课程主题
拓扑与微分几何
拓扑空间、紧致性、流形、微分形式、度量与曲率。
01
课程章节
按难度与先修关系排列
- 01难度 4/5拓扑空间、基与连续映射由开集公理建立拓扑空间，使用基、子空间、积与商构造新拓扑，并以开集逆像刻画连续映射。先修：集合与映射 · 函数、复合与图像 · 证明方法
- 02难度 5/5紧致性、连通性与分离公理用开覆盖和分离定义紧致与连通，比较不同分离公理，并研究连续像、积空间和子空间中的保持性质。先修：拓扑空间、基与连续映射 · 实数完备性、紧致性与连续性
- 03难度 5/5流形、坐标图与切空间用相容坐标图把局部欧氏空间拼成光滑流形，构造切空间和映射微分，并区分浸入、浸没与嵌入。先修：拓扑空间、基与连续映射 · 多变量微积分与向量分析综合复习 · 线性变换
- 04难度 5/5微分形式、外微分与 Stokes 定理以交替协变张量定义微分形式，研究楔积、拉回和外微分，并用广义 Stokes 定理统一微积分中的边界公式。先修：流形、坐标图与切空间 · 曲线积分 · Green、Stokes 与 Gauss 定理
- 05难度 5/5Riemann 度量、测地线与曲率在切空间上配置光滑内积，以 Levi-Civita 联络定义测地线和曲率，并区分截面、Ricci 与标量曲率。先修：流形、坐标图与切空间 · 微分形式、外微分与 Stokes 定理
- 06难度 5/5拓扑与微分几何综合复习从局部坐标到全局不变量联合使用拓扑、紧致连通、切空间、微分形式、Stokes 定理、度量和曲率。先修：拓扑空间、基与连续映射 · 紧致性、连通性与分离公理 · 流形、坐标图与切空间 · 微分形式、外微分与 Stokes 定理 · Riemann 度量、测地线与曲率