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34 项
  1. article

    一维波动方程：从局部振动到波的传播

    从受张力弦的局部受力推导一维波动方程，连接初始条件、边界条件、单位、传播速度与稳定数值离散。

    physics · waves · 难度 4 · 正文可读
  2. article

    函数与函数图像：从对应规则到可分析的关系

    把函数理解为定义域到陪域的确定对应，掌握表示、复合、反函数、图像变换和分段函数的基本方法。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 正文可读
  3. article

    导数与微分：从变化率到局部线性化

    由割线斜率的极限定义导数，推导乘积与链式法则，说明微分作为最佳局部线性近似的含义，并连接中值定理与误差估计。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  4. article

    MIT 18.01SC Single Variable Calculus

    含讲义、视频、例题、习题与解答的单变量微积分自学课程。

  5. article

    极限与连续性：用邻域刻画逼近

    从数值逼近进入 ε-δ 定义，证明极限的唯一性与运算规则，并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  6. article

    激活函数：表达能力、梯度传播与输出语义

    从线性层复合的退化出发，比较 sigmoid、tanh、ReLU、GELU 与 SiLU 的函数形状、导数、数值行为和输出层适用范围。

    machine-learning · neural-networks · 难度 3 · 正文可读
  7. concept

    Hamilton 力学

    用广义坐标和共轭动量的一阶方程描述相空间演化，并连接守恒量。

    physics · classical-mechanics · 难度 5 · 详细大纲
  8. concept

    Jacobian 矩阵

    用一阶偏导矩阵表示多输入多输出映射的最佳局部线性近似。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  9. concept

    偏导数

    在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲
  10. concept

    偏微分方程

    用多个自变量的偏导描述场的空间与时间变化，并区分椭圆、抛物和双曲类型。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  11. concept

    变分法

    对函数空间中的泛函求驻值，推导 Euler–Lagrange 方程及边界项。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  12. concept

    向量场

    给空间中每一点分配一个向量，用于描述速度场、力场和梯度场。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  13. concept

    多重积分

    在二维和高维区域上累积标量密度，并处理积分次序与变量变换。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  14. concept

    常微分方程

    用未知函数及其常导数描述动态规律，区分阶数、线性、自治和初值条件。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  15. concept

    方向导数

    沿任意给定方向定义多变量函数的变化率，并连接单位方向与局部线性近似。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  16. concept

    Schrödinger 方程

    用 Hamilton 算符生成量子态的时间演化，并区分含时与定态方程。

    physics · quantum-mechanics · 难度 5 · 详细大纲
  17. concept

    Taylor 展开

    以一点处的导数构造多项式局部近似，并用余项控制截断误差。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  18. concept

    偏微分方程数值解

    把空间与时间离散组合为可计算更新，检查一致性、稳定性和收敛性。

    computer-science · scientific-computing · 难度 5 · 详细大纲
  19. concept

    凸函数

    通过弦不等式和一阶条件刻画凸性，并说明局部最优为何成为全局最优。

    mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲
  20. concept

    函数空间映射

    把输入函数映射为输出函数，区分有限维参数拟合与无限维算子学习。

    interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲
  21. concept

    微积分基本定理

    证明求导与积分在适当连续条件下互为逆运算，并连接局部变化与总累积。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  22. concept

    数值微分

    用有限差分近似导数，并平衡截断误差、舍入误差和步长选择。

    computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲
  23. concept

    有限差分方法

    在离散网格上用差分替代导数，构造微分方程的代数近似。

    computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲
  24. concept

    格林函数

    用点源响应构造线性微分方程的受迫解，并把边界条件编码进核函数。

    physics · waves · 难度 5 · 详细大纲
  25. concept

    物理信息神经网络

    把微分方程残差、边界条件和数据误差共同写入损失函数，近似场的解。

    interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲
  26. concept

    色散关系

    用频率与波数之间的关系判断相速度、群速度以及波包是否发生展宽。

    physics · waves · 难度 4 · 详细大纲
  27. concept

    边值问题

    在区域边界施加函数值或通量条件，并研究这些约束如何选择微分方程的解。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  28. concept

    运动学

    用位置、速度和加速度描述质点运动，不预设产生运动的具体相互作用。

    physics · classical-mechanics · 难度 2 · 详细大纲
  29. concept

    链式法则

    把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积，并推广到多变量映射。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲
  30. learning-path

    高等数学基础

    从函数极限进入一元微积分，再过渡到多变量变化率和微分方程。

  31. book

    Calculus Volume 1

    覆盖函数、极限、导数与积分的一学期微积分开放教材。

  32. equation

    一维波动方程

    \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

    physics · waves
  33. equation

    导数的差商定义

    f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    mathematics · calculus
  34. equation

    方向导数与梯度

    D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})=\nabla f(\mathbf{x})^\mathsf{T}\mathbf{u}

    mathematics · calculus