专题路线
贯通程序设计、数据结构与算法复杂度，以及数据管线、实验设计与可复现计算的工程基础。
本路线不要求额外的站内先修，可从第一个精选章节开始。
路线按阶段连续组织正文；章节原有教材位置和书内顺序保持不变。
用类型、函数分解、数组计算与测试编写可复现的科学计算程序，并记录依赖、环境与随机种子。
程序、类型、控制流与函数：从表达式、变量和类型建立程序状态，使用分支、循环与函数分解问题，并通过前置条件、返回值和作用域说明计算契约。
未开始集合数据、文件与错误处理：使用序列、映射和集合组织数据，设计文本与结构化文件读写流程，并用异常、资源清理和输入验证处理失败路径。
未开始数组、向量化与数值精度：用形状、轴、广播和切片表示批量数值计算，比较向量化与循环的语义及成本，并识别浮点表示、溢出和舍入误差。
未开始数据可视化与计算实验围绕问题、变量和假设设计可复算流程，选择与数据类型匹配的图形编码，并保存原始数据、参数、随机种子和分析产物。
未开始测试、版本控制与环境管理：用单元测试、性质检查和回归样例验证程序，使用版本控制组织可审查变更，并锁定依赖、运行命令和环境以支持复现。
未开始编程与科学计算综合项目从明确问题和输入契约开始，联合程序分解、数据结构、数组计算、可视化、异常处理、测试和版本记录交付可复算成果。
未开始依据数据规模选择数据结构与算法，用渐近复杂度与正确性论证比较候选方案。
序列、栈、队列、树与堆：以抽象数据类型和不变量比较数组、链表、栈、队列、搜索树及堆，分析基本操作的正确性、时间复杂度和存储代价。
未开始哈希表、图与并查集：用散列函数与冲突策略实现字典，以邻接结构表示图，并通过并查集和摊还分析支持动态连通性。
未开始分治、贪心与排序从子问题结构建立递推和合并步骤，证明比较排序的复杂度，并用交换论证或切分性质验证贪心选择。
未开始动态规划与图算法：通过状态、转移和最优子结构构造动态规划，使用遍历、最短路和最小生成树算法处理图问题并证明正确性。
未开始渐近复杂度、归约与可计算性：用渐近上界、下界和摊还成本比较算法，通过多项式时间归约理解困难性，并由停机问题说明可计算性的根本边界。
未开始数据结构与算法综合复习围绕问题建模、不变量、正确性和复杂度选择方法，比较分治、贪心、动态规划与图算法的适用条件。
未开始设计可审计的数据管线与随机化实验，报告效应量与不确定度，并发布可复现制品。
数据质量、清理与模式验证从研究问题定义质量规则，检查类型、范围、唯一性、缺失和重复，保留原始值与清理决策并避免把异常机械删除。
未开始数据变换、血缘与版本：把筛选、连接、聚合和派生变量组织为可重复管线，记录输入版本、模式、变换参数和血缘以支持回溯与重算。
未开始对照、随机化与功效分析由研究问题和处理单元出发，设计随机分配、阻断与盲法，并使用效应量、方差、显著性水平和功效规划样本量。
未开始指标、统计比较与多重检验：预先定义主指标和比较单位，选择与设计匹配的区间和检验，报告效应量与不确定度并控制重复比较带来的错误率。
未开始实验追踪、环境封装与制品：把代码、配置、数据版本、随机种子、运行环境、指标和产物绑定为可查询记录，以清单、校验和与复现命令封装制品。
未开始数据处理与实验设计综合复习围绕一个可审计研究问题，串联质量检查、变换血缘、随机化设计、统计比较、实验追踪和制品发布，并区分探索与确认。
未开始完成指定教材章节后，用自己的推导回答；检查点不替代正文证明。
对一个数值脚本，说明如何用单元测试、性质测试和固定随机种子保证结果可复现，并列出必须记录的依赖与环境信息。
为一个算法对比实验设计随机化方案与主指标，说明多重比较带来的错误率风险，以及制品发布应包含哪些版本与校验信息。
先独立作答，再展开提示与分步解答；每题附可重复的结果核验。
难度 3/5
对随机排列的 n 个元素，比较归并排序与插入排序的比较次数量级；当 n=10⁶ 时估算两者基本操作次数的比值，并说明常数因子在何种情形下会让插入排序更快。
归并排序比较次数约 n log₂ n，插入排序最坏与平均均为 Θ(n²)；小 n 或近乎有序输入时常数项主导。
归并排序约 n log₂ n 次比较，n=10⁶ 时约 2×10⁷；插入排序平均约 n²/4=2.5×10¹¹，两者相差约 10⁴ 量级。插入排序常数小、额外空间为 O(1)，且对近乎有序数据为 O(n)，故当 n 很小（经验上数十个元素）或输入几乎有序时反而更快，这也是混合排序在小分段切换到插入排序的原因。
结果核验：用递推 T(n)=2T(n/2)+n 展开归并排序恰得 n log₂ n；对 n=64 的小输入实测两种实现的比较计数，可复现插入排序的常数优势，与渐近分析互补。
难度 3/5
开放寻址哈希表容量 m=1024，已存入 n=768 个键。计算装载因子 α，并用均匀散列假设下不成功查找的期望探测数 1/(1-α) 估计探测次数，说明 α 接近 1 时性能为何急剧恶化。
α=n/m；均匀散列下每次探测命中空闲槽的概率为 1-α，期望探测数为其倒数。
α=768/1024=0.75，期望探测数 1/(1-α)=4 次。当 α→1 时空闲槽比例趋于零，聚集效应使连续被占区间越来越长，期望探测数发散，因此实现通常设定装载因子上限（如 0.7），超过即扩容并重新散列。
结果核验：α=0.5 时公式给 2 次、α=0.9 时给 10 次，单调性与直觉一致；用随机键模拟插入并统计平均探测长度，可与 1/(1-α) 曲线逐点对比核对。