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81 项
  1. article

    MIT 18.03SC Differential Equations

    覆盖常微分方程、线性系统、傅里叶级数与拉普拉斯变换。

  2. article

    MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves

    从振子、耦合模态进入机械波、电磁波与波动方程的本科物理课程。

  3. article

    一维波动方程：从局部振动到波的传播

    从受张力弦的局部受力推导一维波动方程，连接初始条件、边界条件、单位、传播速度与稳定数值离散。

    physics · waves · 难度 4 · 正文可读
  4. article

    函数与函数图像：从对应规则到可分析的关系

    把函数理解为定义域到陪域的确定对应，掌握表示、复合、反函数、图像变换和分段函数的基本方法。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 正文可读
  5. article

    导数与微分：从变化率到局部线性化

    由割线斜率的极限定义导数，推导乘积与链式法则，说明微分作为最佳局部线性近似的含义，并连接中值定理与误差估计。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  6. article

    极限与连续性：用邻域刻画逼近

    从数值逼近进入 ε-δ 定义，证明极限的唯一性与运算规则，并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  7. article

    注意力机制：从加权平均到自注意力

    从数据相关的加权平均推导缩放点积注意力，明确 query、key、value 的形状、softmax 归一化与解释边界。

    machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 正文可读
  8. article

    积分与累积：从黎曼和到微积分基本定理

    从分割区间和局部贡献出发定义定积分，推导积分的基本性质与微积分基本定理，并区分净累积、几何面积和原函数。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  9. article

    线性回归：从平方损失到最小二乘几何

    从仿射预测、平方损失和矩阵表示推导最小二乘解、梯度、投影解释及其统计假设。

    machine-learning · learning-theory · 难度 2 · 正文可读
  10. symbol

    Q · 注意力查询矩阵

    Q

  11. concept

    Hamilton 力学

    用广义坐标和共轭动量的一阶方程描述相空间演化，并连接守恒量。

    physics · classical-mechanics · 难度 5 · 详细大纲
  12. concept

    Lagrange 力学

    以作用量驻值推导广义坐标方程，把约束和对称性纳入力学描述。

    physics · classical-mechanics · 难度 4 · 详细大纲
  13. concept

    Laplace 变换

    用复频率积分把微分方程转化为代数方程，并系统处理初始条件。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  14. concept

    Monte Carlo 方法

    通过随机采样近似期望和积分，并用方差与有效样本量评价误差。

    mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲
  15. concept

    Newton 运动定律

    把合力与动量变化联系起来，并明确惯性系、质量和作用反作用的适用条件。

    physics · classical-mechanics · 难度 2 · 详细大纲
  16. concept

    Schrödinger 方程

    用 Hamilton 算符生成量子态的时间演化，并区分含时与定态方程。

    physics · quantum-mechanics · 难度 5 · 详细大纲
  17. concept

    Sturm–Liouville 理论

    研究带权自伴二阶边值问题，建立正交本征函数、实本征值和函数展开。

    mathematics · calculus · 难度 5 · 详细大纲
  18. concept

    Taylor 展开

    以一点处的导数构造多项式局部近似，并用余项控制截断误差。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  19. concept

    不确定性量化

    区分参数、观测和模型误差，并传播其分布以给出校准的预测区间。

    interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 4 · 详细大纲
  20. concept

    二次型

    用矩阵表达多变量二次函数，并由特征方向分析等值面与曲率。

    mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲
  21. concept

    偏导数

    在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲
  22. concept

    偏微分方程

    用多个自变量的偏导描述场的空间与时间变化，并区分椭圆、抛物和双曲类型。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  23. concept

    偏微分方程数值解

    把空间与时间离散组合为可计算更新，检查一致性、稳定性和收敛性。

    computer-science · scientific-computing · 难度 5 · 详细大纲
  24. concept

    函数空间映射

    把输入函数映射为输出函数，区分有限维参数拟合与无限维算子学习。

    interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲
  25. concept

    初值问题

    给定某一时刻的状态后求解微分方程，并理解存在唯一性对演化预测的意义。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  26. concept

