|\le a,\\ 0,& |x|>a. \end{cases}$$

因为 $g(x)=0$，达朗贝尔公式化为

$$u(x,t)=\frac12f(x-ct)+\frac12f(x+ct).$$

初始脉冲立即分成两个形状相同、振幅为 $A/2$ 的脉冲，分别以速度 $c$ 向右和向左移动。两脉冲尚未分离时会线性叠加，在 $t=0$ 恰好恢复原振幅 $A$。该结论依赖无限弦与零初速度；有限弦到达边界后会反射，有阻尼时振幅还会衰减。

若观察点固定在 $x_0>0$，右行脉冲只在 $|x_0-ct|\le a$ 的时间窗口影响该点。最早到达时间为 $(x_0-a)/c$，前提是 $x_0>a$。这直接体现有限传播速度，也可作为时间演示中测量到达时刻的解析基准。

数值离散

在均匀网格 $x_j=j\Delta x$、 $t^n=n\Delta t$ 上，用中心差分近似可得

$$u_j^{n+1} =2u_j^n-u_j^{n-1} +\lambda^2 \left(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n\right), \qquad \lambda=\frac{c\Delta t}{\Delta x}.$$

对这一标准显式格式，一维稳定性通常要求 $\lambda\le1$。这是离散算法的 CFL 条件，不是连续波动方程限制波速的物理定律。

代码：一次有限差分时间步

export function stepWaveEquation(
  previous: readonly number[],
  current: readonly number[],
  waveSpeedMetresPerSecond: number,
  deltaTimeSeconds: number,
  deltaXMetres: number,
): number[] {
  if (previous.length !== current.length || current.length < 3) {
    throw new Error("Wave states must have the same grid with at least 3 points.");
  }
  const courant = (waveSpeedMetresPerSecond * deltaTimeSeconds) / deltaXMetres;
  if (!(courant > 0 && courant <= 1)) {
    throw new Error("The explicit 1D scheme requires 0 < c*dt/dx <= 1.");
  }

  const next = new Array<number>(current.length).fill(0);
  for (let index = 1; index < current.length - 1; index += 1) {
    next[index] =
      2 * current[index] -
      previous[index] +
      courant * courant * (current[index + 1] - 2 * current[index] + current[index - 1]);
  }
  return next;
}

首尾元素保持零，表示固定端。代码没有生成实验结果，也没有处理阻尼、变网格或吸收边界；这些扩展必须改变模型或边界实现，而不只是修改标签。

能量守恒与边界功率

对长度为 $L$ 的理想均匀弦，定义总能量

$$E(t)=\frac\mu2\int_0^L u_t(x,t)^2\,\mathrm dx +\frac T2\int_0^L u_x(x,t)^2\,\mathrm dx.$$

第一项是横向动能，第二项是在小斜率近似下的弹性势能。$\mu u_t^2\,\mathrm dx$ 的单位为焦耳，$T u_x^2\,\mathrm dx$ 也为焦耳。对时间求导并使用 $\mu u_{tt}=T u_{xx}$：

$$\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt} =T\int_0^L(u_tu_{xx}+u_xu_{xt})\,\mathrm dx =T\,[u_tu_x]_0^L.$$

积分内部两项合成空间导数，能量变化只由边界功率决定。固定端在所有时刻满足 $u=0$，因而端点速度 $u_t=0$；自由端满足 $u_x=0$；周期边界两端贡献相消。这些理想边界都给出 $\mathrm dE/\mathrm dt=0$。驱动端可以向系统输入能量，阻尼项会把机械能耗散，吸收边界则允许能量流出计算域。

数值格式满足 CFL 条件只说明线性稳定性的必要结构，并不保证离散能量精确守恒。网格加密时应比较相位、振幅和离散能量误差；稳定但色散明显的计算仍可能在长时间后让波峰位置偏离解析解。

分离变量、傅里叶级数与简正模

固定端问题可以尝试乘积解 $u(x,t)=X(x)q(t)$。代入方程并除以 $c^2Xq$，得到

$$\frac{X''(x)}{X(x)} =\frac{q''(t)}{c^2q(t)}=-k^2.$$

空间方程 $X''+k^2X=0$ 配合 $X(0)=X(L)=0$，只有 $k_n=n\pi/L$ 时存在非零解 $X_n(x)=\sin(n\pi x/L)$。时间方程为

$$q_n''+\omega_n^2q_n=0, \qquad \omega_n=ck_n.$$

线性叠加给出一般模态展开

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(A_n\cos\omega_nt+B_n\sin\omega_nt\right) \sin\frac{n\pi x}{L}.$$

