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导数与微分：从变化率到局部线性化
由割线斜率的极限定义导数，推导乘积与链式法则，说明微分作为最佳局部线性近似的含义，并连接中值定理与误差估计。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
积分与累积：从黎曼和到微积分基本定理
从分割区间和局部贡献出发定义定积分，推导积分的基本性质与微积分基本定理，并区分净累积、几何面积和原函数。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - article
MIT 18.01SC Single Variable Calculus
含讲义、视频、例题、习题与解答的单变量微积分自学课程。
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函数与函数图像：从对应规则到可分析的关系
把函数理解为定义域到陪域的确定对应，掌握表示、复合、反函数、图像变换和分段函数的基本方法。
mathematics · foundations · 难度 1 · 正文可读 - article
极限与连续性：用邻域刻画逼近
从数值逼近进入 ε-δ 定义，证明极限的唯一性与运算规则，并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。
mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读 - concept
中心极限定理
解释大量独立微小贡献的标准化和为何趋近正态分布，并明确所需条件。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
大数定律
说明独立样本均值在适当条件下趋近总体期望，并区分弱收敛与强收敛。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
抽样分布
研究统计量在重复抽样中的分布，为标准误、区间估计和检验建立基础。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - concept
连续概率分布
用概率密度和积分研究均匀、正态、指数等连续分布及其参数。
mathematics · probability · 难度 3 · 详细大纲 - learning-path
概率统计基础
从事件与条件概率进入随机变量、极限定理、估计和假设检验。
- concept
Bayes 定理
将条件概率方向反转，用先验、似然和证据计算后验概率。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - concept
初值问题
给定某一时刻的状态后求解微分方程，并理解存在唯一性对演化预测的意义。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
功与能量守恒
由力沿路径的积分定义功，并用势能和动能追踪保守系统的状态变化。
physics · classical-mechanics · 难度 3 · 详细大纲 - concept
反常积分
用极限定义无穷区间或无界被积函数的积分，并判断其收敛性。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
微积分基本定理
证明求导与积分在适当连续条件下互为逆运算，并连接局部变化与总累积。
mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲 - concept
数列与级数
研究离散序列的极限、递推关系和无穷求和，为连续极限与函数展开建立基础。
mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲 - concept
条件概率与独立性
在已知事件发生的条件下更新样本空间，并区分独立、互斥和条件独立。
mathematics · probability · 难度 2 · 详细大纲 - concept
贝叶斯推断
用先验和似然形成后验分布，并通过后验预测表达参数不确定性。
mathematics · probability · 难度 4 · 详细大纲 - learning-path
高等数学基础
从函数极限进入一元微积分，再过渡到多变量变化率和微分方程。
- book
Calculus Volume 1
覆盖函数、极限、导数与积分的一学期微积分开放教材。
- equation
导数的差商定义
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
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