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46 项
  1. article

    傅里叶级数：用正交谐波展开周期函数

    从三角函数正交性推导傅里叶系数，分析部分和、收敛、Gibbs 现象，并连接固定弦的模态演化。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 正文可读
  2. article

    函数与函数图像：从对应规则到可分析的关系

    把函数理解为定义域到陪域的确定对应，掌握表示、复合、反函数、图像变换和分段函数的基本方法。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 正文可读
  3. article

    Stanford CS229 Course Materials

    覆盖监督学习、广义线性模型、学习理论、优化与生成学习算法。

  4. article

    导数与微分：从变化率到局部线性化

    由割线斜率的极限定义导数，推导乘积与链式法则，说明微分作为最佳局部线性近似的含义，并连接中值定理与误差估计。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  5. article

    感知机与多层感知机：从线性边界到可学习的非线性

    从线性阈值分类器、误分类更新与可分性出发，推导多层感知机的前向传播、张量形状、参数数量和表达能力边界。

    machine-learning · neural-networks · 难度 3 · 正文可读
  6. article

    损失函数：把预测目标写成可优化的风险

    区分单样本损失、经验风险、正则化目标与任务指标，比较回归和分类常用损失的统计含义与优化性质。

    machine-learning · learning-theory · 难度 2 · 正文可读
  7. article

    期望、方差与协方差：分布的中心、尺度和共同变化

    从分布定义期望和二阶矩，推导方差与协方差的运算规律，并区分独立、零协方差、相关和因果关系。

    mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读
  8. article

    极限与连续性：用邻域刻画逼近

    从数值逼近进入 ε-δ 定义，证明极限的唯一性与运算规则，并用连续性连接局部行为、方程求根和后续微积分。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  9. article

    激活函数：表达能力、梯度传播与输出语义

    从线性层复合的退化出发，比较 sigmoid、tanh、ReLU、GELU 与 SiLU 的函数形状、导数、数值行为和输出层适用范围。

    machine-learning · neural-networks · 难度 3 · 正文可读
  10. article

    监督学习：从带标签样本到可检验的预测规则

    建立监督学习的问题定义，区分样本、模型、损失、经验风险、验证选择与未知分布上的泛化误差。

    machine-learning · learning-theory · 难度 2 · 正文可读
  11. article

    积分与累积：从黎曼和到微积分基本定理

    从分割区间和局部贡献出发定义定积分，推导积分的基本性质与微积分基本定理，并区分净累积、几何面积和原函数。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 正文可读
  12. article

    随机变量与概率分布：从随机结果到可计算的数值规律

    把随机变量定义为样本空间上的可测函数，统一理解分布函数、概率质量函数、概率密度、支持集与变量变换。

    mathematics · probability · 难度 2 · 正文可读
  13. concept

    三角函数

    从单位圆定义正弦、余弦和正切，理解周期、相位与常用恒等式。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲
  14. concept

    位置编码

    向无序的注意力计算注入序列位置信息，比较正弦、学习式和相对位置方案。

    machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲
  15. concept

    坐标几何

    用坐标、距离、斜率和曲线方程把平面几何对象转化为可计算的代数关系。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲
  16. concept

    复数与复平面

    用代数形式和极坐标形式表示复数，理解模、幅角、共轭与旋转缩放的联系。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  17. concept

    简谐振子

    由线性回复力推导正弦时间演化，并用振幅、相位和固有频率描述状态。

    physics · waves · 难度 2 · 详细大纲
  18. concept

    优化对偶

    由 Lagrangian 构造对偶函数，理解弱对偶、强对偶和对偶间隙。

    mathematics · optimization · 难度 5 · 详细大纲
  19. concept

    偏导数

    在其他变量固定时测量多变量函数沿坐标方向的局部变化率。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲
  20. concept

    偏微分方程

    用多个自变量的偏导描述场的空间与时间变化，并区分椭圆、抛物和双曲类型。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  21. concept