    动量优化

    累积历史更新方向以抑制高曲率振荡，并加速沿稳定方向的前进。

    mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲
  27. concept

    变分法

    对函数空间中的泛函求驻值，推导 Euler–Lagrange 方程及边界项。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  28. concept

    向量空间与子空间

    用封闭性公理刻画向量空间，并检验解集、函数集和矩阵集是否构成子空间。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲
  29. concept

    命题逻辑与量词

    区分命题、蕴含、等价、全称量词和存在量词，并正确否定带量词的陈述。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲
  30. concept

    复数与复平面

    用代数形式和极坐标形式表示复数，理解模、幅角、共轭与旋转缩放的联系。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  31. concept

    大数定律

    说明独立样本均值在适当条件下趋近总体期望，并区分弱收敛与强收敛。

    mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲
  32. concept

    大语言模型

    以大规模自回归 Transformer 建模文本分布，并区分预训练、对齐和推理阶段。

    machine-learning · neural-networks · 难度 5 · 详细大纲
  33. concept

    学习率调度

    用分段、余弦、指数或预热策略控制训练不同时期的更新尺度。

    mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲
  34. concept

    常微分方程

    用未知函数及其常导数描述动态规律，区分阶数、线性、自治和初值条件。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  35. concept

    序列建模

    根据顺序依赖分解联合概率或条件预测，处理可变长度输入与因果掩码。

    machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲
  36. concept

    循环网络、LSTM 与 GRU

    用递归隐藏状态处理序列，并以门控机制缓解长期依赖中的梯度衰减。

    machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲
  37. concept

    数值积分

    用求积公式近似定积分，并根据光滑性和网格细化估计误差。

    computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲
  38. concept

    数列与级数

    研究离散序列的极限、递推关系和无穷求和，为连续极限与函数展开建立基础。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  39. concept

    数学归纳法

    通过基例和归纳步骤证明离散命题，并识别强归纳法适用的递归结构。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  40. concept

    无限深方势阱

    在零边界波函数条件下求解定态 Schrödinger 方程，得到离散能级和正弦本征态。

    physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲
  41. concept

    最小二乘

    把不相容线性方程转化为残差平方最小问题，并由投影推导正规方程。

    mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲
  42. concept

    有限差分方法

    在离散网格上用差分替代导数，构造微分方程的代数近似。

    computer-science · scientific-computing · 难度 4 · 详细大纲
  43. concept

    条件概率与独立性

    在已知事件发生的条件下更新样本空间，并区分独立、互斥和条件独立。

    mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲
  44. concept

    格林函数

    用点源响应构造线性微分方程的受迫解，并把边界条件编码进核函数。

    physics · waves · 难度 5 · 详细大纲
  45. concept

    概率公理与事件

    用样本空间、事件集合和可列可加测度建立概率推理的基本规则。

    mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲
  46. concept

    正交投影

    把向量分解到子空间及其正交补上，并推导投影矩阵与最小距离性质。

    mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲
  47. concept

    正定矩阵

    通过二次型和特征值判断矩阵是否在所有非零方向产生正曲率。

    mathematics · linear-algebra · 难度 3 · 详细大纲
  48. concept

    波动边界条件

    区分固定端、自由端和周期边界，并判断反射相位与允许解族。

    physics · waves · 难度 3 · 详细大纲
  49. concept

    波的振幅、频率与相位

    用振幅、周期、频率、波长、相位和波速定量描述行波的时空结构。

    physics · waves · 难度 2 · 详细大纲
  50. concept

    浮点数与舍入误差

    理解有限二进制表示、机器精度、消去误差和条件数对计算可靠性的影响。

    computer-science · scientific-computing · 难度 3 · 详细大纲
  51. concept

    物理信息神经网络

    把微分方程残差、边界条件和数据误差共同写入损失函数，近似场的解。

    interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲
  52. concept

    矩阵乘法

    从行列内积和映射复合理解矩阵乘法，明确不可交换性与维度匹配条件。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲
  53. concept

    科学机器学习

    把可解释科学模型、观测数据和学习算法组合，用于反演、预测与加速计算。

    interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 4 · 详细大纲
  54. concept

