专题路线
从 Newton 力学与守恒定律出发，过渡到变分原理、Lagrange 与 Hamilton 形式以及相空间方法。
具备微积分与常微分方程基础，希望掌握理论物理通用力学语言的学习者。
用 Newton 定律、能量与动量守恒建立质点和刚体模型，并检查参考系、约束力与系统边界。
用变分原理、Lagrange 与 Hamilton 形式重写约束系统动力学，并由连续对称性读出守恒量。
对一个碰撞加摆动的复合过程，说明哪一阶段用动量守恒、哪一阶段用机械能守恒，以及两条守恒律各自的适用条件。
对一个含完整约束的系统写出广义坐标与 Lagrangian，指出循环坐标对应的守恒量，并与 Newton 形式中约束力的处理比较。
难度 2/5
长 L 的单摆从水平位置由静止释放，摆锤质量 m。用机械能守恒求摆锤经过最低点时的速率，并求此时绳中张力。
重力势能下降 mgL 全部转化为动能；最低点处张力与重力之差提供向心力。
取最低点为零势能面，初始势能 mgL，故 ½mv²=mgL，得 v=√(2gL)。最低点圆周运动要求 T-mg=mv²/L=2mg，所以 T=3mg。
结果核验：量纲检查：gL 的量纲为 (m/s²)·m=m²/s²，开方确为速率；张力 3mg 与 L 无关，可由 L→0 时 v→0 而 T→3mg 的极限保持自洽，亦与逐点列 Newton 方程一致。
难度 3/5
Atwood 机：轻滑轮两侧挂质量 m₁ 与 m₂（m₁>m₂），绳长不变。取 m₁ 下降距离 q 为广义坐标，写出 Lagrangian 并由 Euler–Lagrange 方程求加速度。
绳长约束把两质量的速度都化为 q̇；q 增大时 m₁ 下降，势能减少 (m₁-m₂)gq。
动能 T=½(m₁+m₂)q̇²，势能 V=-(m₁-m₂)gq，故 L=½(m₁+m₂)q̇²+(m₁-m₂)gq。Euler–Lagrange 方程 d/dt(∂L/∂q̇)=∂L/∂q 给出 (m₁+m₂)q̈=(m₁-m₂)g，即 q̈=(m₁-m₂)g/(m₁+m₂)。
结果核验：对每个物体列 Newton 方程：m₁g-T=m₁a、T-m₂g=m₂a，相加消去张力得同一结果；极限 m₂→m₁ 时 a→0、m₂→0 时 a→g，均符合物理直觉。
