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Complex Variables with Applications
覆盖复代数、解析函数、Cauchy 定理与积分公式、Taylor/Laurent 级数、留数、保角映射和解析延拓。
为什么重要
用于核对 M13 的定义、积分方向、奇点分类、留数计算、映射条件和例题。
阅读前提
教材中的引用位置
- M13 · 第 1 章 复微分、Cauchy–Riemann 方程与全纯函数
支持的主张：MIT OpenCourseWare 18.04 的解析函数单元从复导数、Cauchy–Riemann 方程与调和函数进入复积分，适合用讲义中的坐标计算复核本章推导。阅读任何判定例题时，都应同时记录定义域、CR 方程成立的位置，以及充分性所使用的实可微或偏导连续条件。
- M13 · 第 2 章 幂级数、初等复函数与局部表示
支持的主张：MIT OpenCourseWare 18.04 的 Taylor 与 Laurent 级数、复指数和分支相关讲义可用于补充计算。使用外部公式时，应把中心、收敛半径、切割域和辐角范围一起抄录；脱离这些条件的级数等式、对数乘法或根式化简可能失去原意。
- M13 · 第 3 章 Cauchy 定理与积分公式
支持的主张：MIT OpenCourseWare 18.04 的复积分、Cauchy 公式与围道计算材料可用于复核本章的参数化和定理条件。使用任何现成公式时，应在草稿旁同时写出全纯域、围道方向、目标点位置和区域拓扑；省略其中一项都可能把正确公式用在错误情形。
- M13 · 第 4 章 孤立奇点、Laurent 级数与留数
支持的主张：MIT OpenCourseWare 18.04 的 Laurent 级数、留数与围道积分材料可用于复核局部展开和实积分例题。复核时应把每个级数的圆环、每个极点的阶数、围道方向以及圆弧上界逐项写明；只抄最后的留数和无法验证方法是否适用。
- M13 · 第 5 章 保角映射与解析延拓
支持的主张：MIT OpenCourseWare 18.04 的复变量课程材料覆盖解析函数、复积分、Taylor 与 Laurent 级数以及保角映射，可用于按“定义域—导数—边界对应—内部测试点”的顺序复核区域映射，也可对照局部幂级数理解解析延拓。使用外部例题时仍应自行标出分支切线、围道方向和奇点位置。
- M13 · 第 6 章 复分析方法综合复习
支持的主张：MIT OpenCourseWare 18.04 的课程材料把解析函数、Cauchy 理论、级数、留数和保角映射置于同一复变量课程中，适合按本章流程复核计算。复核时不要只比较最终答案，还应逐项比较定义域、围道方向、内部奇点、弧积分估计和分支选择。