初始位移和速度通过正交积分决定 $A_n$ 与 $B_n$。这正是 傅里叶级数 在波动初值问题中的作用：边界条件先选择允许的空间谐波，初始状态再决定每个模态的权重。若线密度随位置改变，允许振型通常不再是普通正弦函数，需要 Sturm–Liouville 本征函数及相应权重内积。

线性叠加还意味着两个解的线性组合仍是解，只要它们满足同一齐次边界条件。非线性弦、大振幅几何效应或状态相关波速会让模态之间交换能量，独立谐波演化不再成立。

常见误区

常见误区

“图上的波峰向右移动，所以弦上的材料也一直向右移动。”在横波模型中，弦元主要上下振动；传播的是相位与能量模式，不是整段材料随波峰平移。

常见误区

“波速越大，振幅越大。”在线性方程中 $c$ 控制传播时空尺度，振幅由初始/边界条件决定。二者可以独立改变。

常见误区

“数值图看起来平滑就说明算法正确。”不稳定误差可能尚未显现，数值色散也可能在平滑图中改变相位。需要检查 CFL、收敛性、守恒量和网格加密结果。

参数实验

固定 $L=1\,\mathrm m$，使用同一初始脉冲：

• 令 $c=0.5,1,2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，测量脉冲中心走过 $0.25\,\mathrm m$ 所需时间。
• 保持 $c$ 不变，把振幅加倍，比较到达时间。
• 固定 $\Delta x$，逐渐增大 $\Delta t$ 直到 $\lambda>1$，记录数值异常，但不要把不稳定轨迹解释成物理爆炸。
• 改用一个正常模态初始形状，比较数值周期与 $2L/(nc)$。

练习

练习标记完成

量纲检查：证明 $c=\sqrt{T/\mu}$ 的单位是 $\mathrm{m\,s^{-1}}$。

查看解答

$[T]=\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}$， $[\mu]=\mathrm{kg\,m^{-1}}$，所以 $[T/\mu]=\mathrm{m^2\,s^{-2}}$，开平方得到 $\mathrm{m\,s^{-1}}$。

练习标记完成

计算：长度 $0.8\,\mathrm m$、波速 $160\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的两端固定弦，其前三个正常模态频率是多少？

查看解答

$f_n=nc/(2L)=100n\,\mathrm{Hz}$，所以前三个频率为 $100\,\mathrm{Hz}$、$200\,\mathrm{Hz}$ 和 $300\,\mathrm{Hz}$。

练习标记完成

数值迁移：若 $c=2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、 $\Delta x=0.01\,\mathrm m$，标准显式格式允许的最大 $\Delta t$ 是多少？

查看解答

由 $c\Delta t/\Delta x\le1$，有 $\Delta t\le\Delta x/c=0.005\,\mathrm s$。实际计算可留安全裕量，并通过网格收敛测试验证。

与其他知识的关系

• 偏导数 分别度量位移场沿空间和时间方向的局部变化。
• 牛顿定律 把微元横向合力与加速度连接，给出方程的力学来源。
• 波的振幅、频率与相位 提供行波参数，并由 $c=f\lambda$ 连接时空周期。
• 傅里叶级数 把初始形状投影到固定端允许的正弦模态。
• 波动边界条件 区分固定、自由、周期与近似吸收边界的反射行为。
• 简正模 把分离变量得到的本征振型组织成可独立演化的坐标。

已核实资源

lecture · 2011

MIT 18.03SC Differential Equations

Arthur Mattuck, Haynes Miller

为傅里叶方法、模态分解及其微分方程应用提供连续课程背景。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 微分方程课程覆盖二阶方程、傅里叶级数、边值问题与波动方程，可用于核对分离变量和模态展开。

lecture · 2016

MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves

Yen-Jie Lee

连接波动方程的数学解、边界条件、驻波和物理观测。

打开官方来源

振动与波课程从振子、行波、驻波和色散建立物理图景，可用于继续检查波速、能量和边界反射的解释。

后续学习

先阅读 傅里叶级数，把任意初始位移分解为正弦模态；随后进入 波动边界条件 与 简正模，系统比较固定端、自由端和其他本征问题。研究波包传播时可继续到 色散关系，区分相速度、群速度与数值色散。