    积分技巧

    使用换元、分部积分和部分分式把复杂积分化为可计算的基本形式。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲
  55. concept

    简谐振子

    由线性回复力推导正弦时间演化，并用振幅、相位和固有频率描述状态。

    physics · waves · 难度 2 · 详细大纲
  56. concept

    算法复杂度

    用渐近记号比较算法随输入规模增长的时间和空间成本，并区分最坏与平均情况。

    computer-science · algorithms · 难度 2 · 详细大纲
  57. concept

    算符与可观测量

    用自伴线性算符表示可观测量，并由本征值和期望值连接测量结果。

    physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲
  58. concept

    线性方程组

    把多个线性约束写成矩阵方程，分析无解、唯一解和无穷多解的条件。

    mathematics · linear-algebra · 难度 2 · 详细大纲
  59. concept

    统计估计

    区分点估计和区间估计，并用偏差、方差、一致性和效率评价估计量。

    mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲
  60. concept

    自回归生成模型

    按变量顺序分解联合分布，通过逐步条件预测实现精确似然与序列采样。

    machine-learning · generative-models · 难度 4 · 详细大纲
  61. concept

    自注意力

    让同一序列产生 query、key、value，使每个位置按内容动态聚合其他位置。

    machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲
  62. concept

    色散关系

    用频率与波数之间的关系判断相速度、群速度以及波包是否发生展宽。

    physics · waves · 难度 4 · 详细大纲
  63. concept

    证明方法

    组织直接证明、反证法、逆否证明和构造证明，明确假设与结论之间的推理链。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  64. concept

    贝叶斯推断

    用先验和似然形成后验分布，并通过后验预测表达参数不确定性。

    mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲
  65. concept

    边值问题

    在区域边界施加函数值或通量条件，并研究这些约束如何选择微分方程的解。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  66. concept

    量子态与态空间

    用复向量或波函数表示量子系统状态，并以归一化和相位等价约束物理预测。

    physics · quantum-mechanics · 难度 4 · 详细大纲
  67. concept

    量子测量

    用投影概率和测后态更新描述理想测量，并区分统计预测与单次结果。

    physics · quantum-mechanics · 难度 5 · 详细大纲
  68. concept

    量子谐振子

    用升降算符或微分方程求离散能谱，连接经典振动与量子零点能。

    physics · quantum-mechanics · 难度 5 · 详细大纲
  69. concept

    链式法则

    把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积，并推广到多变量映射。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲
  70. concept

    集合与映射

    用集合、子集、笛卡尔积和映射描述数学对象的范围、对应关系与复合规则。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲
  71. concept

    驻波

    由相向传播的同频波叠加得到节点和腹点固定的空间振型。

    physics · waves · 难度 3 · 详细大纲
  72. experiment

    一维波动方程

    改变波速、频率和初始条件，观察位移随时间传播。

    physics
  73. book

    Calculus Volume 3

    覆盖向量、多元函数、多重积分与二阶微分方程的开放教材。

  74. equation

    一维波动方程

    \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

    physics · waves
  75. learning-path

    从感知机到 Transformer

    沿梯度流、卷积、循环、注意力和残差结构理解现代神经网络。

  76. equation

    实形式傅里叶级数

    f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr)

    mathematics · calculus
  77. learning-path

    数学物理方法基础

    由微分方程、本征函数和傅里叶方法进入波动、边值问题与基础量子模型。

  78. learning-path

    机器学习数学基础

    把线性代数、多变量微分、概率矩和优化连接为机器学习的统一计算语言。

  79. learning-path

    线性代数基础

    从向量和矩阵建立线性空间语言，进入方程组、特征结构与低秩分解。

  80. equation

    缩放点积注意力

    \operatorname{Attention}(Q,K,V)=\operatorname{softmax}\!\left(\frac{QK^\mathsf{T}}{\sqrt{d_k}}\right)V

    machine-learning · neural-networks
  81. learning-path

    高等数学基础

    从函数极限进入一元微积分，再过渡到多变量变化率和微分方程。