课程主题
实分析与测度论
完备性、函数列、测度、Lebesgue 积分与 Lp 空间。
01
课程章节
按难度与先修关系排列
- 01难度 4/5测度、可测集与可测函数以 sigma 代数组织允许测量的事件，用可列可加测度赋予大小，并通过逆像和简单函数建立可测性。先修：集合与映射 · 实数完备性、紧致性与连续性
- 02难度 4/5实数完备性、紧致性与连续性以实数上确界和 Cauchy 完备性控制极限，在度量空间中连接紧致性、子列收敛与连续函数的极值性质。先修：数列与级数 · 证明方法 · 集合与映射
- 03难度 4/5函数列、一致收敛与交换极限区分逐点和一致收敛，使用一致控制保留连续性并判断极限与积分或微分何时能够交换。先修：实数完备性、紧致性与连续性 · 数列与级数 · 积分与累积量
- 04难度 5/5Lebesgue 积分与收敛定理从非负简单函数的积分出发定义 Lebesgue 积分，使用单调收敛、Fatou 引理和控制收敛交换极限与积分。先修：测度、可测集与可测函数 · 函数列、一致收敛与交换极限
- 05难度 5/5Lp 空间、乘积测度与 Fubini 定理在几乎处处等价类上研究 Lp 范数与完备性，使用 Hölder、Minkowski、Tonelli 和 Fubini 处理乘积空间积分。先修：Lebesgue 积分与收敛定理
- 06难度 5/5实分析与测度论综合复习围绕极限换序和二重积分问题联合使用完备性、一致收敛、可测性、积分收敛定理与 Lp 控制，并构造反例检验假设。先修：实数完备性、紧致性与连续性 · 函数列、一致收敛与交换极限 · 测度、可测集与可测函数 · Lebesgue 积分与收敛定理 · Lp 空间、乘积测度与 Fubini 定理