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MIT 18.03SC Differential Equations
覆盖常微分方程、线性系统、傅里叶级数与拉普拉斯变换。
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MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves
从振子、耦合模态进入机械波、电磁波与波动方程的本科物理课程。
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傅里叶级数:用正交谐波展开周期函数
从三角函数正交性推导傅里叶系数,分析部分和、收敛、Gibbs 现象,并连接固定弦的模态演化。
mathematics · calculus · 难度 3 · 正文可读 - article
积分与累积:从黎曼和到微积分基本定理
从分割区间和局部贡献出发定义定积分,推导积分的基本性质与微积分基本定理,并区分净累积、几何面积和原函数。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
函数与函数图像:从对应规则到可分析的关系
把函数理解为定义域到陪域的确定对应,掌握表示、复合、反函数、图像变换和分段函数的基本方法。
mathematics · foundations · 难度 1 · 正文可读 - article
极限与连续性:用邻域刻画逼近
从数值逼近进入 ε-δ 定义,证明极限的唯一性与运算规则,并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - concept
三角函数
从单位圆定义正弦、余弦和正切,理解周期、相位与常用恒等式。
mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲 - concept
傅里叶变换
把非周期信号表示为连续频率成分,并连接时域卷积、频域乘法和谱宽。
mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲 - concept
正交性
用零内积表达方向独立性,并理解正交基如何简化坐标、长度和数值计算。
mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲 - concept
波的傅里叶分析
把复杂波形分解为单频模式,并观察频谱如何控制传播、干涉和色散。
physics · waves · 难度 4 · 详细大纲 - concept
Taylor 展开
以一点处的导数构造多项式局部近似,并用余项控制截断误差。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
动量优化
累积历史更新方向以抑制高曲率振荡,并加速沿稳定方向的前进。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
反常积分
用极限定义无穷区间或无界被积函数的积分,并判断其收敛性。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
叠加原理
说明线性方程解的线性组合仍是解,并用干涉现象展示振幅的相加与相消。
physics · waves · 难度 2 · 详细大纲 - concept
复数与复平面
用代数形式和极坐标形式表示复数,理解模、幅角、共轭与旋转缩放的联系。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
大数定律
说明独立样本均值在适当条件下趋近总体期望,并区分弱收敛与强收敛。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
学习率调度
用分段、余弦、指数或预热策略控制训练不同时期的更新尺度。
mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲 - concept
数列与级数
研究离散序列的极限、递推关系和无穷求和,为连续极限与函数展开建立基础。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
数学归纳法
通过基例和归纳步骤证明离散命题,并识别强归纳法适用的递归结构。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
浮点数与舍入误差
理解有限二进制表示、机器精度、消去误差和条件数对计算可靠性的影响。
computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲 - concept
神经算子
学习函数空间之间的映射,使模型能够跨输入场和网格近似一族算子解。
interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲 - concept
算法复杂度
用渐近记号比较算法随输入规模增长的时间和空间成本,并区分最坏与平均情况。
computer-science · algorithms · 难度 2 · 详细大纲 - equation
实形式傅里叶级数
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr)
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数学物理方法基础
由微分方程、本征函数和傅里叶方法进入波动、边值问题与基础量子模型。
- experiment
傅里叶谐波叠加
逐项加入不同频率的正弦分量,观察部分和逼近周期波形。
physics