    凸函数

    通过弦不等式和一阶条件刻画凸性，并说明局部最优为何成为全局最优。

    mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲
  22. concept

    凸集

    用线段闭包定义凸集，并识别半空间、范数球和仿射集合等基本例子。

    mathematics · optimization · 难度 3 · 详细大纲
  23. concept

    函数空间映射

    把输入函数映射为输出函数，区分有限维参数拟合与无限维算子学习。

    interdisciplinary · scientific-machine-learning · 难度 5 · 详细大纲
  24. concept

    参数初始化与梯度流

    分析权重尺度如何影响前向方差和反向梯度，理解 Xavier 与 He 初始化。

    machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲
  25. concept

    叠加原理

    说明线性方程解的线性组合仍是解，并用干涉现象展示振幅的相加与相消。

    physics · waves · 难度 2 · 详细大纲
  26. concept

    向量场

    给空间中每一点分配一个向量，用于描述速度场、力场和梯度场。

    mathematics · calculus · 难度 3 · 详细大纲
  27. concept

    多项式与根

    分析多项式的次数、因式分解、根及重数，并连接代数表达式与函数图像。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  28. concept

    对比表征学习

    通过拉近匹配样本表示并推远不匹配样本，学习具有语义结构的嵌入空间。

    machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲
  29. concept

    数列与级数

    研究离散序列的极限、递推关系和无穷求和，为连续极限与函数展开建立基础。

    mathematics · foundations · 难度 2 · 详细大纲
  30. concept

    格林函数

    用点源响应构造线性微分方程的受迫解，并把边界条件编码进核函数。

    physics · waves · 难度 5 · 详细大纲
  31. concept

    波的振幅、频率与相位

    用振幅、周期、频率、波长、相位和波速定量描述行波的时空结构。

    physics · waves · 难度 2 · 详细大纲
  32. concept

    目标函数与可行域

    把决策变量、目标函数和约束写成明确优化问题，并区分局部与全局最优。

    mathematics · optimization · 难度 2 · 详细大纲
  33. concept

    算法复杂度

    用渐近记号比较算法随输入规模增长的时间和空间成本，并区分最坏与平均情况。

    computer-science · algorithms · 难度 2 · 详细大纲
  34. concept

    经验风险最小化

    用有限样本上的平均损失近似总体风险，并明确假设空间和优化误差。

    machine-learning · learning-theory · 难度 3 · 详细大纲
  35. concept

    自监督学习

    从数据本身构造预测或对比任务，学习可迁移表示而不依赖人工标签。

    machine-learning · neural-networks · 难度 4 · 详细大纲
  36. concept

    自编码器

    用编码器压缩输入并由解码器重建，学习受瓶颈或正则约束的表示。

    machine-learning · generative-models · 难度 3 · 详细大纲
  37. concept

    边值问题

    在区域边界施加函数值或通量条件，并研究这些约束如何选择微分方程的解。

    mathematics · calculus · 难度 4 · 详细大纲
  38. concept

    近端方法

    用近端算子处理不可微正则项，并把梯度步骤与结构化收缩组合。

    mathematics · optimization · 难度 5 · 详细大纲
  39. concept

    递归与递推

    把问题分解为规模更小的同类问题，并用基例和调用栈保证计算终止。

    computer-science · algorithms · 难度 2 · 详细大纲
  40. concept

    链式法则

    把复合函数的局部变化拆为各层导数的乘积，并推广到多变量映射。

    mathematics · calculus · 难度 2 · 详细大纲
  41. concept

    集合与映射

    用集合、子集、笛卡尔积和映射描述数学对象的范围、对应关系与复合规则。

    mathematics · foundations · 难度 1 · 详细大纲
  42. book

    Calculus Volume 1

    覆盖函数、极限、导数与积分的一学期微积分开放教材。

  43. learning-path

    从感知机到 Transformer

    沿梯度流、卷积、循环、注意力和残差结构理解现代神经网络。

  44. learning-path

    从线性模型到神经网络

    从监督学习和线性分类进入损失、泛化、多层感知机与反向传播。

  45. equation

    梯度下降更新

    \boldsymbol{\theta}_{k+1}=\boldsymbol{\theta}_k-\eta\nabla L(\boldsymbol{\theta}_k)

    mathematics · optimization
  46. learning-path

    高等数学基础

    从函数极限进入一元微积分，再过渡到多变量变化率和微分方程。