专题路线
从 Newton 力学与守恒定律出发，过渡到变分原理、Lagrange 与 Hamilton 形式以及相空间方法。
本路线不要求额外的站内先修，可从第一个精选章节开始。
路线按阶段连续组织正文；章节原有教材位置和书内顺序保持不变。
用 Newton 定律、能量与动量守恒建立质点和刚体模型，并检查参考系、约束力与系统边界。
质点运动学与参考系用位置、位移、速度和加速度描述一维及二维运动，连接图像、导数、积分与相对运动，并持续核对分量和单位。
未开始Newton 定律、受力分析与约束从惯性系中的三条定律出发建立自由体图，区分相互作用力与约束力，并求解摩擦、斜面、绳张力和圆周运动。
未开始功、势能与机械能守恒由力的路径积分定义功并推导动能定理，再以保守力和势能组织能量账目，同时保留非保守力做功与功率。
未开始动量、冲量与碰撞借助冲量—动量定理和系统内力抵消建立守恒关系，并在实验室系与质心系中比较一维、二维、弹性和非弹性过程。
未开始刚体转动、角动量与转动惯量从角运动学过渡到力矩和转动动力学，以角动量守恒处理耦合过程，并比较纯滚动的平动与转动能量。
未开始引力、轨道与经典力学综合复习选取轨道、碰撞和刚体系统，联合运用运动学、受力、功—能、动量、角动量与万有引力，并检查参考系和系统边界。
未开始用变分原理、Lagrange 与 Hamilton 形式重写约束系统动力学，并由连续对称性读出守恒量。
最小作用量原理与 Euler–Lagrange 方程从泛函的一阶变分推导运动方程，把经典轨迹表述为固定端点下的作用量驻值，并核对自然边界条件。
未开始广义坐标、约束与 Noether 定理使用虚位移和 Lagrange 乘子处理完整约束，再从连续对称的无穷小变换推导对应守恒量。
未开始Legendre 变换与 Hamilton 方程在 Hessian 非退化条件下由 Lagrangian 引入共轭动量和 Hamiltonian，并把二阶构型空间动力学改写为相空间中的一阶方程。
未开始Poisson 括号与正则变换用括号代数表达可观测量的演化与守恒，比较各类生成函数，并以辛形式是否保持判定坐标变换的正则性。
未开始相空间、Poincaré 截面与混沌从固定点、线性稳定性和相流出发，引入截面、Lyapunov 指数与分岔图，并辨别确定性混沌、不可积和随机性。
未开始分析力学与非线性动力学综合复习围绕受约束系统，串联变分原理、对称守恒、Legendre 变换、Hamilton 方程、Poisson 括号和相空间诊断。
未开始完成指定教材章节后，用自己的推导回答；检查点不替代正文证明。
对一个碰撞加摆动的复合过程，说明哪一阶段用动量守恒、哪一阶段用机械能守恒，以及两条守恒律各自的适用条件。
对一个含完整约束的系统写出广义坐标与 Lagrangian，指出循环坐标对应的守恒量，并与 Newton 形式中约束力的处理比较。
先独立作答，再展开提示与分步解答；每题附可重复的结果核验。
难度 2/5
长 L 的单摆从水平位置由静止释放，摆锤质量 m。用机械能守恒求摆锤经过最低点时的速率，并求此时绳中张力。
重力势能下降 mgL 全部转化为动能；最低点处张力与重力之差提供向心力。
取最低点为零势能面，初始势能 mgL，故 ½mv²=mgL，得 v=√(2gL)。最低点圆周运动要求 T-mg=mv²/L=2mg，所以 T=3mg。
结果核验：量纲检查：gL 的量纲为 (m/s²)·m=m²/s²，开方确为速率；张力 3mg 与 L 无关，可由 L→0 时 v→0 而 T→3mg 的极限保持自洽，亦与逐点列 Newton 方程一致。
难度 3/5
Atwood 机：轻滑轮两侧挂质量 m₁ 与 m₂（m₁>m₂），绳长不变。取 m₁ 下降距离 q 为广义坐标，写出 Lagrangian 并由 Euler–Lagrange 方程求加速度。
绳长约束把两质量的速度都化为 q̇；q 增大时 m₁ 下降，势能减少 (m₁-m₂)gq。
动能 T=½(m₁+m₂)q̇²，势能 V=-(m₁-m₂)gq，故 L=½(m₁+m₂)q̇²+(m₁-m₂)gq。Euler–Lagrange 方程 d/dt(∂L/∂q̇)=∂L/∂q 给出 (m₁+m₂)q̈=(m₁-m₂)g，即 q̈=(m₁-m₂)g/(m₁+m₂)。
结果核验：对每个物体列 Newton 方程：m₁g-T=m₁a、T-m₂g=m₂a，相加消去张力得同一结果；极限 m₂→m₁ 时 a→0、m₂→0 时 a→g，均符合物理直觉。